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雙曲線的定義

第1篇：雙曲線的定義范文

重點(diǎn):雙曲線的第一、第二定義, 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的幾何性質(zhì),軌跡問(wèn)題等.

難點(diǎn):a,b,c,e等參數(shù)值的求法及其取值范圍問(wèn)題的探討,直線與雙曲線位置關(guān)系相關(guān)的綜合問(wèn)題.

(1)研究雙曲線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離問(wèn)題時(shí),首先應(yīng)考慮用定義來(lái)解題. 關(guān)注定義中的“絕對(duì)值”,若定義中去掉了“絕對(duì)值”,則點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支,由此導(dǎo)致一個(gè)點(diǎn)在雙曲線的左支和右支上的情形是不同的.

(2)研究雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形(焦點(diǎn)三角形)問(wèn)題時(shí),在運(yùn)用定義的同時(shí)還會(huì)經(jīng)常用到正、余弦定理.

(3)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

①定義法:分析題目條件是否滿足定義;求出a,b,c;寫(xiě)出方程.

②待定系數(shù)法:確定焦點(diǎn)的位置;設(shè)出待求方程;確定相關(guān)系數(shù);寫(xiě)出方程.

(4)雙曲線的幾何性質(zhì)常涉及一些不等關(guān)系,例如:雙曲線■-■=1中,x≥a或x≤-a,e>1等. 在求與雙曲線有關(guān)的一些量的范圍或與這些量有關(guān)的最值時(shí)會(huì)經(jīng)常用到這些不等關(guān)系.解決雙曲線中有關(guān)變量的最值與取值范圍問(wèn)題常見(jiàn)的解法有兩種:幾何法和代數(shù)法. 若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決,這就是幾何法. 若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值,這就是代數(shù)法.

(5)直線與雙曲線. 直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷:直線與曲線的位置關(guān)系,可以通過(guò)討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來(lái)確定,通常消去方程組中的變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程,考慮該一元二次方程的判別式Δ,則有:Δ>0?圳直線與雙曲線相交于兩個(gè)點(diǎn);Δ=0?圳直線與雙曲線相交于一個(gè)點(diǎn);Δ<0?圳直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn). 若得到關(guān)于x(或y)的一元一次方程,則直線與雙曲線相交于一個(gè)點(diǎn),此時(shí)直線平行于雙曲線的一條漸近線.

(6)直線與雙曲線相交時(shí)常見(jiàn)問(wèn)題的處理方法:①涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題,常用“根與系數(shù)的關(guān)系”,設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng). 直線l被雙曲線截得的弦長(zhǎng)AB=■或AB=■,其中k是直線l的斜率,(x1,y1),(x2,y2)是直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),且(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,x1+x2,x1x2可由韋達(dá)定理整體給出. ②涉及求平行弦中點(diǎn)的軌跡,求過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)的軌跡和求被定點(diǎn)平分的弦所在的直線方程問(wèn)題時(shí),常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求,將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái),相互轉(zhuǎn)化.

(1)求雙曲線C的方程;

(2)若直線:y=kx+m(k≠0,m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,且線段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A(0,-1),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

思索 ①涉及直線與雙曲線相交弦有關(guān)的參數(shù)范圍的問(wèn)題,Δ>0是必不可少的條件. ②關(guān)于直線與雙曲線的某一支的相交問(wèn)題,不但要考慮Δ>0,還要考慮方程根的取值范圍.

建議同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)重視以下幾個(gè)方面:

(1)重視定義在解題中的作用,對(duì)于雙曲線的兩種定義,要在訓(xùn)練的過(guò)程中加強(qiáng)理解和掌握.

(2)重視平面幾何知識(shí)在解題中的作用,解題過(guò)程中應(yīng)借助圖形分析條件,尋求最優(yōu)解法.

