數(shù)學建模的微分方程方法精選(九篇)

前言：一篇好文章的誕生，需要你不斷地搜集資料、整理思路，本站小編為你收集了豐富的數(shù)學建模的微分方程方法主題范文，僅供參考，歡迎閱讀并收藏。

第1篇：數(shù)學建模的微分方程方法范文

【關鍵詞】常微分方程；數(shù)學模型；建模

【基金項目】吉林省高教學會高教科研課題2016年度立項課題數(shù)學模型在大學數(shù)學教育中的應用研究（課題編號：JGJX2016D71）.

大學數(shù)學課程主要培養(yǎng)學生的邏輯思維能力以及運用所學的數(shù)學知識計算和證明數(shù)學問題.可是大部分學生會發(fā)現(xiàn)在面對實際問題時，他們還是不知道怎樣利用數(shù)學知識去解決.同時，還會覺得數(shù)學知識枯燥乏味、高深難懂，逐漸就失去了學習數(shù)學的熱情和鉆研精神.這是大學數(shù)學課程中普遍存在的問題，而且也是大學數(shù)學教師迫切需要解決的問題.

數(shù)學建模是一個創(chuàng)造性的思維鍛煉，它通過對實際問題進行分析，根據(jù)其內在規(guī)律，在一些必要的簡化假設下轉化成數(shù)學問題，進而通過數(shù)學方法來求解.把數(shù)學建模的思想融入大學數(shù)學課程中是一個行之有效的方法.一方面，通過數(shù)學建模能夠使學生認識到實際問題和數(shù)學問題的聯(lián)系，增加學習數(shù)學知識的興趣；另一方面，在解決實際問題時，又必然要用到數(shù)學工具，從而增加學生學習數(shù)學知識的動力.很多大學數(shù)學教師都在探索如何將數(shù)學建模的思想融入大學數(shù)學課程中，以此調動學生學習數(shù)學的積極性.

常微分方程是大學數(shù)學課程中的一門與實際應用緊密聯(lián)系的課程.常微分方程是由物理學、天文學、生物學、經(jīng)濟學等眾多的自然科學和社會科學領域中的實際問題提出的，通過運用微積分的理論及計算方法來研究常微分方程的解及解具有的性質.雖然常微分方程在實際生活中具有廣泛的應用，但是很多學生并不知道或者知之甚少，從而缺乏學習的動力和興趣.因此，在常微分方程課程中融入數(shù)學建模思想是必要的，也是可行的.若能把數(shù)W建模思想融入常微分方程的教學中，那么學生能夠深刻認識到所學知識的用途，提高學習熱情，獲得良好的教學效果.

一、一階常微分方程的建模案例

程的解為

N（t）=N0ert，t>0.

值得注意的是這個模型有一定的局限性，即隨著t的增加，人口數(shù)將以指數(shù)級增加，這是不現(xiàn)實的.出現(xiàn)這樣的情況是因為沒有考慮到環(huán)境容許的最大容量.但是這個模型可以描述某個地區(qū)短期的人口數(shù)量.事實上，這個模型與19世紀以前歐洲某些地區(qū)人口和遷往加拿大的歐洲移民人口都大致吻合.

二、常微分方程穩(wěn)定性理論的應用舉例

在某些實際問題中，若關注的焦點不是每一時刻的狀態(tài)，而是當時間充分長以后的狀態(tài)時，我們不需要求解問題，而可以利用常微分方程穩(wěn)定性理論，直接研究解在很長時間以后的狀態(tài)的穩(wěn)定性即可.

第2篇：數(shù)學建模的微分方程方法范文

關鍵詞：常微分方程 數(shù)學建模 人口預測

引言

縱觀微分方程的發(fā)展史，我們發(fā)現(xiàn)微分方程與物理、天文學以及日異月新的科學技術有著密切的聯(lián)系。牛頓在研究天體力學和機械力學的時候，就利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動的規(guī)律。后來，法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都證明微分方程在改造自然和認識自然方面有著巨大的力量。微分方程是自變量、未知函數(shù)及函數(shù)的導數(shù)(或微分)組成的關系式。在解決實際問題的過程中，我們又得出了常微分方程的概念：如果在一個微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)中只含有一個自變量，那么這個方程則稱為常微分方程，也可以簡單的叫做微分方程.在反映客觀現(xiàn)實世界運動過程的量與量之間的關系中，大量存在滿足微分方程關系似的數(shù)學模型，需要我們通過求解常微分方程來了解未知函數(shù)的性質。常微分方程是解決實際問題的重要工具。

常微分方程在數(shù)學建模中的應用舉例

微分方程在數(shù)學建模中的應用大體是：首先，建立數(shù)學模型，根據(jù)問題的目的、要求具體分析做出相應的簡化和假設；然后按照規(guī)律列出微分方程，求出方程的解；最后將實際對象帶入結果中，對問題進行描述、分析、預測和控制。

2.1人口指數(shù)增長模型

最簡單的人口增長模型是：記今年人口為，年后人口為，年增長率為，則(4.1)

這個公式的基本前提是年增長率保持不變。

二百多年前英國人口學家馬爾薩斯調查了英國一百多年的人口統(tǒng)計資料，得出了人口的增長率是常數(shù)的假設，并據(jù)此建立了著名的人口指數(shù)增長模型。

記時刻的人口為，當考察一個國家或一個較大地區(qū)的人口時，是一個很大的整數(shù)，為了利用微積分這一數(shù)學工具，將視為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時刻的人口為，假設人口增長率為常數(shù)，即單位時間內的增量與的比例系數(shù)?？紤]到時間內人口的增量，顯然有

令取極限，得到滿足的微分方程(2.2)

由這個線性常系數(shù)微分方程很容易解出(2.3)

表明人口將按指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長()。因此，(2.3)式稱為人口指數(shù)增長模型，也稱為馬爾薩斯人口模型。

由微分學的理論知，當時，．這樣將以年為單位離散化，由公式(2.3)得到前面所討論的公式(2.1)，即

由此可見公式(2.1)只是人口指數(shù)增長模型(2.3)的離散近似形式。

歷史上，人口指數(shù)增長模型與19世紀以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以很好地吻合，遷往加拿大的歐洲移民后代人口也大致符合這個模型。另外，用它作短期人口預測可以得到較好的結果。這是因為在這些情況下，模型的基本假設“人口增長率是常數(shù)”大致成立。

但是長期來看，任何地區(qū)的人口都不可能無限增長，即指數(shù)模型不能描述、也不能預測較長時期的人口演變過程，這是因為人口增長率事實上是不斷地變化著.排除災難、戰(zhàn)爭等特殊時期，一般來說，當人口較少時，其增長較快，即增長率較大；人口增加到一定數(shù)量后，增長就會慢下來，即增長率變小。因此為了使人口預測特別是長期預測能更好地符合實際情況，必須修改人口指數(shù)增長模型中關于人口增長率是常數(shù)這個基本假設。

2.2人口阻滯增長模型

由于自然資源、環(huán)境條件等因素對人口的增長起著阻滯作用，并且隨著人口的增加，阻滯作用越來越大，因此人口增長到一定數(shù)量后增長率會下降。人口阻滯增長模型就是考慮到這個因素。

阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率的影響上，使得隨著人口數(shù)量的增加而下降。若將表示為的函數(shù)，則它應是減函數(shù)，于是方程(2.2)改寫為(2.7)

對的一個最簡單的假設是，設為的線性減函數(shù)，即(2.8)

這里稱為固有增長率，表示人口很少時（理論上是）的增長率。為了確定系數(shù)的意義，引入自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量，稱為人口容量。當時人口不再增長，即增長率，代入(2.8)式得.于是(2.8)式化為(2.9)

其中，是根據(jù)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)或經(jīng)驗確定的常數(shù)，(2.9)式的另一種解釋是：增長率與人口尚未實現(xiàn)部分的比例成正比，比例系數(shù)為固有增長率。

將(2.9)式代入方程(2.7)得(2.10)

方程(2.10)右端因子體現(xiàn)人口自身的增長趨勢，因子()則體現(xiàn)了資源和環(huán)境對人口增長的阻滯作用。顯然越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增長是兩個因子共同作用的結果。方程(2.10)稱為人口阻滯增長模型，也稱為Logistic模型。

用分離變量法解方程(2.10)得(2.11)

用該預測模型對美國近兩個世紀人口的增長進行模擬計算，除了19世紀中葉到20世紀中葉的擬合效果不很好外，其余部分擬合的都不錯.

