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【關鍵詞】活動經(jīng)驗；數(shù)學思想；問題意識；探索規(guī)律
【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）25-0059-03
【作者簡介】杜建軍，江蘇省沭陽縣第二實驗小學（江蘇沭陽，223600）教科室主任，高級教師，宿遷市數(shù)學學科帶頭人，江蘇省教育科研先進個人。
“探索規(guī)律”是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出的基本課程內容之一。蘇教版教材從三年級起，在每一冊教材里都安排一次有明確主題和內容的探索規(guī)律專題活動，其教學目標不是指向規(guī)律本身的理解和掌握，而是注重引導學生經(jīng)歷探究規(guī)律的過程，主要目的是讓學生在探索規(guī)律的過程中初步學會用數(shù)學的眼光去觀察世界，用數(shù)學的語言去解釋現(xiàn)象，用數(shù)學的方式思考問題，不斷積累數(shù)學學習的經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)。下面，筆者以蘇教版四下《多邊形的內角和》教學為例，談談對探索規(guī)律教學的一些思考與實踐。
一、揭示課題，提出問題
出示課題：多邊形的內角和。
提問：對于多邊形及內角和，你們已經(jīng)知道些什么？還想再研究些什么？
引導：你們對這些問題打算怎樣進行研究呢？
談話：這種從簡單入手、有序思考的研究策略是一種很好的學習方法。我國古代思想家老子這樣說過：“天下難事，必作于易?！彼囊馑季褪钦f，比較困難的事情，都要從簡單的事情做起。今天就讓咱們從比較簡單的圖形――四邊形開始研究。
課始的提問喚醒了學生原有的知識經(jīng)驗，架起新舊知識間的橋梁，通過“你們打算怎樣進行研究”引導學生自己去尋找研究方法，初步滲透由簡單到復雜的探究策略。
二、選擇策略，研究個案
1.探究四邊形的內角和。
提問：在我們學過的圖形中，有哪些是四邊形？在這些圖形中，你能一眼看出哪個圖形的內角和呢？你是怎樣知道的？
引導：猜一猜，任意四邊形的內角和是多少度？數(shù)學學習離不開大膽的猜想，同時也得進行科學驗證。請同學們拿出課前發(fā)放的紅色四邊形圖片（圖1），想辦法求出它的內角和。
這里選擇直角梯形作為學具，其中有兩個角是直角，另兩個角分別是120°和60°，便于有些學生用測量的辦法求出其內角和。這里把直角梯形當作一般的四邊形讓學生進行度量和計算，得出360°為一般四邊形的內角和。
操作：W生用不同方法進行驗證。
匯報：請用不同方法驗證的同學到講臺前來匯報，明確測量的方法有時會產(chǎn)生誤差，重點引導學生理解為什么可以用分割法。
追問：像這樣將四邊形分割為兩個三角形以后，原來四邊形的四個角都“躲”到哪去了呢？
引導學生發(fā)現(xiàn)分割后兩個三角形的內角的總和就是原來四邊形的內角和。
談話：我們把四邊形的內角和轉化為兩個三角形的內角總和。原來，不用量也能求出四邊形的內角和。
比較：剛才我們用測量法、分割法分別求出了四邊形的內角和，現(xiàn)在你覺得哪種方法更為簡單呢？
追問：任意一個四邊形是否都能轉化成兩個三角形呢？
演示：利用幾何畫板課件演示四邊形的變化情況，讓學生發(fā)現(xiàn)任意四邊形都可以分割為兩個三角形。
小結：從特殊的四邊形――長方形、正方形的內角和引發(fā)猜想，并舉例驗證，從而得出一般的結論。由特殊到一般，是獲取結論的重要方法。
對四邊形內角和的探究是本節(jié)課探究活動的重點，讓學生在課堂上通過對不同驗證方法的比較，感受分割法的簡便，初步體會可以將四邊形轉化成兩個三角形來計算其內角和。同時讓學生通過回顧對四邊形內角和的研究，體會從特殊到一般的研究方法。
2.探究五邊形、六邊形的內角和。
提問：接下來，你想研究幾邊形的內角和？
引導：要求五邊形、六邊形的內角和，你能運用研究四邊形內角和的方法也來試一試嗎？請同學們拿出畫有五邊形和六邊形的操作紙，想一想，分一分，并算出每個圖形的內角和。
匯報：讓兩名學生到臺前匯報。
引導：我發(fā)現(xiàn)大多數(shù)同學都是從同一個頂點出發(fā)向其他頂點連線，這樣分割有什么好處呢？
小結：有序操作和思考也是數(shù)學學習的重要方法。
通過觀察比較，讓學生體會到從一個頂點出發(fā)，向與它不相鄰的頂點連線分割最為有序方便，引導學生學會更加合理的分割方法。
三、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立模型
1.任意多邊形的內角和。
提問：對于其他多邊形，是否也能像剛才那樣將它們分割成一些三角形呢？
小組合作，任意畫一些多邊形，試一試。
小結：任意一個多邊形都能分割成一些三角形。
2.探索多邊形內角和的計算方法。
提問：如果要求一百邊形或邊數(shù)更多的多邊形內角和，要不要將這樣的多邊形畫出來進行研究？多邊形的內角和還有什么奧秘呢？