第2篇：雙曲線的定義范文

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；定義解題；體會(huì)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）06-0109

圓錐曲線是平面解析幾何的重要組成部分，也是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容。但是在學(xué)習(xí)中學(xué)生比較害怕這部分內(nèi)容，主要原因有兩個(gè)：一是圓錐曲線中的運(yùn)算量大，二是學(xué)生忽視三類圓錐曲線的定義。下面是圓錐曲線的具體定義：

1. 橢圓的定義

我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的集合叫作橢圓。

2. 雙曲線的定義

我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于F1F2）的點(diǎn)的集合叫作雙曲線。

3. 拋物線的定義

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條直線l（l不過(guò)F）的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線

4. 圓錐曲線的第二定義

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條直線l（l不過(guò)F）的距離之比為定值e（大于零）的點(diǎn)的集合叫圓錐曲線

當(dāng)0

當(dāng)e>1時(shí)，圓錐曲線是雙曲線；

當(dāng)e=1時(shí)，圓錐曲線是拋物線。

陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)高考工作負(fù)責(zé)者羅增儒說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的血和肉（根本），數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的魂。對(duì)于圓錐曲線中的概念即定義尤為重要。我們?cè)诮虒W(xué)圓錐曲線時(shí)，可以把雙曲線與橢圓類比理解記憶。從第一定義出發(fā)，橢圓和雙曲線都強(qiáng)調(diào)的是到兩定點(diǎn)距離（橢圓：和；雙曲線：差的絕對(duì)值）為定值的問(wèn)題，而拋物線則涉及的是一定點(diǎn)與一條直線的問(wèn)題。與此同時(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生理解明白圓錐曲線定義的幾何條件，這樣更利于學(xué)生理解記憶圓錐曲線的定義。本文通過(guò)具體實(shí)例與大家共同交流“在圓錐曲線中回歸定義解題”的體會(huì)與感悟。

第3篇：雙曲線的定義范文

(2009全國(guó)Ⅱ第11題)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為3的直線交C于A、B兩點(diǎn),若AF=4FB,則C的離心率為()

A. 65

B. 75

C. 58

D. 95

解法一:(利用雙曲線第一定義)(如圖一)

由AF=4FB知直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點(diǎn),從已知得點(diǎn)A在x軸的上方,設(shè)左焦點(diǎn)為N,可設(shè)FB=x(x>0),則有BN=2a+x,AF=4x,AN=2a+4x,又∠AFx=60°,利用余弦定理得,在ANF中有

AN2=AF2+NF2-2AF•NFcos120°

在ANF中有

BN2=BF2+NF2-2BF•NFcos60°

即有(2a+4x)2=(2c)2+(4x)2-2•2c•4xcos120°……(1)(2a+x)2=(2c)2+x2-2•2c•xcos60°……………(2)

a2+4ax=c2+2cx……(3)2a2+2ax=2c2-cx……(4),由(3)×2-(4)得6ax=5cx(x>0),e=ca=65

評(píng)注:在圓錐曲線問(wèn)題中,常用余弦定理解決有關(guān)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題。

解法二:(利用雙曲線第二定義與幾何性質(zhì))(如圖二)

由AF=4FB,知點(diǎn)F在線段AB上,如圖,過(guò)A作準(zhǔn)線l的垂線AA′,過(guò)B作準(zhǔn)線l的垂線BB′,則AA′=AFe,BB′=BFe,過(guò)B作BHAA′,

則AH=AA′-BB′=1e(AF-BF)=3BFe,又∠FBH=30°,AH=52BF,

3BFe=52BF,e=65

解法三:(利用雙曲線第二定義與定比分點(diǎn))(如圖三)

由法一知直線與雙曲線C的右支交于兩點(diǎn),A在x軸的上方,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0)

則|AF|=ca(x1-a2c)

|BF|=ca(x2-a2c)

|AF|=4|BF|

解得x1=4x2-3a2c……(1)

AF=4FB由定比分點(diǎn)得c=x1+4x21+4,

x1=-4x2+5c……(2)