結論

通過以上的實例分析可以看出，常微分方程與數(shù)學建模結合起來，對解決人口預測的問題有著非常重要的實際作用。本文所做的分析只是眾多應用中的一個方面，隨著現(xiàn)代科學技術的飛速發(fā)展，有理由相信基于微分方程的數(shù)學建模有著更加廣闊的前景。

參考文獻

[1]常廣平.常微分方程的思想方法與應用[J]

第3篇：數(shù)學建模的微分方程方法范文

數(shù)學建模思想

數(shù)學建模就是指為了實現(xiàn)某一個特定的目標，借助各類數(shù)學符號、公式以及圖表，將特定的客觀世界事物本質與內在聯(lián)系進行表達的過程。數(shù)學建?？梢杂糜诮鉀Q生活中的很多實際問題，其利用實際事物之間的數(shù)量關系以及內在規(guī)律，將其轉化為數(shù)學問題，并借助數(shù)學方法進行求解，以達到解決實際問題的目的。隨著計算機技術的不斷發(fā)展，在數(shù)學知識與計算機技能相結合下，數(shù)學建模思想在解決實際問題方面效果越來越明顯。

數(shù)學建模按照建立模型的數(shù)學方法可以分為初等模型、幾何模型、微分方程模型、統(tǒng)計回歸模型、數(shù)學規(guī)劃模型等。按照模型的表現(xiàn)特性又有幾種分法，可以分為確定性模型和隨機性模型，靜態(tài)模型和動態(tài)模型，線性模型和非線性模型，離散模型和連續(xù)模型。

數(shù)學建模思想與高等數(shù)學教學融合的必要性

數(shù)學建模思想對于打破傳統(tǒng)的教學模式非常有效果，其能夠充分調動學生的學習主體性和探究性。在數(shù)學建模的過程中，學生需要對教師提出的實際問題進行分析、并借助數(shù)學知識將其轉化為數(shù)學問題，然后，構建解決該數(shù)學問題的數(shù)學模型，并最終得出模型的解決方法。這些過程中，學生的實際動手能力以及創(chuàng)新能力得到了顯著的提升。不僅如此，數(shù)學建模過程，并不是一個學生可以獨立完成的，其需要小組成員相互配合，依靠團隊的力量共同完成。所以，數(shù)學建模過程中，學生的團隊合作能力也是有所增強。這對于學生將來的工作和生活都是有所幫助的。

數(shù)學建模思想在高等數(shù)學教學中的應用

1 數(shù)學概念以及定理教學中數(shù)學建模思想的應用

高等數(shù)學中相關的數(shù)學概念有很多。而且，都具有很強的抽象性。例如：導數(shù)概念以及微積分概念等。解決生活中的實際問題很多都會用到導數(shù)的概念，導數(shù)可以用來表示變速直線運動的即時速度以及經(jīng)濟生產中的成本變化率等。教師在教學過程中，可以對這些問題進行數(shù)學建模，在建模的過程中，引出導數(shù)的概念。

2 數(shù)學建模思想在實際問題解決中的應用

高等數(shù)學中，很多公式都是具有實際意義的。所以，教師在教學過程中，要盡量選取一些實際問題，并借助數(shù)學建模思想加以解決。例如：高等數(shù)學中涉及到的一階微分方程：

這個常微分方程可以用來表示某一生產企業(yè)的新產品銷售模型，同時，其也可以看做是銷售機構的銷售模型，在生物研究領域，其亦被稱為是Logistic模型。是用來描述在某特定約束條件下，生物數(shù)量的增長情況。

3 實例分析

常微分方程是高等數(shù)學課程中的重要教學內容，其是高等數(shù)學知識解決實際問題的重要手段。下面以實際例子對數(shù)學建模思想在高等數(shù)學教學中的應用進行分析。

例1：在產品供應鏈中，甲廠是負責為乙廠生產零部件的。乙廠將甲廠生產的設備零件進行組裝，制成成品，并進行銷售。二者形成了供給關系。如果沒有甲廠的零配件，乙廠就無法進行產品生產，面臨著供貨困難的局面。而甲廠需要靠提供零部件，來維持生產經(jīng)營，從中獲利。所以，二者是相互依存的關系。現(xiàn)在利用數(shù)學模型討論二者之間的量化關系。

模型建立：假設甲廠生產的零配件數(shù)量為x（t），乙廠的產品數(shù)量為y（t），甲廠的零件生產增長率為r，乙廠產品生產能力為a，乙廠不依靠甲廠生產產品的生產率為d，甲廠供給乙廠生產零件的能力為b。則有：

微分方程組的求解通常在高等數(shù)學中往往局限于某幾種特定模型，但遠遠不能滿足實際需求，該方程無解析解，可采用MATLAB進行求解得到數(shù)值解。

從這個實例中我們看到了數(shù)學知識在實際問題中的應用，微分方程知識的具體應用，從提出問題到最終得到周期有規(guī)律的曲線都表明引入數(shù)學建模思想是使得高等數(shù)學教學具體化、形象化的有效工具。

結論

第4篇：數(shù)學建模的微分方程方法范文

關鍵詞： 常微分方程 教學方法 數(shù)學建模 線性代數(shù) 微課

在自然科學和社會科學的研究中，許多現(xiàn)象及事物發(fā)展的規(guī)律都可用數(shù)學模型表示出來，而常微分方程是數(shù)學建模中最基本的工具。同時，又是應用數(shù)學專業(yè)一門重要的基礎課，對先修課程及后續(xù)相關課程起到承上啟下作用?，F(xiàn)我對于怎樣教好常微分方程這門課以達到該課程教學目的，提高教學質量，談談一些體會和看法。

一、讓學生了解常微分方程課程的特點，認識到學好該課程的重要意義。

常微分方程是學習其他數(shù)學理論后續(xù)課程的基礎，這些課程包括數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等。課程本身既有嚴密的邏輯性，又有一定的應用性，但目前高校常微分方程課程大多還停留在傳統(tǒng)教師主講形式，偏理論，輕應用，使學生極易產生排斥心理。因此，講授這門課內容之前，教師不妨先利用一些簡單的物理、生物和化學等相關學科的模型引入，讓學生深刻認識到這門課是解決實際問題的有力工具，提高學生對課程的興趣。