引導：觀察剛才的研究記錄，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能通過剛才的研究找出多邊形內角和的秘密嗎？在小組里說一說。
提問：多邊形的內角和與什么有關？你能用一個式子表示多邊形的內角和嗎？
匯報得出：多邊形的內角和=（多邊形的邊數(shù)-2）×180°。
談話：同學們真了不起！人類經(jīng)過多年的探究才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，我們僅在短短一節(jié)課中就發(fā)現(xiàn)了其中的秘密。
通過讓學生求一百邊形的內角和激發(fā)學生的探究欲望，抓住“多邊形的內角和與什么有關？”這一核心問題，引導學生發(fā)現(xiàn)多邊形的內角和與多邊形邊數(shù)的關系，將學生的思維引向更深處。通過談話讓學生感受數(shù)學探究的樂趣，獲得快樂的情感體驗，增強其數(shù)學學習的信心。
四、回顧反思，積累經(jīng)驗
提問：回顧我們剛才探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，你有哪些收獲和體會？
總結：這節(jié)課，我們從特殊到一般，把復雜的問題轉化為簡單的問題，讓我們在今后的學習中，自覺運用這樣的思想方法，更加智慧地去學習數(shù)學，相信你一定會發(fā)現(xiàn)數(shù)學中更多的奧秘！
在回顧反思環(huán)節(jié)，引導學生從知識本身、探究過程中的思考方法及數(shù)學思想等三個不同層面進行反思，激發(fā)學生的學習興趣，感受運用轉化思想解決問題的價值，為學生今后的數(shù)學學習埋下數(shù)學思想的種子。
【教后反思】
《多邊形的內角和》是蘇教版四下“探究規(guī)律”專題活動內容，是在學生已經(jīng)認識了三角形、平行四邊形和梯形，知道三角形的內角和是180°、平行四邊形的內角和是360°等知識的基礎上進行的教學。在教學設計的理念上，筆者力求體現(xiàn)以下三點：
1.關注探究過程，積累活動經(jīng)驗。
本節(jié)課作為探索規(guī)律的專題內容，教學中不是直接將方法呈現(xiàn)給學生，而是引導學生自己找到解決問題的方法。課中讓學生通過觀察、操作、歸納、類比等一系列活動，引導學生充分經(jīng)歷從特殊到一般、從簡單到復雜的探究過程，自主發(fā)現(xiàn)多邊形的內角和與邊數(shù)之間的關系，從而獲得計算多邊形內角和的一般方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。
通過活動，不僅要讓學生計算出多邊形的內角和，還要讓學生概括求多邊形內角和的計算方法，并初步用數(shù)學模型來表示。在試教的過程中筆者發(fā)現(xiàn)，學生雖然能計算出多邊形的內角和是多少度，但讓他們總結出求多邊形內角和的算法還具有一定困難。為了克服這一困難，我讓學生分別把四邊形、五邊形、六邊形……的“邊數(shù)”“分成三角形的個數(shù)”“內角和”等數(shù)據(jù)依次填入表中，這樣容易得出以下結論：圖形的邊數(shù)越多，分成三角形的個數(shù)就越多，內角和的度數(shù)也就越大；多邊形分成三角形的個數(shù)總是比它的邊數(shù)少2；多邊形的內角和一定是180°的倍數(shù)。這些發(fā)現(xiàn)都是概括多邊形內角和計算方法的感性認識，讓學生在活動的過程中，不斷積累活動經(jīng)驗。
2.培養(yǎng)問題意識，提升思維品質。
“問題”是建構課堂的“腳手架”，決定了學生思維的方向。本節(jié)課不僅要讓學生經(jīng)歷分析問題、解決問題的過程，還要鼓勵學生用心發(fā)現(xiàn)問題，大膽提出問題。本節(jié)課教學的生長點是“三角形的內角和”，基于學生對三角形內角和的認識，可以讓學生自主質疑，提出問題。因此，筆者在課始采取開門見山的方式，直接出示課題，讓學生說一說已經(jīng)知道些什么，還想研究些什么，培養(yǎng)學生的問題意識。當學生得出長方形、正方形和平行四邊形等特殊的四邊形內角和是360°時，引導學生猜想并提出“其他任意四邊形的內角和也是360°嗎”“其他多邊形的內角和是多少度”等問題。通過“一百邊形的內角和是多少度”這一具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學生的探究欲望，進而引導學生觀察已有數(shù)，分析存在的規(guī)律，得出任意多邊形內角和的計算方法。通過問題引領，激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)學生進行數(shù)學思考，提高學生的數(shù)學思維能力。
3.滲透數(shù)學思想，彰顯數(shù)學魅力。