由(1)、(2)得x1=5c2-3a22c,點(diǎn)A(x1,y1)在直線y=3(x-c)上

y1=3(3c2-3a22c),又點(diǎn)A(x1,y1)在雙曲線x2a2-y2b2=1上。

則(5c2-3a22c)2a2-[3(3c2-3a22c)]2b2=1,解得25c4-61a2c2+36a2=0

25e4-61e2+36=0得e=65

解法四:(利用雙曲線的幾何性質(zhì))(如圖三)

過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線,垂足分別為D、H,設(shè)|FB|=m(m>0),又∠AFx=60°,則A(c+2m,23m),B(c-12m,-32m),點(diǎn)A、B在雙曲線x2a2-y2b2=1上,則有

(c-12m)2a2-(32m)2b2=1……(1)

(c+2m)2a2-(23m)2b2=1……(2)

由(1)×16-(2)得m=3b24c代入(2)得25c4-61a2c2+36a4=0,25e4-61e2+36=0,解得e=65

評(píng)注:利用雙曲線的幾何性質(zhì),求出雙曲線上兩點(diǎn)的坐標(biāo),代入雙曲線得出關(guān)于a,c的方程即可。

圖一

圖二

第4篇：雙曲線的定義范文

題目雙曲線x2a2+y2b2=1（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為（）

A. (1,3) B. (1,3］

C. (3,+∞)D. ［3,+∞)

解法1 設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，由|PF1|=2|PF2|,即ex0+a=2(ex0-a)，解得x0=3ae，

又 |x0|≥a 即3ae≥a，所以e≤3，

而雙曲線的離心率e＞1,故1＜e≤3，選（B）.

點(diǎn)評(píng)：利用雙曲線性質(zhì)：若點(diǎn)P在雙曲線x2a2+y2b2=1上，則|x|≥a，構(gòu)造不等式求解.

解法2 設(shè)點(diǎn)P（x，y），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）由|PF1|=2|PF2| 則

(x+c)2+y2=2(x-c)2+y2x-5c32+y2=16c29則13c≤x≤3c

又點(diǎn)P（x，y）在雙曲線x2a2+y2b2=1上，則x≥a或x≤-a，

c3≤a≤3即13≤e≤3而雙曲線的離心率e＞1, 故1

點(diǎn)評(píng)：由|PF1|=2|PF2|這一條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，構(gòu)造不等式求解.

解法3 在P F1 F2中，記∠F1PF2=θ ，由余弦定理，知

cosθ=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|•|PF2|=(4a)2+(2a)2-(2c)22•4a•2a=5-e24

根據(jù)余弦函數(shù)的有界性，得-1≤5-e24≤1，考慮雙曲線的離心率e＞1,得1

點(diǎn)評(píng)：在焦點(diǎn)三角形中，根據(jù)余弦函數(shù)的有界性求解.

解法4 在PF1F2中，記∠F1PF2=θ ，根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式b2cotθ2，得b2cotθ2=12×4a×2asinθ，即sin2θ2=b28a2≤1,b2a2≤8,

而e2=1+b2a2≤9.考慮雙曲線的離心率e＞1,得1

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式b2cotθ2，并結(jié)合正弦函數(shù)的有界性求解.

解法5 由雙曲線的定義，得|PF1|-|PF2|=2a與|PF1|=2|PF2|，聯(lián)立解得|PF1|=4a，|PF2|=2a，

由三角形性質(zhì)|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,得4a+2a≥2c，所以1

點(diǎn)評(píng)：利用平面幾何性質(zhì)：“三角形兩邊之和大于第三邊” 構(gòu)造不等式求解.

解法6 由圖知，點(diǎn)P在雙曲線右支上，且|PF1|≥c+ a，即4a≥c+ a，

所以1

點(diǎn)評(píng)：以形助數(shù)，利用圖形中隱含條件構(gòu)造不等式求解.