二、培養(yǎng)學生的學習興趣。

教師要注意采用多種教學方法，不能為了趕教學進度直接把定義、定理、證明一一搬出來，使學生陷入枯燥的學習中，進而失去學好這門課的興趣。因此，教師在教學過程中既要充分發(fā)揮自身的主導作用，又要讓學生積極、主動地參與到教學中。比如，學習了二階常系數(shù)線性方程的求解后，可以引導學生根據(jù)中學時接觸過的單擺問題，先讓他們嘗試建立簡單的物理模型并加以討論，由此得到出現(xiàn)簡諧振動、共振現(xiàn)象的條件。

三、根據(jù)授課對象，對教學內容進行適當增減，教學難度應有所不同。

學生所學的專業(yè)對數(shù)學基礎的要求不盡相同，因此，教師應該根據(jù)學生專業(yè)選擇授課內容。比如，若授課對象是應用數(shù)學或數(shù)理專業(yè)的學生，則除了要求掌握常微分方程的計算技巧外，還應強調基本數(shù)學定理的證明。若授課對象為金融數(shù)學專業(yè)，常微分方程的作用主要體現(xiàn)在應用上，因此教師在授課中應側重數(shù)值計算，復雜的定理推導可以僅介紹證明思路。此外，若教師在平時工作中注意收集相關實際案例，把這些案例引入各類專業(yè)課堂教學中，則對促進學生學習積極性提高起到至關重要的作用。

四、注意本課程與其他課程的相互滲透。

常微分方程教學內容中，計算占了很大比例，而課程本身就是結合線性代數(shù)、解析幾何等相關數(shù)學知識解決數(shù)學理論和其他學科中出現(xiàn)的微分方程問題。因此，教學中，除了讓學生掌握基本計算方法外，還要注意與其他課程的相互滲透。如學習求解常系數(shù)線性方程組的基解矩陣這部分內容時，若方程組的系數(shù)矩陣A（設為n階）恰好有n個線性無關的特征向量，則可直接利用課本上的定理寫出其基解矩陣。此外，還可引導學生根據(jù)線性代數(shù)的知識知A可對角化，則通過可逆的線性變換必能將系數(shù)矩陣化為對角形，使得方程組的求解易于進行。

五、結合運用多媒體技術。

傳統(tǒng)的教學方法以板書為主，但是由于常微分方程這門課中定理的理論證明比較多，一味板書和講授會讓學生產生厭煩心理。因此，教師應該把傳統(tǒng)教學方式與現(xiàn)代教學手段結合起來，借助多媒體把板書內容適當變得有趣一些。如學習解的延拓時，可以用動態(tài)畫面把這部分內容展現(xiàn)出來，讓學生在腦海里有較為直觀的印象，接著引導學生思考、總結方程的解向左右兩邊延拓的情形究竟如何，最后教師對學生總結出的內容給予相應修改、補充。這樣教師既可以較為輕松地把抽象的定理內容傳授給學生，又可以讓學生參與到課堂討論中。

六、將微課形式融入教學中。

近年來，微課在我國發(fā)展很快，這一新的教學形式逐漸成為教育信息化的熱點之一。它不同于傳統(tǒng)課程，主要以教學視頻為表現(xiàn)形式，具有內容少而精的特點。由于常微分方程課時的限制，教師不可能將課程全部內容都在課堂教學中呈現(xiàn)出來，而且有些較難的知識點通過教師的講授可能還有部分學生無法掌握。因此，教師可根據(jù)課程內容的特點，將微課適當引入教學中。例如，講授求常系數(shù)線性方程組基解矩陣這一部分內容時，在課堂上教師主要介紹根據(jù)空間分解理論所得的基本計算公式，至于其他計算方法，如利用約當標準形，以及利用哈密杜頓-凱萊定理的方法，教師可將其錄制成微課放在網(wǎng)上，供感興趣的學生自行學習。這樣可以讓學生充分利用課余時間學習這門課，激發(fā)學生的學習熱情和創(chuàng)造性。但需要注意的是，微課只是教學輔助手段，并不是所有常微分方程的知識都適合制作成微課，因此在知識點選擇上還需教師反復推敲，在教學中適當融入微課，才能達到提高教學質量的目的。

常微分方程是一門重要的基礎課程，隨著科技進步，高校教師應緊跟時代前進步伐，更好地設置教學內容和教學模式，盡可能深入淺出地講授這門課程。

參考文獻：

[1]王高雄，周之銘，等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]胡鐵生.“微課”：區(qū)域教育信息資源發(fā)展的新趨勢[J].電化教育研究，2011（10）：61-65.

[3]楊晨.常微分方程教學改革探討[J].長春師范大學學報：自然科學版，2014（3）：167-169.

第5篇：數(shù)學建模的微分方程方法范文

關鍵詞：計算機電源仿真；動態(tài)系統(tǒng)；仿真模型

中圖分類號：TM727

動態(tài)系統(tǒng)計算機電源仿真是以計算機科學，概率論，隨機網(wǎng)絡論，系統(tǒng)工程理論等多學科為基礎的，以數(shù)學建模為主要手段的新型學科。電源動態(tài)系統(tǒng)計算機仿真是計算機仿真的一個分類，做好電源動態(tài)計算機的仿真對于真實系統(tǒng)的設計和優(yōu)化具有重要意義。

所謂計算機電源仿真主要指的是以計算機為主要工具，通過建立仿真模型來對計算機輸出信息進行認真分析和研究。計算機仿真技術的主要目的是對現(xiàn)有系統(tǒng)進行科學評價和改進優(yōu)化。計算機仿真技術在工程設計，計算機集成，網(wǎng)絡通訊方面應用非常廣泛?；谟嬎銠C仿真技術的動態(tài)系統(tǒng)的計算機仿真技術則主要是對仿真對象的實際性能進行科學評估和預測。

在動態(tài)計算機電源仿真技術中仿真建模是其中的重要環(huán)節(jié)，仿真效果在很大程度上都取決于仿真建模。因而我們必須要高度重視動態(tài)系統(tǒng)的計算機仿真建模。筆者認為計算機的仿真建模類型與計算機的類型有很大的關系，計算機的類型不同動態(tài)計算機仿真類型也不同。當前動態(tài)系統(tǒng)的計算機仿真建?；旧峡梢苑譃閿?shù)字機仿真，模擬機仿真和模擬――數(shù)字仿真三大類型。筆者認為電源動態(tài)系統(tǒng)的計算機仿陣基本上可以分為三個基本步驟：建模，模型實現(xiàn)與模型實驗。仿真實際上也是包括三個元素：模型，系統(tǒng)和計算機。本文將重點分析動態(tài)計算機系統(tǒng)的仿真建模。

1 仿真建模的基本步驟

動態(tài)系統(tǒng)的計算機電源仿真建?；旧峡梢苑譃橐韵滤膫€步驟：一是分析系統(tǒng)；二是設計模型；三是模型實現(xiàn)；四是仿真實驗。接下來筆者就來詳細分析這四個步驟、。

1.1 分析系統(tǒng)。所謂分析系統(tǒng)主要是要明確仿真對象，要確定對象的系統(tǒng)邊界，目標函數(shù)以及控制參量。對于那些復雜系統(tǒng)而言我們除了要了解上文中的基本內容外，還要對系統(tǒng)內部的層次關系，子系統(tǒng)之間的關系，子系統(tǒng)對上級系統(tǒng)之間的關系。筆者認為明確這些關系是進行設計的前提。系統(tǒng)分析是一項非常重要的步驟，科學分析系統(tǒng)是實現(xiàn)基本步驟的前提，筆者認為在設計過程中必須要認真分析系統(tǒng)。