本節(jié)課設計注重轉化、類比、歸納等思想方法的滲透。由長方形、正方形的內角和是360°入手，引導學生進行猜想，通過舉例驗證得到一般四邊形的內角和；由對四邊形內角和的探究類比到對其他多邊形內角和的探究；通過對四邊形、五邊形、六邊形等圖形內角和的探究，歸納出任意多邊形內角和的計算方法；將多邊形分割轉化為若干個三角形來計算其內角和，將新的問題轉化為學過的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題。
知識技能
通過探究，歸納出多邊形的內角和
數(shù)學思考
1、通過測量、類比、推理等數(shù)學活動，探索多邊形的內角和的公式，感受數(shù)學思考過程的條理性，發(fā)展推理能力和語言表達能力。
2、通過把多邊形轉化成三角形體會轉化思想在幾何中的應用，同時
時讓學生體會從特殊到一般的認識問題的方法。
3、通過探索多邊形內角和公式，讓學生逐步從實驗幾何過度到
論證幾何
解決問題
通過探索多邊形內角和公式，嘗試從不同角度尋求解決問題的方法并能有效的解決問題。
情感態(tài)度
通過對生活中數(shù)學問題的探究，進一步提高學數(shù)學、用數(shù)學的意識，在自主探究、合作交流的過程中，體會數(shù)學的重要作用，感受數(shù)學活動的重要意義和合作成功的喜悅，提高學生學習的熱情。
重點
探索多邊形內角和的公式的探究過程。
難點
在探索多邊形的內角和時，如何把多邊形轉化成三角形。
知識聯(lián)系
多邊形的對角線和三角形的內角和為本節(jié)課的知識做了鋪墊，本節(jié)課的內容為多邊形的外角和做知識上的準備。
知識背景
對多邊形在生活中有所認識
學習興趣
通過探究過程更能激發(fā)學生學習的興趣。
教學工具
三角板和幾何畫板。
教學流程設計
活動流程圖
活動內容和目的
活動一，教師和學生任意畫幾個多邊形，用量角器測其內角和
活動二、探索四邊形的內角和
活動三、探索五邊形、六邊形、七邊形的內角和
活動四、探索任意多邊形的內角和公式
活動五、多邊形內角和公式的運用
活動六、小結和布置作業(yè)
通過分組測量，得出這幾個多邊形的內角和
通過用不同方法分割四邊形為三角形，探索四邊形的內角和。
通過類比四邊形內角和的得出方法，探索其他多邊形的內角和，發(fā)展學生的推理能力
通過把多邊形轉化成三角形體會轉化思想在幾何中的應用，同時讓學生體會從特殊到一般的思考問題方法
通過畫正八邊形體會和應用多邊形的內角和
梳理所學知識，達到鞏固發(fā)展和提高的目的
教學過程設計
問題與情景
師生行為
設計意圖
設計情景：什么是正多邊形？
正八邊形有什么特點？
你會畫邊長為3cm的正八邊形嗎？
學生思考并回答問題
學生不會畫八邊形，畫八邊形需要知道它的每一個內角，怎么就能知道八邊形的每一個內角，就是今天要解決的問題，以此來激發(fā)學生的學習興趣和求知欲。
活動1、
在練習本畫出任意四邊形，五邊星，六邊形，七邊形
分組讓學生量出每一個多邊形的內角并求出他們的內角和，教師在黑板上畫這四個四邊形
通過測量猜想每一個多邊形的內角和，感受數(shù)學的可實驗性，感受數(shù)學由特殊到一般的研究思想
活動2（重點）（難點）
探索四邊形的內角和
學生在練習本上把一個四邊形分割成幾個三角形，教師在黑板上畫幾個四邊形，叫幾個學生來分割，從而用推理求四邊形的內角和，師生共同討論比較那一種分割方法比較合理有優(yōu)點。
通過分割及推理，培養(yǎng)學生用推理論證來說明數(shù)學結論的能力，同時也培養(yǎng)學生比較和歸納的能力。
活動3、探索五邊形、六邊形，七邊形的內角和
學生根據(jù)活動二的分析，進一步用最優(yōu)方法來分割五邊形、六邊形，七邊形，從而通過推理得出他們的內角和
通過分割及推理，進一步培養(yǎng)學生的解決問題和推理的能力。
活動4、探索任意多邊形的內角和
把活動2和3中的結論寫下來，進行對比分析，進一步猜想和推導任意多邊形的內角和，教師作總結性的結論，并且用動畫演示多邊形隨著邊數(shù)的增加其內角和的變化過程。
通過猜想、歸納、推導讓學生體會從特殊到一般的思想，通過公式的歸納過程，體會數(shù)形之間的聯(lián)系
活動5、畫一個邊長為3cm的八邊形
讓學生在練習本上畫一個邊長為3cm的八邊形，教師進行評價和展示
鞏固和應用多邊形內角和，培養(yǎng)學生的應用意識
數(shù)形結合應貫穿于數(shù)學學習的全過程，不僅僅在四邊形的學習中?！皵?shù)”是指數(shù)與式，“形”是指圖形與圖像。數(shù)形結合的思想可以變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學本質的東西。而且讓學生更容易理解，把抽象的數(shù)字和文字，轉化成有形的圖形，學生看起來更加方便，理解的也會更透徹，當然也會取得事半功倍的學習效果。例如在教授“特殊的平行四邊形”時，通過教具或多媒體演示，讓學生在動態(tài)的教學過程中觀察角的變化，當一個角這變?yōu)橹苯菚r，指出這時的平行四邊形是矩形，使學生明白，矩形是有一個角為直角的特殊的平行四邊形。在老師演示完后，要求學生把準備好的教具橡皮筋拿出來，兩個學生組成一個小級，把橡皮筋拉成四邊形的樣子，同時再要求學生按照下面的圖形改變角度從而改變四邊形的形狀，在改變角度時要觀察兩條對角線的長度是如何產(chǎn)生變化的。當四個角都是直角時，此時四邊形是一個什么樣的特殊四邊形。