解法7 由雙曲線的定義，得|PF1|-|PF2|=2a與|PF1|=2|PF2|，

聯(lián)立解得|PF1|=4a，|PF2|=2a，

由第二定義得|PF2|d=ed=|PF2|e，由圖可知，d≥a-a2c

2ae≥a-a2c3a≥c 故1

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵在于挖掘圖中隱含的幾何不等關(guān)系：d≥a-a2c.

解法8 在PF1F2中，易知|PF1|=4a，|PF2|=2a，|F1F2|=2c，

|OP|為PF1F2中邊F1F2上的中線，則

|OP|=122(16a2+4a2)-4c2=10a2-c2

由圖知，點(diǎn)P在雙曲線右支上，則|OP|≥a，

10a2-c2≥a9a2≥c2故1

點(diǎn)評(píng)：三角形的三條中線分別為：Ma、Mb、Mc，用三角形的三邊a，b，c來(lái)表示它的三條中線長(zhǎng)如下：Ma-122(b2+c2)-a2 Mb=122(a2+c2)-b2 Mc=122(a2+b2)-c2

以上八種不同的解法，探索了求解雙曲線離心率的取值范圍問(wèn)題，往往需要借助雙曲線定義、范圍和性質(zhì)、正余弦函數(shù)的有界性、圖形中隱含的幾何不等關(guān)系等，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于離心率的不等式，從而達(dá)到求解的目的.

鏈接練習(xí)：

1. 已知雙曲線x2a2+y2b2=1（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線右支上，且|PF1|=4|PF2|,求雙曲線離心率的范圍？

2．若雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0,b＞0）上橫坐標(biāo)為3a2的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A. (1,2)B. (2,+∞)

C. (1,5)D. (5,+∞)

3．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1作垂直于x軸的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若ABF2為銳角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A．（1，1+2）B．（1+2，+∞）

C．（1-2，1+2）

第5篇：雙曲線的定義范文

雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式：S=b2cot(θ/2)。雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn)。焦點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)滿足c2=a2+b2。一般的，雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。

它還可以定義為與兩個(gè)固定的點(diǎn)（叫做焦點(diǎn)）的距離差是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。這個(gè)固定的距離差是a的兩倍，這里的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點(diǎn)的距離。a還叫做雙曲線的實(shí)半軸。焦點(diǎn)位于貫穿軸上，它們的中間點(diǎn)叫做中心，中心一般位于原點(diǎn)處。

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第6篇：雙曲線的定義范文

一、定義法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程

例1已知A-7，0，B7，0，C2，-12，橢圓過(guò)A，B兩點(diǎn)且以C為其一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓另一焦點(diǎn)的軌跡方程.

解析：設(shè)橢圓的另一焦點(diǎn)Fx，y），由題意得|AC|+|AF|=|BC|+|BF|，所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|.而|BC|=13，|AC|=15，于是|FB|-|FA|=2，根據(jù)雙曲線定義可知，F(xiàn)在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上. 這里2a=2，所以a=1，又c=7，所以b2=c2-a2=48，故橢圓的另一焦點(diǎn)F的軌跡方程為x2-y2/48=1（x

點(diǎn)評(píng)：本題首先根據(jù)橢圓的定義A、B是橢圓上的點(diǎn)得出等式，|FB|-|FA|=2.

這樣根據(jù)定義先判斷出動(dòng)點(diǎn)F軌跡的類型，再用待定系數(shù)法求出軌跡方程.

二、利用定義解決圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

例2已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），若橢圓上存在點(diǎn)P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，則該橢圓的離心率的取值范圍為.

點(diǎn)評(píng)：橢圓和雙曲線中但凡涉及到曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，通常要聯(lián)系定義解題.

變式訓(xùn)練2：已知點(diǎn)P在雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右支上，雙曲線兩焦點(diǎn)為F1、F2，|PF1|2|PF2|最小值是8a，求雙曲線離心率的取值范圍.

三、利用定義求最值

例3已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是4，a，則當(dāng)|a|>4時(shí)，|PA|+|PM|的最小值是.

解析：拋物線焦點(diǎn)F1，0，設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線：x=-1的距離為d，由拋物線的定義，d=|PF|.