1.2 設計模型。在詳細分析了系統(tǒng)后接下來的工作就是要設計模型。在設計模型的時候，筆者認為首先必須要明確系統(tǒng)與環(huán)境之間的信息和能量交換關系。明確這一關系是設計的前提。因而設計過程中必須要明確兩者之間的關系。而后就是要進行轉換把數(shù)學模型轉換成相應的用計算機語言或者是電路表示的仿真模型。在模型設計過程中必須要對仿真時間步長和特殊系數(shù)發(fā)生器的計算方法保持高度重視，在設計過程中要結合系統(tǒng)自身的特點來確定仿真時間步長和計算方法。設計模型是系統(tǒng)模型設計的關鍵性步驟，對于計算機仿真具有全局性影響，我們必須要高度重視模型設計。

1.3 模型實現(xiàn)。在完成了科學設計之后，接下來的工作就是模型實現(xiàn)了。在這一階段設計人員可以根據(jù)仿真數(shù)學模型研制出相對應的數(shù)據(jù)處理軟件或者是模型電路。動態(tài)計算機的仿真建模最終是要靠模型來實現(xiàn)的，科學研制仿真數(shù)學模型具有重要意義。

1.4 仿真實驗。在完成建模之后，最后還要進行仿真實驗以確定模型效果。所謂仿真實驗主要指的是在計算機上運行數(shù)據(jù)處理軟件或者是對模擬電路加電，而后觀察數(shù)字計算結果或者電壓電頻變化曲線。在實驗過程中我們必須要研究對象自身的特點來確定具體的實驗方案，仿真實驗基本上又可以分為確定具體方案，啟動仿真，輸出信息等步驟。仿真實驗的主要目的是通過對輸出信息的觀察來與實際系統(tǒng)進行比較，最終進行改進和完善。

2 仿真建模

模型分析法是計算機仿真的主要方法。模型分析法主要是通過對實際系統(tǒng)的抽象分析構造出一個數(shù)據(jù)模型而后利用這個數(shù)據(jù)模型與實際系統(tǒng)進行對比分析。在模型分析中最關鍵的步驟就是建立一個能夠反映出實際系統(tǒng)關鍵特征的模型。對于復雜系統(tǒng)而言基本上又可以分為建立結構關系模型，性能分析，評估三個階段。

仿真系統(tǒng)模型的分類根據(jù)分類標準的不同可以分為多個種類。具體而言，仿真系統(tǒng)模型根據(jù)表示方法可以分為數(shù)學模型和物理模型兩大類，計算機仿真主要采用的是數(shù)學模型。根據(jù)時間關系可以把系統(tǒng)數(shù)學模型分為連續(xù)時間動態(tài)模型，離散時間動態(tài)模型，靜態(tài)模型，混合時間動態(tài)模型。根據(jù)系統(tǒng)變化方式進行分類，則可以分為離散事件系統(tǒng)變化模型和連續(xù)變量系統(tǒng)模型。下面筆者就以連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)為例來詳細探討如何進行仿真建模。

2.1 連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)的仿真建模。所謂連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)主要指的狀態(tài)連續(xù)變化，而驅動方式為時間驅動的物理系統(tǒng)。連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)本身根據(jù)時間取值方法和取值域又可以分為離散時間動態(tài)系統(tǒng)，連續(xù)時間動態(tài)系統(tǒng)，連續(xù)――離散實踐混合的動態(tài)系統(tǒng)。

在構建模型的方法中針對連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)的描述的方法有很多，其中最常見的方式是系統(tǒng)動力學模型，回歸模型，差分方程模型，常/偏微分方程模型。在這幾種模型中微分方程中微分方程模型應用最為廣泛。下面筆者就以微分方程模型來進行分析。

在連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)中我們可以把系統(tǒng)輸入設為{u（t）}，而系統(tǒng)輸出則設為{y（t）}。此時應用較多的高階微分方程模型則是：

當系統(tǒng)中出現(xiàn)輸入信息{ ε（t）}的時候，此時隨機微分方程則是：

該模型在系統(tǒng)中應用十分廣泛。模型（1）（2）是研究連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的有效手段。下面筆者就阿里詳細介紹以上兩種模型如何轉化問計算機仿真模型。上文中的兩種模型都是高階微分，針對高階微分我們很難直接轉換成仿真模型，此時我們就需要采用化歸的辦法，把模型轉化成一階積分的形式來進行仿真。對于這兩個模型我們主要有三種方式來進行轉換，一種方式是模型轉換法，另一種方式就是離散相似法，最后一種方式是變換操作域法。下面筆者就來詳細論述這三種轉換方法。先來看第一種模型轉換法，采用模型轉換法我們主要針對模型（1）（2）采取以下步驟：

通過以上步驟我們就可以把模型（1）轉化成：

而模型（2）則可以轉化為：

通過以上分析我們就會發(fā)現(xiàn)，數(shù)值積分是連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)仿真的有效算法，因而它在連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)中應用非常廣泛。在設計過程中我們必須要加強對數(shù)值積分法的研究。數(shù)值積分法具有論述詳細和實用算法多的特點，我們在應用過程中必須要結合系統(tǒng)計算機的的特點來選擇算法

在分析了模型轉換法之后，接下來筆者就來詳細論述離散相似法。所謂離散相似法主要指的是通過對連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)采用離散方式來進行轉換。在計算機運行過程中，通常意義上它們不具備處理連續(xù)數(shù)據(jù)的能力，此時就需要采用離散相似法的形式來進行分析。所謂離散相似法主要指的是對連續(xù)系統(tǒng)進行離散化處理，以便于求的離散模型，最終以離散相似模型作為仿真模型來實現(xiàn)對實際系統(tǒng)的分析。結合上文的兩個模型而言就是要設置采樣開關以及信號重構器來實現(xiàn)。信號重構器應該具備適當?shù)碾A次。筆者結合大量的理論研究以及實踐證明，離散相似法在實際系統(tǒng)的轉換中能夠起到良好的效果。采用這一技術可以實現(xiàn)對模型的有效轉換。在實際系統(tǒng)中有一項技術非常重要，這就是Kalman 遞推估計技術。采用仿真方法可以實現(xiàn)對Kalman 濾波的精確分析，對各種擾動的靈敏度能夠進行精確的定量分析。離散相似法的應用能夠為Kalman 濾波算法提供有效的技術支持。

在對連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)進行仿真的時候，有時仿真的目的并不是為了研究系統(tǒng)的輸出值，而是要研究實際系統(tǒng)的性能，例如系統(tǒng)的穩(wěn)定性，操作性，可靠性等指標。在這種情況下我們主要采用變換操作域的方法來進行分析。所謂變換操作域主要指的是在設計過程中要盡量選擇S域和Z域來進行分析。具體而言就是要：

對上文中的方程式4進行Laplace變換，此時就可得出以下公式：

該公式就可以稱作系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。上文中主要是采用L變換。我們采用Z變換技術同樣可以得到類似要求，我們在設計過程中必須要結合系統(tǒng)自身的特點來選擇一種較為方便的方法來進行處理。無論是L變換還是Z變換，在模型轉換中都起到了非常方便的作用。我們要加強對著兩種變換技術的研究。此外除了要注重這兩種變換之外，我們還要對重構器的設置保持高度重視。重構器的設置在變換域操作中有著重要意義。