二、動手操作，讓學生手腦并用
現(xiàn)在的初中生，由于家庭條件較優(yōu)越及家長的包辦代替，動手能力較差，這給數(shù)學的學習帶來了障礙。為了克服這一問題，我在課堂上經(jīng)常會主張讓學生自己動手，親自制作教具。再動手的過程中加深了學生對數(shù)學問題的理解。例如在學習探索多邊形的內角和和外角和時，我就讓學生在課前準備好了硬紙板、量角器和剪刀，上課的時候就讓他們自己在紙板上畫出了隨意的四邊形，之后讓學生們把四邊形的四個角都剪下來，拼湊在一起，學生們動手做過后都驚奇地發(fā)現(xiàn)，不管學生們畫出什么樣的四邊形，他們的結果都是一樣的。我便用了一個非常簡單的方法給學生們證明了一下他們的答案：如圖1，連接AC，四邊形ABCD的內角和等于兩個三角形內角和的和，即180°×2=360°。學生們通過動手調動了學習興趣，而且這個理論是他們自己動手做出來的，他們的印象更深，理解和記憶起來都更容易。接著我便讓學生在紙板上畫出了任意多邊形，讓他們試著去探索任意多邊形的內角和。學生們帶著剛才的興致，又開始動手了，在他們不斷地探索和實踐中，很快他們就找到了規(guī)律，這時候我便給他們引出了多邊形內角和定理：n邊形的內角的和等于：（n－2）×180°，則正多邊形各內角度數(shù)為：（n－2）×180°÷n。學生們在實踐中感受到了學習的快樂，自然增加了他們的學習情趣，也增強了他們的動手實踐能力。
三、建立和諧的師生關系，創(chuàng)設寬松氛圍
【案例1】 平行四邊形面積的計算
片段1
師：同學們，我們已經(jīng)學會計算長方形、正方形的面積，生活中有時候還需要我們計算平行四邊形的面積。剛才，老師發(fā)給每個同學一張紙，紙上印有一個平行四邊形（如圖），看我們的同學誰會動腦筋、想辦法，計算出紙上平行四邊形的面積，并知道平行四邊形面積的計算方法可能是怎樣的。下面，每個同學就開動自己的腦筋思考吧！
富有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)了學生積極參與探究實踐活動，只見有的學生在畫著，有的學生在量著，有的學生在計算著，有的學生則愣著，也有的學生忍不住抱怨著：它沒告訴什么呀，怎么算？老師悄悄地走過去，小聲地問：告訴什么，你就能算了？你有辦法自己去知道需要的條件嗎？得到啟發(fā)，該學生也拿尺量了起來。教師友善地提醒大家：請注意，量出的長度會有誤差，請你取整厘米數(shù)。對于個別沒有思路的同學，教師輕聲地啟發(fā)，如果是長方形的話你能算出它的面積嗎？你有辦法把它轉化成長方形嗎？再想想吧！
大約過了3、4分鐘，絕大多數(shù)學生有了自己的答案。我認為，有效的課堂是在教師的有效引領下以學生的獨立思考，形成各自的想法為前提的。教師沒有進行這樣的導入：在黑板上畫一個平行四邊形，告訴學生這節(jié)課要學習的是計算平行四邊形的面積，并提問：我們能不能把平行四邊形剪拼成長方形。我們可以沿著哪條線剪開，能正好拼成一個長方形？引導學生操作實踐，進行觀察、比較……因為這樣的導入，教師已經(jīng)給出了解決問題的思路，學生只要執(zhí)行老師的指令，就能輕易得出平行四邊形面積的計算公式，沒有機會，也不需要進行自己的思考，不可能形成真正屬于自己的想法。而需要學生形成各自的想法，首先就應該讓學生積極地獨立思考、自主探索，并且力求使全體學生積極參與。
片段2
師：同學們，有結果了嗎？
（學生猶豫地陸續(xù)舉起了手）
師：我只要結果，誰先來報一報你的結果是多少？
生：這個平行四邊形的面積是35平方厘米。
師：有不同答案嗎？（有同學激動地站起來舉手說“有！”）
生：我的答案是28平方厘米。（還有同學想說，高高地舉著手。）
生：我算下來是32平方厘米。
師：還有沒有？（這時，沒有學生再舉手了。）
這里，老師做得非常好！讓同學把不同答案說出來，再說想法。其實，老師是不知道正確答案的。試想，如果老師先讓正確的學生匯報，把想法和答案都展示出來，教師再給予充分肯定與表揚，這時課堂上又會是怎樣的情景，想必一些算錯的學生，或者一些對自己想法沒有把握的學生，他們就很難有勇氣把自己的想法展示出來。當然，這種勇氣也是需要培養(yǎng)的，但人都有一種求成的欲望，更何況是小學生，很有可能，個別學生的正確答案替代了教師的講授，而沒有了學生之間不同想法的交流、思維的碰撞，思維的火花也就不可能產(chǎn)生。
【案例2】 《三角形內角和》教學片段
在探究得出三角形內角和是180°后，學生順利地完成了基本練習，接下來是一道拓展練習題。四邊形的內角和是多少度？
生：四邊形的內角和是360°。
師：你能說明為什么嗎？
生：因為長方形和正方形它們四個內角都是直角，90°×4=360°，所以我覺得一般四邊形的內角和也是360°。
師：這位同學是從特殊到一般，得出四邊形的內角和是360°，誰能進一步說明為什么嗎？
生：我在四邊形里面畫一條線把它分成兩個三角形，每個三角形的內角和是180°，兩個就是360°。
師：大家同意他的意見嗎？