點(diǎn)評(píng)：拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線距離相等，利用拋物線定義將二者互化，是解決拋物線中最值問(wèn)題的重要策略.這里根據(jù)題意，將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，從而構(gòu)造出兩點(diǎn)間線段最短，使問(wèn)題迎刃而解.

變式訓(xùn)練3：已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，若B（3，2），|PB|+|PF|的最小值是

答案：4

第7篇：雙曲線的定義范文

1.平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線固定在A(3，-1)，C(2，-3)兩點(diǎn)，點(diǎn)D在直線3x-y+1=0上移動(dòng)，則點(diǎn)B的軌跡方程為()

A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0

C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0

答案：A　解題思路：設(shè)AC的中點(diǎn)為O，即.設(shè)B(x，y)關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為(x0，y0)，即D(x0，y0)，則由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.

2.由直線y=x+1上的一點(diǎn)向圓(x-3)2+y2=1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()

A.1 B.2

C. -2D.3

答案：C　解題思路：當(dāng)該點(diǎn)是過(guò)圓心向直線引的垂線的交點(diǎn)時(shí)，切線長(zhǎng)最小.因圓心(3,0)到直線的距離為d==2，所以切線長(zhǎng)的最小值是l==.

3.直線y=x+b與曲線x=有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是()

A.{b||b|=}

B.{b|-1

C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A是雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，AF2F1F2，原點(diǎn)O到直線AF1的距離為|OF1|，則漸近線的斜率為()

A.或- B.或-

C.1或-1 D.或-

答案：D　命題立意：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)的探究，體現(xiàn)了解析幾何的數(shù)學(xué)思想方法的巧妙應(yīng)用，難度中等.

解題思路：如圖如示，不妨設(shè)點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線y=x上的一點(diǎn)，由AF2F1F2，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，則tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得該雙曲線漸近線的斜率為或-，故應(yīng)選D.

4.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，與直線y=b相切的F2交橢圓于點(diǎn)E，E恰好是直線EF1與F2的切點(diǎn)，則橢圓的離心率為()

A. B.

C. D.

答案：C　解題思路：由題意可得，EF1F2為直角三角形，且F1EF2=90°，

|F1F2|=2c，|EF2|=b，

由橢圓的定義知|EF1|=2a-b，

又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，

即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，

所以e2===，故e=，故選C.

5.等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=4，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為()

A. B.2 C.4 D.8

答案：C　解題思路：由題意得，設(shè)等軸雙曲線的方程為-=1，又拋物線y2=16x的準(zhǔn)線方程為x=-4，代入雙曲線的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4，故選C.

6.拋物線y2=-12x的準(zhǔn)線與雙曲線-=1的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于()

A. B.3 C. D.3

答案：B　命題立意：本題主要考查拋物線與雙曲線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的運(yùn)算能力.

解題思路：依題意得，拋物線y2=-12x的準(zhǔn)線方程是x=3，雙曲線-=1的漸近線方程是y=±x，直線x=3與直線y=±x的交點(diǎn)坐標(biāo)是(3，±)，因此所求的三角形的面積等于×2×3=3，故選B.

7.若雙曲線-=1與橢圓+=1(m>b>0)的離心率之積大于1，則以a，b，m為邊長(zhǎng)的三角形一定是()

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.銳角三角形 D.鈍角三角形

答案：D　解題思路：雙曲線的離心率為e1=，橢圓的離心率e2=，由題意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形為鈍角三角形，故選D.

8. F1，F(xiàn)2分別是雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn).若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()

A.2 B. C. D.

答案：B　命題立意：本題主要考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及基本量的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了考生的推理論證能力以及運(yùn)算求解能力.

解題思路：如圖，由雙曲線定義得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因?yàn)锳BF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故選B.