重構器設置，可以從零階信號重構器，一階線性重構器以及三角形信號重構器，這三種重合器的脈沖傳遞函數(shù)進行分析。在連續(xù)信號離散化過程中信息不可避免的會產生損失，這就會導致離散化采樣后的數(shù)據(jù)處理同離散化處理之前的信號之間是有誤差的。在變換域操作過程別是在S域與Z域變換中，通過引入校正器可以有效解決這個誤差問題。在變換過程中通過調整校正器傳遞函數(shù)可以使得離散后的模型接近系統(tǒng)原型。針對系統(tǒng)校正，一般意義上有兩種方式，離散校正和連續(xù)校正。

以上三種方法就是對連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)進行轉換的三種方法，我們在實際操作過程中必須要結合建模的目的和連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)本身的性能來選擇轉換方法。在這三種方法中，筆者認為變換域操作法可以起到減小誤差，保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的目的。

2.2 高階系統(tǒng)的簡化方法。在計算機電源仿真中，系統(tǒng)在運用微分方程來轉換過程中經(jīng)常會遇到高階次的問題。高階次微分方程的出現(xiàn)給系統(tǒng)建模帶來不小難度，因而我們必須要采用科學的簡化方法來簡化高階微分方程。筆者認為當前高階微分方程的簡化方式有以下兩種：一種是頻率域簡化法；另外一種是時域簡化法。下面筆者就來詳細介紹這兩種方法。

頻率域法本身又可以分為Pade法，連分式法以及混合法。時域簡化法則主要可以分為攝動法和系統(tǒng)集結法。攝動法主要對整個系統(tǒng)進行解耦處理，解耦處理的最終目的是要把高階模型分為多個低維模型。攝動法本身又可以分為強耦合關系的非奇異攝動法和弱耦合關系的奇異攝動法。

3 離散事件動態(tài)系統(tǒng)的建模

所謂離散事件動態(tài)系統(tǒng)主要指的是系統(tǒng)狀態(tài)跳躍式變化，系統(tǒng)狀態(tài)遷移主要發(fā)生在離散時間點上的動態(tài)系統(tǒng)，與連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)不同離散事件動態(tài)系統(tǒng)的驅動方式是事件驅動。離散事件系統(tǒng)大部分都是人造系統(tǒng)，系統(tǒng)結構非常復雜，采用傳統(tǒng)的微分方程方法很難起到作用。因而我們必須要選擇水平更高的方式來進行設計。筆者認為當前針對離散事件動態(tài)系統(tǒng)的建模方式基本上可以分為三類：一類是Petri網(wǎng)絡模型。二是排隊論模型；三是自動機模型。接下來，筆者就來詳細分析這三種形式。

3.1 Petri網(wǎng)絡模型。Petri網(wǎng)絡模型是離散事件動態(tài)系統(tǒng)計算機仿真建模過程中應用最廣泛的模型。我們說它的應用范圍廣，筆者認為主要體現(xiàn)在兩個方面：一是它既可以用于不帶時標的仿真模型中，又可以運用在帶時標的模型中。二是它既可以用于確定性的仿真模型，又可以用于具備邏輯性的定性建模中。Petri網(wǎng)絡模型具有眾多優(yōu)點，具體而言有以下幾個優(yōu)點：一是具有形式簡潔，直觀的特點，因而適用于系統(tǒng)組織；二是能夠實現(xiàn)對異步并發(fā)系統(tǒng)的有效模擬，對模型實體的有效分析；三是能夠在不同級別上表示出系統(tǒng)的結構。

近些年來，隨著計算機電源仿真技術的發(fā)展，Petri網(wǎng)絡方法獲得了迅猛發(fā)展，該模型在實際應用中的效果也越來越顯著。在幾十年的發(fā)展中逐漸研究出了定隨機Petri 網(wǎng)（ DSPN） ，有色Petri 網(wǎng)，隨機Petri 網(wǎng)（ SPN） ，帶有禁止弧的計時變遷Petri 網(wǎng)等各中擴展類模型。

第6篇：數(shù)學建模的微分方程方法范文

【關鍵詞】微分方程數(shù)值解；初探；教學模式；教學實踐

0 引言

微分方程數(shù)值解是我院信息與計算科學專業(yè)的一門專業(yè)課，與數(shù)值分析等課程一起構成信計專業(yè)的核心課程體系，該課程在信計類專業(yè)培養(yǎng)方案中占有極其重要的地位。作為傳統(tǒng)的專業(yè)課，該課程不但具有較強的實際意義和實際背景、而且邏輯性也非常強，并且該課程還對科學計算進行了著重研究。 這就要求我們在微分方程數(shù)值解的教學中不但要使學生學習如何熟練地掌握微分方程數(shù)值解的基礎知識和基本理論，而且還要使學生學習如何獲得進行基礎的科學研究和解決一些實際問題的能力。為此， 針對我院應用型人才培養(yǎng)的定位，結合微分方程數(shù)值解課程自身的特點。在構建適合本專業(yè)的課程體系和教學內容的安排中，其一，我們將課程的理論教學內容和課程的實驗教學內容有機的結合起來，兩者并重。其二，在教學中重視數(shù)值計算在實際問題中的應用，著重強調理論聯(lián)系實際。其三， 在平時的教學工作中逐步將多元化的教學模式和教學方法融入課堂中以打破傳統(tǒng)教育教學模式。通過多年在教學工作中的探索和實踐， 逐漸使我院微分方程數(shù)值解課程的教學形成了自己的課程內容和教學體系，取得了良好的教學效果。同時也為我院培養(yǎng)應用型高素質創(chuàng)新人才奠定了堅實的基礎和良好的保證。

1 明確教學定位、優(yōu)化教學內容

微分方程是研究自然科學和社會科學中的事件、物體和現(xiàn)象運動、演化和變換規(guī)律的最為基本的數(shù)學理論和方法。微分方程數(shù)值解是解決“計算”為題的橋梁和工具，是利用計算機研究并解決實際問題的數(shù)值近似解。它既有理論上的抽象性和嚴謹性，又有適用性和實驗性的技術特征。因此，微分方程數(shù)值解已應用到科學技術和社會生活的各個領域中。根據(jù)教育部課程教學指導委員會頒發(fā)的信息與計算科學專業(yè)規(guī)范對微分方程數(shù)值解課程的基本要求和我院主要是培養(yǎng)應用技術型人才的實際情況[3]，我們的教材采用的是由胡健偉、湯懷民編著《微分方程數(shù)值方法》。我們通過合理選取理論體系適當降低課程內容的理論難度，微分方程數(shù)值解課程講授的內容主要為常微分方程的數(shù)值解法、偏微分方程的差分方法和偏微分方程的有限元方法[4]。其中偏微分方程的差分方法是課程教學的重點。在保證課程內容科學性的前提下對課程內容作了部分處理，安排由簡單到復雜的內容次序以及簡捷、直觀的理論體系。課程始終貫以連續(xù)問題離散化的基本思想，力求達到與相關學科的相互滲透與利用[3]。例如：在講常微分方程初值問題的數(shù)值方法時，由簡到難，從簡單的一階顯示的Euler單步方法的構造和概念，再推進到隱式Euler方法和梯形法，最后再講述較為復雜的單步高階Runge-Kutta方法以及線性多步方法等的基本概念和理論，最后討論高階常微分方程的數(shù)值解法[4]。再如，考慮到有限元法是個比較難的知識點，安排教學內容的時候把學生較為容易理解和掌握的有限差分法知識點放在前面講。使學生有一個從易到難的認知過程，這樣安排，教學內容組織條理清晰，學生在學習過程中變得更加積極主動，有助于學生系統(tǒng)學習微分方程數(shù)值解得基本理論和基本方法。實踐證明這類教學內容的改動產生了很好的教學效果。