學生表示同意，老師也表揚了這位同學的重大發(fā)現(xiàn)，正當老師準備進行下面的環(huán)節(jié)時。一個同學站了起來，說出了他的發(fā)現(xiàn)。
生：老師，我不同意剛才那個同學的意見，我認為他的方法是錯誤的，我用他的方法試了試，在四邊形里面畫兩條這樣的線，就分成四個三角形了。內角和就是720°，多了360°。這位學生的解釋讓老師犯難了，但這位老師并沒有簡單地說他的發(fā)現(xiàn)是錯誤的，而是將這個問題拋給了大家。
師：這位同學很細心，發(fā)現(xiàn)畫兩條線就多出了360°為什么會多出360°呢？請大家和這位同學一樣，在四邊形里面畫兩條對角線，仔細思考，分成的四個三角形內角和與原來四邊形的內角和有什么關系？
顯然，這個意外是學生一次錯誤的“發(fā)現(xiàn)”，但這個錯誤本身是有研究價值的。討論中學生發(fā)現(xiàn)，多出的360°是因為在對角線交點處，就增加了一個周角，而這個周角不屬于四邊形的內角，計算四邊形的內角和時要減掉這多出來的360°。
尋找、思考和交流的過程，正是學生空間思維和邏輯思維能力得到發(fā)展的過程。這是一個錯誤，更是一次機會。老師并沒有往下進行預設的環(huán)節(jié)，而是引領學生讓他們去操作、去分析、去討論，從而把這個生成轉化為寶貴的課程資源。
實踐告訴我們，每位學生都有學習數(shù)學的潛力，在整個教學過程中，讓學生不斷生成問題、解決問題，教師在其中要善于挑起“矛盾”，引發(fā)疑問，引起爭論，促使學生進行深入思考。教師的任務就是科學地、有效地引領學生自己去發(fā)現(xiàn)，自己去探索，在精彩的生成中體會濃濃的數(shù)學味。因此，一個富有生命力的課堂，必定是注重學生學習過程的課堂，一個促使學生的問題不斷解決與生成的課堂。
平行四邊形是在學習了平行線和三角形之后，是對平行線和三角形知識的應用和深化。同時又是為以后學習矩形、菱形、正方形等打基礎，起著承上啟下的橋梁作用。平行四邊形具有較多的性質，平行四邊形對角相等，對邊相等。通過平行四邊形的定義，我們很自然地聯(lián)想到平行線的知識，就可以把平行四邊形這一新知識，其中的部分內容可以轉化為平行線這一舊知識。例如：已知，四邊形ABCD為平行四邊形。求證：∠A=∠C，∠B=∠D。
分析：?荀ABCD的鄰角均為同旁內角，利用平行線的性質得∠A=180-∠B，∠C=180-∠B
∠A=∠C。同理可得∠B=∠D。
這就是利用平行線的性質定理“兩直線平行，同旁內角互補”，推導出了平行四邊形的一個重要的性質定理“平行四邊形的對角相等”。我們可以借助三角形的知識，進一步深入研究平行四邊形，如何實現(xiàn)這一步新舊知識的轉化呢？我們可以采用添加對角線的方法，如果添加一條，則把平行四邊形分成兩個全等三角形，于是能夠證明平行四邊形的第二個性質定理“平行四邊形的對邊相等”；如果添加兩條對角線，則把平行四邊形分成四個最基本的小三角形，對等的兩個分別全等，于是我們證明平行四邊形的第三條性質定理“平行四邊形的對角線互相平分”。因此，對角線成為解決平行四邊形問題中一種重要的輔助線。
好多學生不知道輔助線是怎么做的、為什么這樣做、有幾種不同做法等問題。事實上，學生在自主探究問題時，就要注重培養(yǎng)和鍛煉他們探究問題的手段和方法，并體會“對折”可以畫中線、角的平分線、中位線等?！捌揭啤本涂梢援嬈叫芯€，找同位角、內錯角、同旁內角等；以此引導學生添加適當?shù)妮o助線，把未知化為已知，利用已學過的知識來解決新的問題，提高學生分析問題、解決問題的能力。
關鍵詞：情境；探究；實驗
中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2013）03-213-01
數(shù)學知識和科學技術、社會生活息息相關。關注現(xiàn)代數(shù)學科學技術的發(fā)展，能使學生真正了解到數(shù)學知識的實用價值，使數(shù)學教學過程成為學生愉悅的情感體驗過程，讓學生感悟到實際生活中的數(shù)學的奇妙和規(guī)律，從而激發(fā)學生勇于探索科學知識的最大潛能，真正實現(xiàn)從生活走向數(shù)學，從數(shù)學走向社會。
一、讓學生自己去探知，找出規(guī)律
新課標下要充分發(fā)揮教師的指導作用，就初中階段的學生所研究的題目來說，結論是早就有的，之所以要學生去探究，去發(fā)現(xiàn)，是想叫他們去體驗和領悟科學的思想觀念、科學家研究問題的方法，同時獲取知識。但是，敢“放”并不意味著放任自流，而是科學的引導學生自覺的完成探究活動。當學生在探究中遇到困難時，教師要予以指導。當學生的探究方向偏離探究目標時，教師也要予以指導。所以教師要相信學生的能力，讓學生在充分動腦、動手、動口過程中主動積極的學，千萬不要只關注結論的正確與否，甚至急于得出結論。
例如：我們求多邊形內角和，教學過程：
（一）創(chuàng)設情境，設疑激思。
教師：大家都知道三角形的內角和是180? ，那么四邊形的內角和，你知道嗎？
活動一：探究四邊形內角和。在獨立探索的基礎上，學生分組交流與研討，并匯總解決問題的方法。