9.已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()

A.2 B.3

C. D.

答案：A　解題思路：設(shè)拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離分別為d1，d2，根據(jù)拋物線的定義可知直線l2：x=-1恰為拋物線的準(zhǔn)線，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，則d2=|PF|，由數(shù)形結(jié)合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值時(shí)，即為點(diǎn)F到l1的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式得最小值為=2，故選A.

10.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)，A，B是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且與點(diǎn)B在雙曲線的同一支上，P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是Q.若直線AP，BQ的斜率分別是k1，k2，且k1·k2=-，則雙曲線的離心率是()

A. B. C. D.

答案：C　命題立意：本題考查雙曲線方程及其離心率的求解，考查化簡(jiǎn)及變形能力，難度中等.

解題思路：設(shè)A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于點(diǎn)P在雙曲線上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故選C.二、填空題

11.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線交拋物線于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點(diǎn)，則(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面積的最小值是________.

答案：(1)-8　(2)2　命題立意：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，難度中等.

解題思路：設(shè)直線AB的方程為x-2=m(y-0)，即x=my+2，聯(lián)立得y2-4my-8=0.(1)由根與系數(shù)的關(guān)系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面積為S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.

知識(shí)拓展：將ABF分割后進(jìn)行求解，能有效減少計(jì)算量.

12. B1，B2是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，O為橢圓中心，過(guò)左焦點(diǎn)F1作長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項(xiàng)，則的值是________.

答案：　命題立意：本題考查橢圓的基本性質(zhì)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，難度中等.

解題思路：設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.

13.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l，過(guò)M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為B.若=，則p=________.

答案：2　解題思路：過(guò)B作BE垂直于準(zhǔn)線l于E，

=， M為AB的中點(diǎn)，

|BM|=|AB|，又斜率為，

BAE=30°， |BE|=|AB|，

|BM|=|BE|， M為拋物線的焦點(diǎn)，

p=2.

14.

第8篇：雙曲線的定義范文

一、構(gòu)造橢圓模型，巧解一類含絕對(duì)值的不等式

【例1】解不等式：|x-2|+|x+2|≥5.

分析：該不等式是含兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式，這類不等式可使用零點(diǎn)劃分區(qū)間法、構(gòu)造函數(shù)法、幾何意義法等.那么根據(jù)絕對(duì)值的定義可知，該不等式的含義是數(shù)軸上的點(diǎn)x到兩定點(diǎn)（-2，0）和（2，0）的距離之和大于等于5.這也恰好符合橢圓的定義，用橢圓的知識(shí)來(lái)解釋該不等式就是代表橢圓及其橢圓外部的x的取值范圍，利用橢圓的有界性便可輕松求解.

解：不等式|x-2|+|x+2|≥5的含義是數(shù)軸上的點(diǎn)x到兩定點(diǎn)（-2，0）和（2，0）的距離之和大于等于5.

根據(jù)橢圓的定義可知c=2，a=52，

a2=254，b=94，

因此橢圓的方程為x2254+y294=1.

根據(jù)橢圓的有界性可得x≤-52或x≥52，

不等式的解集為{x|x≤-52或x≥52}.

二、構(gòu)造雙曲線模型，巧解一類含絕對(duì)值的不等式

【例2】解不等式：|x-5|-|x+5|≤8.

分析：根據(jù)絕對(duì)值的定義可知，該不等式的含義是數(shù)軸上的點(diǎn)x到兩定點(diǎn)（-5，0）和（5，0）的距離之差小于或等于8.這也恰好符合雙曲線的定義，用雙曲線的知識(shí)來(lái)解釋該不等式就是代表雙曲線右支的x的取值范圍，利用雙曲線的有界性便可求解.

解：不等式|x-5|-|x+5|≤8的含義是數(shù)軸上的點(diǎn)x到兩定點(diǎn)（-5，0）和（5，0）的距離之差小于或等于8.

根據(jù)雙曲線的定義可知c=5，a=4，b=3.

因此雙曲線方程為x216-y29=1（x>0）.

由雙曲線的有界性可得x≥4，

不等式的解集為{x|x≥4}.