2 改革教學方法，創(chuàng)新教學模式

微分方程數(shù)值解課程不但理論性非常強，公式推導也非?？菰锖蜔┈?，并且計算量也特別大，為了避免教學過程中“教師教，學生學”的“滿堂灌”的教學方法。因此，在教學過程中改革教學方法，創(chuàng)新教學模式顯得尤為重要。

2.1 采用啟發(fā)式教學方法

在教學過程中無論是基本理論、基本概念和思想方法的講解，還是實際問題的引入，均采用啟發(fā)式的“教師教學生學習”的教學方法。首先通過老師與學生之間充分的交流和互動，引導學生主動參與到教學過程中， 調動學生的學習積極性。然后再由教師分析計算過程，推導出計算結果，從而激發(fā)學生的學習興趣。最后再鼓勵學生積極參與題后分析與討論，從而切實提高學生應用所學的理論知識來解決一些實際問題的能力。

2.2 將多元化的教學模式融入課堂教學與傳統(tǒng)教學模式優(yōu)勢互補

多元化教學模式是一種以學生為中心的融合的教學策略模式。在課堂教學中采用多元化的教學模式，將多媒體教學設備和Matlab等數(shù)學軟件引進課堂教學，與傳統(tǒng)教學模式有機的融合起來，采用“課件+板書+動態(tài)演示”的課堂教學模式，充分發(fā)揮著兩種教學模式的優(yōu)點，從而使立體化的信息在實際教學過程中得到充分的展現(xiàn)和應用。在多元化教學模式和傳統(tǒng)教學模式這兩種教學手段的交互使用中，構建新型教學模式，提高課堂教學效果，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力以及自我更新知識的能力。實踐證明，通過這兩種教學模式的優(yōu)勢互補在教學中取得了不錯的成績。

2.3 將數(shù)學建模的思想融入課程教學

數(shù)學建模思想是通過建立數(shù)學模型來解決現(xiàn)實問題的一種數(shù)學思維形式。對微分方程數(shù)值解的討論，從實際背景和實際意義入手，研究實際課題抽象、提煉數(shù)學模型的思想、激發(fā)學生的求知欲，從而找出各個知識點之間的相互聯(lián)系，使微分方程數(shù)值解課程與現(xiàn)實問題有機的結合起來[3]。讓學生在實際問題的求解過程中體驗數(shù)學的魅力所在，培養(yǎng)學生學習該課程的積極性和興趣。微分方程數(shù)值解教學將培養(yǎng)學生數(shù)學意識和能力作為重要的教學目標，將數(shù)學建模思想融入日常的教學過程中就能讓學生掌握數(shù)學應用的廣泛性，提高學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的應用意識能力。

第7篇：數(shù)學建模的微分方程方法范文

關鍵詞：高等職業(yè)教育　數(shù)學教育　數(shù)學建模

一、前言

隨著社會的發(fā)展，數(shù)學在社會各領域中的應用越來越廣泛，作用越來越大，不但運用于自然科學各學科、各領域，而且滲透到了經(jīng)濟、軍事、管理以至于社會科學和社會活動的各領域。但是，社會對數(shù)學的需求并不只是需要數(shù)學家和專門從事數(shù)學研究的人才，更大量的是需要在各部門中從事實際工作的人善于運用數(shù)學知識及數(shù)學的思維方法來解決他們每天面臨的大量的實際問題，取得經(jīng)濟效益和社會效益。他們不是為了應用數(shù)學知識而尋找實際問題（就像在學校里做數(shù)學應用題），而是為了解決實際問題而需要用到數(shù)學。對復雜的實際問題進行分析，發(fā)現(xiàn)其中的可以用數(shù)學語言來描述的關系或規(guī)律，把這個實際問題化成一個數(shù)學問題，這就稱為數(shù)學模型，建立數(shù)學模型的這個過程就稱為數(shù)學建模。

建立數(shù)學模型來解決實際問題的過程，也是我們的學生在走上工作崗位后常常要做的工作。做這樣的事情，所需要的遠不只是數(shù)學知識和解數(shù)學題的能力，而需要多方面的綜合知識和能力。社會對具有這種能力的人的需求，比對數(shù)學專門人才的需求要多得多。特別地，高等職業(yè)教育的培養(yǎng)目標是為生產、服務和管理第一線培養(yǎng)實用型人才，根據(jù)這個目標，高職數(shù)學課程的教學應以突出數(shù)學的應用性為主。高職數(shù)學課程的一個重要任務，就是培養(yǎng)學生用數(shù)學原理和方法解決實際問題的能力。在高職院校中開展數(shù)學建?；顒拥某霭l(fā)點就在于培養(yǎng)高職學生使用數(shù)學工具、結合專業(yè)知識、運用計算機等解決實際問題的意識和能力。

二、高等職業(yè)教育對學生進行數(shù)學建模思想方法訓練的途徑 在高等職業(yè)教育階段對學生進行數(shù)學建模思想方法的訓練有兩種途徑：第一是開設數(shù)學建模課，這個途徑受到時間的限制，對于高等職業(yè)教育更是如此，由于學制短，分配給數(shù)學課程的課時數(shù)較少，這對于我們要做的事情來說是非常不夠的；第二個途徑就是將數(shù)學建模的思想和方法有機地貫穿到傳統(tǒng)的數(shù)學基礎課程中去，使學生在學習數(shù)學基礎知識的同時，初步獲得數(shù)學建模的知識和技能，為他們日后用所學的知識解決實際問題打下基礎。將數(shù)學建模的思想和方法融入高職數(shù)學教學中，是一種非常適合我國高等職業(yè)教育實際的一種教育方法。

三、在教學中滲透數(shù)學建模思想方法的實踐初探

1、在日常教學中滲透數(shù)學建模的思想方法

高等數(shù)學中的函數(shù)、向量、導數(shù)、微分、積分都是數(shù)學模型，但在教學中也要選擇更現(xiàn)實、更具體、與自然科學或社會科學等領域關系直接，同時有重大意義的模型與問題，這樣的題材能夠更有說服力地揭示數(shù)學問題的起源和數(shù)學與現(xiàn)實世界的相互作用，體現(xiàn)數(shù)學科學的不斷發(fā)展，激發(fā)學生參與探索的興趣，培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的意識。

要重視高等數(shù)學中每一個概念的建立，數(shù)學本身就是研究和刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)學模型。在教學中，每引入一個新概念或開始一個新內容，都應有一個刺激學生學習欲的實例，說明該內容的應用性。在每一章節(jié)結束時，可列舉與本章內容相聯(lián)系的，與生產、生活實際和所學專業(yè)結合緊密的應用實例，這樣在講授知識的同時，可讓學生充分體會到高等數(shù)學的學習過程也是數(shù)學建模的過程。

（1）重視函數(shù)關系的應用

建立函數(shù)模型在數(shù)學建模中非常重要，因為用數(shù)學方法解決實際問題的許多例子首先都是建立目標函數(shù)，將實際問題轉化為數(shù)學問題。