方法一：用量角器量出四個角的度數(shù)，然后把四個角加起來，發(fā)現(xiàn)內角和是360?。
方法二：把兩個三角形紙板拼在一起構成四邊形，發(fā)現(xiàn)兩個三角形內角和相加是360?。
接下來，教師在方法二的基礎上引導學生利用作輔助線的方法，連結四邊形的對角線，把一個四邊形轉化成兩個三角形。
教師：你知道五邊形的內角和嗎？六邊形呢？十邊形呢？你是怎樣得到的？
活動二：探究五邊形、六邊形、十邊形的內角和。
學生先獨立思考每個問題再分組討論。
關注：（1）學生能否類比四邊形的方式解決問題得出正確的結論。
（2）學生能否采用不同的方法。
學生分組討論后進行交流（五邊形的內角和）
方法1：把五邊形分成三個三角形，3個180?的和是540?。
方法2：從五邊形內部一點出發(fā)，把五邊形分成五個三角形，然后用5個180?的和減去一個周角360?。結果得540?。
方法3：從五邊形一邊上任意一點出發(fā)把五邊形分成四個三角形，然后用4個180?的和減去一個平角180?，結果得540?。
方法4：把五邊形分成一個三角形和一個四邊形，然后用180?加上360?，結果得540?。
教師：你真聰明！做到了學以致用。
交流后，學生運用幾何畫板演示并驗證得到的方法。
得到五邊形的內角和之后，同學們又認真地討論起六邊形、十邊形的內角和。類比四邊形、五邊形的討論方法最終得出，六邊形內角和是720?，十邊形內角和是1440?。
（二）引申思考，培養(yǎng)創(chuàng)新
師：通過前面的討論，你能知道多邊形內角和嗎？
活動三：探究任意多邊形的內角和公式。
思考：（1）多邊形內角和與三角形內角和的關系？
（2）多邊形的邊數(shù)與內角和的關系？
（3）從多邊形一個頂點引的對角線分三角形的個數(shù)與多邊形邊數(shù)的關系？
學生結合思考題進行討論，并把討論后的結果進行交流。
發(fā)現(xiàn)1：四邊形內角和是2個180?的和，五邊形內角和是3個180?的和，六邊形內角和是4個180?的和，十邊形內角和是8個180?的和。
發(fā)現(xiàn)2：多邊形的邊數(shù)增加1，內角和增加180?。
發(fā)現(xiàn)3：一個n邊形從一個頂點引出的對角線分三角形的個數(shù)與邊數(shù)n存在（n-2）的關系。
得出結論：多邊形內角和公式：（n-2）·180。
在數(shù)學教學中，怎樣寓知識、技能、方法、思想于一個學過程中，是數(shù)學教學的重要課題。由于數(shù)學的高度抽象性、嚴謹?shù)倪壿嬓?、結論的確定性以及應用的廣泛性這些特征，決定了數(shù)學教學的難度。如果教師只是注重單純地傳授知識，而不注重學習方法的指導和能力的培養(yǎng)，學生就會跟在老師的后面跑，整天忙忙碌碌，全是死記硬背。聽老師講時還會，自己做時就錯，臨到考時就蒙，這樣下去是越來越糊涂。所以，要使學生變書本知識為自己知識，就必須學會學習知識的方法。下面就其怎樣使學生在原有知識基礎上學習新知識的方法談些教學體會。
新知識的獲得，離不開原有認知基矗很多新知識都是學生在已有知識基礎上發(fā)展起來的。因此，對于學生來講，學會怎樣在已有知識的基礎上掌握新知識的方法是非常必要的。這就需要教師在教學中精心設計、抓住知識的生長點、促進正遷移的實現(xiàn)。
例如，在研究多邊形內角和定理時，可向學生提出：我們已經(jīng)知道三角形的內角和等于180°，那么，你能根據(jù)三角形的內角和求出四邊形的內角和嗎？這樣簡單、明了的一句話就勾通了新舊知識間的內在聯(lián)系。問題的提出，激發(fā)了學生學習的興趣，促使了學生思維的展開，提供了回答問題的機會，創(chuàng)造了活躍的教學氣氛，學生會準確地回答出四邊形的內角和等于360°。又問：你是根據(jù)什么說四邊形的內角和等于360°呢？是猜想的？還是推理得到的？學生的回答是作四邊形的對角線，將四邊形分為兩個三角形，而每個三角形的內角和等于180°，兩個三角形的內角和等于360°。教師馬上對學生的回答給以肯定和鼓勵，再問：五邊形、六邊形的內角和等于多少度？學生很快就會回答出五邊形的內角和等于540°，六邊形的內角和等于720°。接著又問：你知道十邊形、一百邊形、一千邊形的內角和是多少度嗎？這是老師故意設置“知識障礙”，激發(fā)學生的求知欲望。及時引導、啟發(fā)、遷移、總結規(guī)律。讓學生觀察、發(fā)現(xiàn)求四邊形、五邊形、六邊形的內角和，都是從它們的一個頂點作對角線將它們轉化為三角形來求得的，并且內角和是由從它們的一個頂點作對角線所分得三角形的個數(shù)確定的，而三角形的個數(shù)又是由這個多邊形的邊數(shù)確定的。從而可知從n邊形的一個頂點作對角線可將n邊形分成（n－2）個三角形，所以n邊形的內角的和等于（n－2）·180°，即得多邊形的內角和定理。這個定理的出現(xiàn)，是教者通過設疑、引導、啟發(fā)學生思維，尋求解題方法，由個性問題追朔到共性問題，總結出了一般規(guī)律。這樣做，不但使學生學會了在原有知識基礎上學習新知識的方法，又培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力，還滲透了把多邊形轉化為三角形來研究的數(shù)學轉化思想。