三、構(gòu)造拋物線模型，巧解一類無(wú)理不等式

【例3】已知a∈R，求證：a4-3a2-6a+13-a4-a2+1≤10.

分析：該不等式含有兩個(gè)根式，并且根號(hào)內(nèi)表達(dá)式的次數(shù)高達(dá)4次，因此求解起來(lái)特別的困難.根據(jù)數(shù)學(xué)化繁為簡(jiǎn)的整體思想，將其配方降冪，其左端可變形為（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，此不等式的幾何意義是拋物線y=x2上點(diǎn)P（a，a2）到點(diǎn)A（3，2）與到點(diǎn)B（0，1）距離之差的最大值是10.

解：根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)，可以將其左端變形為

（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，

此不等式的幾何意義是拋物線上點(diǎn)P（a，a2）到點(diǎn)A（3，2）與到點(diǎn)B（0，1）距離之差的最大值是10.

A（3，2），B（0，1），

|AB|=10.

第9篇：雙曲線的定義范文

一、定義法

根據(jù)新課標(biāo)課本對(duì)于離心率的定義e=■，單解c，單解a，求出e值。

例.1l：x-2y+2=0直線過(guò)橢圓■+■=1（a>b>c）的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B，則該橢圓的離心率為。

解：由直線的截距可得c=2，b=1，則a=■，即e=■。

反思：在標(biāo)準(zhǔn)方程的背景下，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)及兩個(gè)焦點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，由此與直線的截距具有了對(duì)應(yīng)關(guān)系，解題時(shí)注意其聯(lián)系。

二、齊次式法

根據(jù)題設(shè)條件，建立基本量a、b、c之間的關(guān)系式，利用a2=b2+c2（橢圓）c2=a2+b2或（雙曲線）轉(zhuǎn)化構(gòu)造a、c的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于e的一元方程，從而解出離心率e。

例2：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2過(guò)F3作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是。

解：在等腰直角三角形中，PF2=F1F2即2c=■，

c2+2ac-a2=0即e2+2e-1=0

故所求e=■-1。

例3：設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓■+■=1（a>b>c）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為直線x=■上的一點(diǎn)，若F1PF2是底角為30°的等腰三角形，則橢圓的離心率是。

解：設(shè)直線x=■與x軸的交點(diǎn)為M，在RtPF2M中，PF2=2C，F(xiàn)2M=■-c，由cos60°=■=■解得e=■。

反思：以三角形為依托求圓錐曲線的離心率的值，若在直角三角形中，常常利用兩邊一角建立三角函數(shù)關(guān)系式求解。

例4：已知B1，B2為橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若四邊形B1F1B2F2為正方形，則橢圓的離心率為。

解：如D，在RtB2OF2中得b=c=■a解得e=■。

例5：已知F1、F2是雙曲線■+■=1（a>0，b>c）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)A、B，連接AF1和BF1，若ABF1為正三角形，則雙曲線的離心率為。

解：在RtAF1F2中，tan30°=■=■=■

即■c2-2ac-■a2=0。

解得e=■。

反思：以三角形為依托求圓錐曲線的離心率的值，若三角形具有對(duì)稱性常常割其半，在直角三角形中求解。

例6：已知F1、F2是雙曲線■+■=1（a>0，b>c）的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為。

解：如圖，設(shè)MF1的中點(diǎn)為P，連接PF2

在RtPF1F2中，F(xiàn)1F2=2c，∠PF1F2=60°

則PF1=c，PF2=■c由雙曲線的定義知■c-c=2a

解得e=■=1+■。

反思：以三角形為依托求圓錐曲線的離心率的值，若三角形是焦點(diǎn)三角形，常常利用定義建立基本量a、b、c之間的關(guān)系式。

例7：已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，恰好是橢圓■+■=1（a>b>c）的右焦點(diǎn)F，且兩條曲線的交點(diǎn)連線也過(guò)焦點(diǎn)F，則橢圓的離心率為。

解：依題意得■=c，P=■即b2=2ac=a2-c2