在這一章中要重點介紹建立函數(shù)模型的一般方法，掌握現(xiàn)實問題中較為常用的函數(shù)模型。

（2）重視導數(shù)的應用

利用一階導數(shù)、二階導數(shù)可求函數(shù)的極值，利用導數(shù)求函數(shù)曲線在某點的曲率在解決實際問題中很有意義。在講到這些章節(jié)時，適當向數(shù)學建模的題目引申，可以收到事半功倍的效果。例如，導數(shù)的概念可以從變速直線運動的瞬時速度、交流電的電流強度等實際問題抽象出來。導數(shù)的意義是函數(shù)相對于自變量的瞬時變化率，以此為依據(jù)，所有有關變化率的實際問題都可用導數(shù)模型解決，這也是利用微分方程建立模型的基礎。傳染病傳播的數(shù)學模型的建立，就用到了導數(shù)的數(shù)學意義（函數(shù)的變化率）；經(jīng)濟學中的邊際分析、彈性分析、征稅問題的例子都要用到導數(shù)。總之，在導數(shù)的應用一章中，適當多講一些實際問題，能培養(yǎng)學生用數(shù)學的積極性。

（3）重視定積分的應用

定積分在數(shù)學建模中應用廣泛，因此，在定積分的應用一章中，微元法以及定積分在幾何物理上的應用都要重點講授，并應盡可能講一些數(shù)學建模的片段，要巧妙地應用微元法建立積分式。積分的概念可以從曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程等實際問題中抽象出來。積分的基本思想是“局部以直代曲取近似，無限分割求和的極限”，利用定積分解決問題的關鍵是求微元。利用定積分模型可以解決變力作功、不均勻細棒的質量、交通信號燈時間設置、商品存儲費用優(yōu)化等實際問題。運用數(shù)學建模法學習數(shù)學概念、公式、定理，使學生經(jīng)歷數(shù)學家研究創(chuàng)造時的思考過程，不僅有助于學生理解知識的本質意義，而且可以徹底改變學生認為數(shù)學無用的錯誤認識。

（4） 重視二元函數(shù)極值與最值問題的應用

求二元函數(shù)的極值與條件極值，拉格朗日乘數(shù)法，以及最小二乘法，在數(shù)學建模中有廣泛的應用。在教學過程中，應注意培養(yǎng)學生用上述工具解決實際問題的能力。利用偏導數(shù)可以對經(jīng)濟學的許多問題作定性和定量分析。例如，經(jīng)濟分析中的邊際分析、彈性分析，經(jīng)濟函數(shù)優(yōu)化問題中的成本固定時產出最大化、產出一定時成本最小化等，都可以用偏導數(shù)來討論。

（5）重視常微分方程的講授，建立常微分方程的應用

解常微分方程是建立數(shù)學模型解決實際問題的有力工具。為此，在數(shù)學課程教學中，要用更多的時間講解如何在實際問題中提煉微分方程，并且求解。

2、數(shù)學建模應與專業(yè)緊密聯(lián)系，發(fā)揮高等數(shù)學對專業(yè)的服務作用

用專業(yè)知識作為背景，加工成數(shù)學模型，可使學生認識到數(shù)學在專業(yè)中的地位。這樣既加深了對專業(yè)知識的理解，又培養(yǎng)了學生應用數(shù)學的興趣。通過對一些以專業(yè)為背景、學生有能力嘗試的問題的研究，把專業(yè)問題轉化為數(shù)學問題，可以增加數(shù)學教學的目的性和凝聚力。對學生在建模過程中碰到的專業(yè)方面和數(shù)學方面的困難，教師要鼓勵學生通過請教教師和查資料及時將要用到的知識補上。在強烈的學習愿望下，人的潛能是最容易被激發(fā)出來的。

參考文獻

[1]鐘繼雷 應用高等數(shù)學[M].哈爾濱：哈爾濱工程大學出版社，2007（9）。

[2]徐天華 高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模思想初探[J].阿壩師范高等專科學校學報，2006（9）。

[3]王積建 在高職院校開設“數(shù)學實驗”選修課的設想[J].浙江工貿職業(yè)技術學院學報，2004（9）。

[4]李喬祥 論數(shù)學建模競賽對提高學生綜合素質的作用[J].高等理科教育，2004（1）。

[5]王庚 數(shù)學文化與數(shù)學教育[A].數(shù)學文化報告集[R].北京：科學出版社，2004。

[6]尚壽亭 等 數(shù)學建模和數(shù)學實驗的教學研究與素質教育實踐[J].數(shù)學的實踐與認識，2002（31）。

[7]徐茂良 在傳統(tǒng)數(shù)學課中滲透數(shù)學建模思想[J].數(shù)學的實踐與認識，2002（4）。

第8篇：數(shù)學建模的微分方程方法范文

關鍵詞：中國；法國；數(shù)學教育；差異

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1002-2589（2013）32-0269-02

數(shù)學在法國教育中具有舉足輕重的地位，而中國與法國數(shù)學教育有很多的不同，下面就中國和法國數(shù)學在教學內容的編排方式、知識的深度和廣度、教學內容與實際應用相聯(lián)系的程度，簡單談談中法兩國數(shù)學教育的幾點差異。

一、教學內容的編排方式不同

法國數(shù)學的教學內容都是螺旋上升，循序漸進的。例如，大學一年級會學數(shù)列的極限和函數(shù)的極限，不過這時只是學習數(shù)列極限的描述性定義、單調有界原理、常用極限和極限的運算法則，以及函數(shù)極限的描述性定義、函數(shù)極限的性質和運算法則、函數(shù)極限的判定與重要極限，直至大學二年級才會學習數(shù)列的極限和函數(shù)的極限的嚴格定義，也就是語言，以及極限的唯一性、收斂數(shù)列的有界性、收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關系、函數(shù)極限的局部保號性、柯西（Cauchy）極限存在準則。再比如，大學一年級會學習不定積分與定積分，不過這時只是學習原函數(shù)與不定積分的定義、不定積分的性質、基本積分表，以及定積分的描述性定義、定積分的基本性質、關于積分上限的函數(shù)及其導數(shù)、定積分的計算，直至高年級才會學習不定積分的換元積分法（第一類換元法、第二類換元法）、分部積分法、幾種特殊類型函數(shù)的積分（有理函數(shù)的積分、三角函數(shù)有理式的積分、簡單無理函數(shù)的積分），以及定積分的介值定理、中值定理、廣義積分（無窮限的廣義積分、無界函數(shù)的廣義積分、無窮限的廣義積分的審斂法、無界函數(shù)的廣義積分的審斂法）、定積分的應用[定積分的元素法、平面圖形的面積、體積（旋轉體的體積、平行截面面積已知的立體的體積]。變力沿直線所做的功、水壓力、引力、函數(shù)的平均值、均方根）。還比如，大學一年級會學一階線性微分方程解集的構成與疊加原理、相應齊次方程的解、常數(shù)變易法、初值問題的解：存在性與唯一性，以及二階線性常系數(shù)微分方程的定義與解集的構成、相應齊次方程的解、第二項為指數(shù)函數(shù)與多項式函數(shù)之積時特解的尋求、常數(shù)變易法、初值問題：解的存在性與唯一性，而直至高年級才會學習可化為齊次的方程、伯努利方程、可降階的高階微分方程、微分方程的冪級數(shù)解法、全微分方程、積分因子、常微分方程組、二維自治系統(tǒng)與相平面、平面奇點、極限環(huán)、李雅普諾夫穩(wěn)定性、自治系統(tǒng)的李雅普諾夫第二方法。另外，大學一年級會學復數(shù)的運算和復數(shù)的代數(shù)結構、復數(shù)的模與幅角的定義、復數(shù)的模與幅角的性質、復數(shù)的指數(shù)形式、復指數(shù)函數(shù)、復數(shù)的次根，直至高年級才會學習解析函數(shù)的概念、解析函數(shù)和調和函數(shù)的關系、初等函數(shù)、復積分的概念、柯西積分定理、柯西積分公式、解析函數(shù)的高階導數(shù)、復數(shù)項級數(shù)、復變函數(shù)項級數(shù)、泰勒級數(shù)、洛朗級數(shù)、孤立奇點、留數(shù)、共形映射的概念、共形映射的基本問題、分式線性映射。幾個初等函數(shù)構成的共形映射。這樣一來，這些知識不再是一個封閉的、獨立的個體，而是不同知識相互聯(lián)系成一個整體。