當學生在原有知識的基礎上掌握了學習新知識的方法和數(shù)學的轉化思想，對于諸如此類的問題就迎刃而解了。如，研究梯形中位線定理，學生很自然就會將它轉化為三角形中位線來解決。對于平行四邊形、梯形的問題學生也很容易就想到轉化為已有知識來研究。又如，對于解二元二次方程組，學生根據(jù)已學過的解一元二次方程等知識，自然就會想到通過消元將原方程組轉為一元二次方程來解之，或將二元二次方程組通過降次轉化為一次方程或有一個一次方程和一個二次方程組來解決。對于分式方程要通過去分母或換元轉化為整式方程來解。對于無理方程需把方程兩邊乘方或換元化為有理方程來解。
在數(shù)學教學中，教師只要做到精心設計教學環(huán)節(jié)，科學的提出問題，采取得體的教學方法、適時疏導，幫助學生學會用自己的語言對所學知識進行概括和總結，以知識講方法，以方法取知識，就能夠調動學生學習數(shù)學的積極性，達到開發(fā)學生智力、提高學生能力的目的。
在數(shù)學教學中，怎樣寓知識、技能、方法、思想于一個學過程中，是數(shù)學教學的重要課題。由于數(shù)學的高度抽象性、嚴謹?shù)倪壿嬓?、結論的確定性以及應用的廣泛性這些特征，決定了數(shù)學教學的難度。如果教師只是注重單純地傳授知識，而不注重學習方法的指導和能力的培養(yǎng)，學生就會跟在老師的后面跑，整天忙忙碌碌，全是死記硬背。聽老師講時還會，自己做時就錯，臨到考時就蒙，這樣下去是越來越糊涂。所以，要使學生變書本知識為自己知識，就必須學會學習知識的方法。下面就其怎樣使學生在原有知識基礎上學習新知識的方法談些教學體會。
新知識的獲得，離不開原有認知基矗很多新知識都是學生在已有知識基礎上發(fā)展起來的。因此，對于學生來講，學會怎樣在已有知識的基礎上掌握新知識的方法是非常必要的。這就需要教師在教學中精心設計、抓住知識的生長點、促進正遷移的實現(xiàn)。
例如，在研究多邊形內角和定理時，可向學生提出：我們已經(jīng)知道三角形的內角和等于180°，那么，你能根據(jù)三角形的內角和求出四邊形的內角和嗎？這樣簡單、明了的一句話就勾通了新舊知識間的內在聯(lián)系。問題的提出，激發(fā)了學生學習的興趣，促使了學生思維的展開，提供了回答問題的機會，創(chuàng)造了活躍的教學氣氛，學生會準確地回答出四邊形的內角和等于360°。又問：你是根據(jù)什么說四邊形的內角和等于360°呢？是猜想的？還是推理得到的？學生的回答是作四邊形的對角線，將四邊形分為兩個三角形，而每個三角形的內角和等于180°，兩個三角形的內角和等于360°。教師馬上對學生的回答給以肯定和鼓勵，再問：五邊形、六邊形的內角和等于多少度？學生很快就會回答出五邊形的內角和等于540°，六邊形的內角和等于720°。接著又問：你知道十邊形、一百邊形、一千邊形的內角和是多少度嗎？這是老師故意設置“知識障礙”，激發(fā)學生的求知欲望。及時引導、啟發(fā)、遷移、總結規(guī)律。讓學生觀察、發(fā)現(xiàn)求四邊形、五邊形、六邊形的內角和，都是從它們的一個頂點作對角線將它們轉化為三角形來求得的，并且內角和是由從它們的一個頂點作對角線所分得三角形的個數(shù)確定的，而三角形的個數(shù)又是由這個多邊形的邊數(shù)確定的。從而可知從n邊形的一個頂點作對角線可將n邊形分成（n－2）個三角形，所以n邊形的內角的和等于（n－2）·180°，即得多邊形的內角和定理。這個定理的出現(xiàn)，是教者通過設疑、引導、啟發(fā)學生思維，尋求解題方法，由個性問題追朔到共性問題，總結出了一般規(guī)律。這樣做，不但使學生學會了在原有知識基礎上學習新知識的方法，又培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力，還滲透了把多邊形轉化為三角形來研究的數(shù)學轉化思想。
當學生在原有知識的基礎上掌握了學習新知識的方法和數(shù)學的轉化思想，對于諸如此類的問題就迎刃而解了。如，研究梯形中位線定理，學生很自然就會將它轉化為三角形中位線來解決。對于平行四邊形、梯形的問題學生也很容易就想到轉化為已有知識來研究。又如，對于解二元二次方程組，學生根據(jù)已學過的解一元二次方程等知識，自然就會想到通過消元將原方程組轉為一元二次方程來解之，或將二元二次方程組通過降次轉化為一次方程或有一個一次方程和一個二次方程組來解決。對于分式方程要通過去分母或換元轉化為整式方程來解。對于無理方程需把方程兩邊乘方或換元化為有理方程來解。
在數(shù)學教學中，教師只要做到精心設計教學環(huán)節(jié)，科學的提出問題，采取得體的教學方法、適時疏導，幫助學生學會用自己的語言對所學知識進行概括和總結，以知識講方法，以方法取知識，就能夠調動學生學習數(shù)學的積極性，達到開發(fā)學生智力、提高學生能力的目的。
1 引發(fā)探索
