高斯消元法的基本原理精選(九篇)

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第1篇：高斯消元法的基本原理范文

Abstract： In the field of spectroscopy, electrochemical analysis and chromatography, the signal overlap is a common phenomenon, and how to conduct the decomposition of overlapping signals in a limited hardware environment by mathematical methods becomes a more practical meaningful task. The related research status at home and abroad was introduced from four types of common mathematical methods in this paper.

關(guān)鍵詞： 重疊峰；分解；數(shù)學(xué)方法

Key words： overlapping peaks；decomposition；mathematical method

中圖分類號：O17文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1006-4311（2011）04-0197-01

1重疊峰分解的實(shí)際意義

在光譜研究領(lǐng)域，重疊的光譜信號是比較常見的。例如，①在紫外-可見光譜分析中：在苯和甲苯的混合體系及苯、甲苯和二甲苯等混合體系中，各組分紫外光譜嚴(yán)重重疊；復(fù)合維生素B片劑的吸收光譜中，維生素B1，B2，B6和煙酰胺4組分嚴(yán)重重疊；二甲酚橙（XO）-CTMAB-Cu、Cd、Ni顯色體系各組分吸收光譜相互重疊。鈰組稀土元素的性質(zhì)極其相似，因此其5種元素的吸收光譜嚴(yán)重重疊。②在熒光光譜分析中：利用偏振X射線熒光技術(shù)分析鐵磁性永磁材料粉末時(shí)，Si和Sr譜線完全重疊；醫(yī)院營養(yǎng)輸液常用的復(fù)合氨基酸注射液中包含色氨酸和酪氨酸，而此二組分的熒光光譜嚴(yán)重重疊等等。此外，重疊現(xiàn)象在化學(xué)領(lǐng)域的電化學(xué)分析、色譜分析中也同樣存在。重疊現(xiàn)象給進(jìn)一步的定性和定量分析都帶來了困難。對于這樣的問題，通過硬件手段如改進(jìn)儀器來提高信號的分辨率通常受到資金或工作條件等現(xiàn)實(shí)問題的制約。因此，往往通過數(shù)學(xué)手段把儀器未能完全分離的多個(gè)譜峰給以分解，得到重疊峰信號中的各子峰或組分的相關(guān)信息（如峰形狀、峰位置、半峰寬和峰高度）的估計(jì)值。而隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，計(jì)算技術(shù)的提高，與計(jì)算機(jī)相結(jié)合的信息理論、多元統(tǒng)計(jì)分析法、數(shù)學(xué)最優(yōu)化等數(shù)學(xué)方法被利用于重疊峰的分解，并逐漸成為了現(xiàn)代光譜分析的熱點(diǎn)。

2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

對于采用各種計(jì)算方法分解光譜重疊峰的研究已有不少報(bào)道，其中分光光度法、熒光光譜、ICP-AES等重疊峰的解析已發(fā)展比較成熟。目前常見的數(shù)學(xué)方法有四類：

2.1 雙波長、三波長法、導(dǎo)數(shù)光譜法其中導(dǎo)數(shù)光譜法是分辨重疊峰的一種常用的較為成熟的方法。1953年Hammond等人首先提出。其基本原理是對原吸收曲線進(jìn)行一階、二階至四階求導(dǎo)，然后對得到的各階導(dǎo)數(shù)光譜進(jìn)行分析。從而來確定重疊峰的個(gè)數(shù)、重疊峰位及改善譜線分辨率等。關(guān)于導(dǎo)數(shù)法定研究及報(bào)道有很多，如王超群利用導(dǎo)數(shù)法探討了其在X射線衍射分析中的應(yīng)用；Windig討論了二階導(dǎo)數(shù)光譜在自模式分析技術(shù)中的應(yīng)用，以及相應(yīng)的平滑方法。但導(dǎo)數(shù)法存在一個(gè)顯著缺點(diǎn)：隨著求導(dǎo)次數(shù)的增加，噪聲也隨之增加，在高階導(dǎo)數(shù)中，信號可能被噪聲完全淹沒，因而，通常，每求一階導(dǎo)數(shù)之后都需要濾除噪聲來提高信噪比。

2.2 最優(yōu)化方法最小二乘法作為一種判斷擬合效果優(yōu)劣的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)而經(jīng)常被使用，從而將問題轉(zhuǎn)化為尋優(yōu)問題。而解決此最優(yōu)化問題的方法有很多相關(guān)研究和報(bào)道：如：何錫文等周興風(fēng)等分別討論了線性規(guī)劃方法的使用；孫桂玲等使用Newton-Raphson逐步逼近法和最速下降法對高斯峰進(jìn)行分離；此外還有Cauchy法、直接搜索法、單純形法、DFP法及共軛梯度法等。

最小二乘法的缺點(diǎn)是當(dāng)各組分光譜嚴(yán)重重疊時(shí)（數(shù)學(xué)上叫共線性），如正規(guī)矩陣的秩接近零，此時(shí)的方程組近乎病態(tài)方程組，實(shí)驗(yàn)中的微小誤差或是計(jì)算中間過程數(shù)據(jù)位數(shù)的取舍都會引起計(jì)算結(jié)果的大幅波動(dòng)，此時(shí)最小二乘法不適用。

2.3 多元統(tǒng)計(jì)法由于傳統(tǒng)最小二乘法的缺點(diǎn)，出現(xiàn)了許多改進(jìn)方法。如：Wold在1966年提出的偏最小二乘法；王鎮(zhèn)浦等討論了CPA矩陣法；因子分析法更是被廣泛研究，白潔玲通過迭代目標(biāo)轉(zhuǎn)換因子分析應(yīng)用于4種混合色素溶液吸附伏安法波譜的解析來對其進(jìn)行同時(shí)測定；進(jìn)化因子分析與消秩方法被用于重疊光譜分析。這些方法各自在不同程度上克服了最小二乘法的缺點(diǎn)。

2.4 利用信息處理的理論1979年，Poulisse首次將卡爾曼濾波原理用于多組分體系分光光度分析中，使多組分體系的含量測定歸結(jié)為對重疊光譜曲線進(jìn)行快速濾波的過程。這個(gè)思想不僅帶來了一種新的重疊峰分解的方法同時(shí)還啟發(fā)了分析工作者，使人們認(rèn)識到，譜數(shù)據(jù)處理與通訊技術(shù)中的信息處理過程很相似，完全可以借鑒其數(shù)學(xué)工具。上世紀(jì)90年代，能解決非線形擬合的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)也被廣泛應(yīng)用求解多組分濃度，不足之處是需要大量樣本學(xué)習(xí)，很復(fù)雜且耗時(shí)。遺傳算法作為一種全局的尋優(yōu)方法，也逐漸被應(yīng)用于譜圖分析及重疊峰分解等方向的研究。使用數(shù)學(xué)方法對重疊峰分解的優(yōu)點(diǎn)在于它對硬件要求不高，只需在一定的實(shí)驗(yàn)條件下，獲取足夠的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，借助計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的運(yùn)算能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算，能夠獲取準(zhǔn)確度較高的對重疊峰解析的結(jié)果，基本上可以滿足一般檢測和分析的要求，因此其發(fā)展前景相當(dāng)廣闊，見諸于專業(yè)刊物的研究。報(bào)告顯示，使用軟件后處理的研究和應(yīng)用正廣泛開展。

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