教育家布魯納說過：“探索是數(shù)學的生命線?！?學生學習數(shù)學的過程不能是被動地吸收課本上的現(xiàn)成結論，而是學生親自參與的充滿豐富生活的思維活動，經(jīng)歷一個探索、實踐和創(chuàng)新的過程。在學習枯燥的數(shù)學概念時，教師如何讓學生對學習數(shù)學概念產(chǎn)生興趣，處于思考的最佳狀態(tài)，可以有如下的方法。
1.1 創(chuàng)設情境、引發(fā)探索。 學生在真實情境下進行學習，可以激發(fā)學生的聯(lián)想思維，激發(fā)學生學習數(shù)學概念的興趣與好奇心。在教學《圓的認識》一課，我先用談話的方式問學生“生活中哪些地方可以見到圓形？”，讓學生想一想、說一說，再用多媒體出示了生活中常見的情境，“下水道井蓋是圓形的、各式各樣車的輪胎也都是圓形的……”。這樣就引發(fā)學生思考，為什么人們要把這些東西做成圓形的呢？
1.2 矛盾質疑、引發(fā)探索。 “學起于思，思源于疑”。學生有了疑問才會去進一步思考問題，有所創(chuàng)造。在教學了“什么樣的數(shù)可以被2、5整除”后，學生很自然地對“什么樣的數(shù)可以被3整除”這個問題感興趣。而尋找“被3整除的數(shù)”的方法與“被2、5整除的數(shù)”的方法又有所不同，學生遭遇了理智的挑戰(zhàn)，從而更積極地參與新問題的探索與創(chuàng)新過程。
1.3 發(fā)現(xiàn)猜想、引發(fā)探索。 蘇霍姆林斯基曾說：“人的心靈深處，總有一種把自己當作發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者固有需要，……” 在教學時讓學生自主質疑，去發(fā)現(xiàn)問題，大膽猜想，使學生由機械接受向主動探索發(fā)展，更有利于發(fā)展學生的創(chuàng)造個性。例如：在教學“三角形的內角和”時，先讓學生通過測量計算多個不同三角形的內角和，發(fā)現(xiàn)三角形的內角和在180度左右，學生猜想“三角形的內角和是180度”。師：“你們的猜想很大膽、也非常有可能性，那么誰能想到方法驗證你們的猜想呢？”這樣引發(fā)學生進一步探索三角形內角和的度數(shù)。
2 認識學習
概念是思維形式之一，也是判斷和推理的起點，學生有了正確、清晰、完整的數(shù)學概念，就有助于掌握基礎知識，提高運算和解題技能。如果沒有正確的概念，就不可能有正確的判斷和推理，更談不上邏輯思維能力的培養(yǎng)。并且概念教學對發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生的思維能力起重要作用。
2.1 認識學習概念的定義過程。 概念的形成過程，蘊藏著向學生滲透數(shù)學思想方法、訓練思維的好機會。在教學平行四邊形、梯形的概念時，我先出示多種四邊形，如圖：
讓學生想一想，這些四邊形我們根據(jù)它們的特征可以怎樣來分類呢？生根據(jù)直角來分，分為4個內角都是直角的四邊形、有2個內角是直角的四邊形、四個內角都不是直角的四邊形。如圖：
生根據(jù)邊長來分，分為4條邊都一樣長的四邊形、有2組對邊分別相等的四邊形、其它四邊形。如圖：
生根據(jù)平行情況來分，分為兩組對邊分別平行的四邊形、只有一組對邊平行的四邊形、對邊都不平行的四邊形。如圖：
學生通過以上的學習過程，在學習平行四邊形的概念時有了更深刻的認識?！皟山M對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”、“只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形”，這兩個概念是按照四邊形的兩組對邊平行情況來定義的。
2.2 認識學習概念的內涵。
從材料感性認識概念的內涵
為了使學生順利地獲取有關概念，我們在數(shù)學概念教學中要根據(jù)小學生的年齡特點，在教學過程中要提供與學生思維水平和原有感性經(jīng)驗相吻合的感性材料，讓學生通過看、聽、觸等多種感官對概念的個別屬性及聯(lián)系進行多方面的感知。如教學《圓柱》時，學生通過看、摸許多圓柱模型感知圓柱的外形特征；通過動手剪，將圓柱各部分展開，進一步認識圓柱的基本構成；再通過動手畫，感知圓柱的高。
從本質屬性認識概念的內涵
理解概念，要能舉出概念所反映的現(xiàn)實原型，明確概念的內涵與外延，即明確概念所反映的一類事物的共同本質屬性，和概念所反映的全體對象。例如：乘法分配律，它的概念原型是(a+b)×c=a×c+b×c，那么a×(b±c)=a×b±a×c、 a×c±b×c = (a±b)×c、a×c±c×b = (a±b)×c這些都是乘法分配律的變形。同時學生還應該會區(qū)分a+b×c≠a×c+b×c、a+c×b+c≠(a+b)×c.。另外還有一些拆分的情況，如：35×201＝35×（200＋1）＝35×200＋35。
2.3 認識學習概念的意義用途。 真正要學好一個數(shù)學概念，并不是簡單的字面理解，而是要懂得這個概念的實際意義，學生學好數(shù)學離不開數(shù)學概念的運用。