而我國數(shù)學的教學內容是呈線性的，同時內容還是呈塊狀的，集中安排，像復變函數(shù)、常微分方程都是安排一門課在整個某一學期介紹，而極限、積分、導數(shù)等高等數(shù)學內容則安排在大學一年級上下兩個學期介紹，保證了知識完整的體系。

二、數(shù)學知識的深度和廣度不同

法國的大學數(shù)學教材選取了大量的近現(xiàn)代的教學內容。例如，在大學一年級會介紹多項式和有理函數(shù)及其性質、比較增長率、雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)、雙曲三角關系式、雙曲正切函數(shù)、反雙曲正弦函數(shù)、反雙曲余弦函數(shù)、反雙曲正切函數(shù)，而對于我國來說，這些內容也有涉及，但在深度和廣度上都不如法國。再者，法國數(shù)學會在學復數(shù)時會介紹Newton公式和Bernoulli公式、形如的線性化、幺模群，而對于我國來說，這些內容也有涉及只是略微淺顯。

法國數(shù)學一開始就使用大量的矩陣理論和線性空間知識，強迫學生以比較抽象的思維從比較高的視點看問題，摒棄中學思維中的部分陋習。而在我國，中國工科教材喜歡用標量式。只考慮大小，忽略方向，甚至還出現(xiàn)過“略去方向不寫，只考慮大小”這樣的語句，盡量避免使用矢量式。比如，我國學生認為柯西不等式是不顯然的，是一種技巧，是少數(shù)人的專利，有畏懼心理，更遑論Holder和Minkovski不等式。工科學生很多不知道柯西不等式。而法國教學大綱是按照高屋建瓴的線性空間思維建立的，無論柯西，Holder還是Minkovski不等式，根本就是“三角形兩邊之和大于第三邊”那樣顯然直觀。

三、教學內容與實際應用相聯(lián)系的程度不同

數(shù)學具有邏輯的嚴謹性，在教材中它總以完善的形式呈現(xiàn)在學生面前，許多題目都是經(jīng)過數(shù)學處理的，具有科學性、系統(tǒng)性。文字表達嚴謹、準確、枯燥，但很少創(chuàng)設問題情境，忽略了數(shù)學知識從生活生產中被發(fā)現(xiàn)的曲折過程，抑制了學生思維的空間。心理學研究表明，當學習內容與學生熟悉的生活背景越接近，學生自覺接納知識的程度越高。數(shù)學學科具有高度的抽象性，嚴密的邏輯性。學生在學習過程中往往感到枯燥，缺少積極性和主動性。從課程的開始就處于一種被動的接受地位，那么，利用學生身邊的實際事實為背景，結合生活實例引入教學就會使學生感到親切，從而以一種積極的心態(tài)投入到數(shù)學課的學習中去。數(shù)學的教學目的是讓學生在掌握基礎知識的同時，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力和發(fā)展一般智力，讓學生明白數(shù)學的應用價值，樹立應用意識，培養(yǎng)應用能力。教學的目的不僅是為了考試、考學、考高分的需要，還要培養(yǎng)學生的應用意識，讓基礎知識與實際相結合。法國強調應該讓學生運用所學的知識解決自己在實踐中遇到的實際問題，在教學內容中提出了大量與實際密切聯(lián)系的問題，同時還給出了問題解決的各個步驟。在法國教學的聯(lián)系實際中，比較多的有學生的直接參與與社會的關切。

我國以往對數(shù)學的實際應用關注不夠，數(shù)學的實際應用在我國也逐步受到重視，如組織學生參加全國大學生數(shù)學建模競賽、美國大學生數(shù)學建模競賽等。素質教育下的課堂教學，要充分發(fā)揮學生的主體性。從學生的生活中提出問題，會讓學生感到問題的真實性和解決的必要性，從而對解決問題有一種渴望，以一種主動的態(tài)度進入數(shù)學課的學習。如教學長、正方形面積計算時，我拿了幾張照片發(fā)給每個小組，告訴大家這是我們聯(lián)歡會的照片，準備舉辦一個展覽，為了保護照片要在照片上貼薄膜，你們知道需要買多少嗎？這時同學們興趣來了，紛紛想辦法，有的說用相片去比一比，有的說用尺子量一量等等，這樣學生熟悉的例子，解決它的主動性也就自然的產生了。

另外日常生活實踐中，包含著豐富的數(shù)學知識，如“自行車支架為什么是三角形的，正方形的行嗎？罐頭盒為什么是圓柱形的其他形狀行嗎？車輪為什么是圓形的，橢圓形、六邊形的可以嗎？”結合實際引入新課，促使學生在頭腦中積極思考，不僅達到了設疑引趣的目的，而且擴展了知識面。

總之，數(shù)學在法國教育中具有舉足輕重的地位，而中國與法國數(shù)學教育有很多的不同，中國和法國數(shù)學在教學內容的編排方式、知識的深度和廣度、教學內容與實際應用相聯(lián)系的程度等方面都存在差異。

法國大學一年級會學復數(shù)的運算和復數(shù)的代數(shù)結構、復數(shù)的模與幅角的定義、復數(shù)的模與幅角的性質、復數(shù)的指數(shù)形式、復指數(shù)函數(shù)、復數(shù)的次根，直至高年級才會學習解析函數(shù)的概念、解析函數(shù)和調和函數(shù)的關系、初等函數(shù)、復積分的概念、柯西積分定理、柯西積分公式、解析函數(shù)的高階導數(shù)、復數(shù)項級數(shù)、復變函數(shù)項級數(shù)、泰勒級數(shù)、洛朗級數(shù)、孤立奇點、留數(shù)、共形映射的概念、共形映射的基本問題、分式線性映射、幾個初等函數(shù)構成的共形映射。這樣一來，這些知識不再是一個封閉的、獨立的個體，而是不同知識相互聯(lián)系成一個整體。我國數(shù)學的教學內容是呈線性的，同時內容還是呈塊狀的，集中安排，像復變函數(shù)、常微分方程都是安排一門課在整個某一學期介紹，而極限、積分、導數(shù)等高等數(shù)學內容則安排在大學一年級上下兩個學期介紹，保證了知識完整的體系。

法國的大學數(shù)學教材選取了大量的近現(xiàn)代的教學內容.例如，在大學一年級會介紹多項式和有理函數(shù)及其性質、比較增長率、雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)、雙曲三角關系式、雙曲正切函數(shù)、反雙曲正弦函數(shù)、反雙曲余弦函數(shù)、反雙曲正切函數(shù)，而對于我國來說，這些內容也有涉及，只是深度和廣度上都略顯不足。

法國強調應該讓學生運用所學的知識解決自己在實踐中遇到的實際問題，在教學內容中提出了大量與實際密切聯(lián)系的問題，同時還給出了問題解決的各個步驟。但數(shù)學的實際應用在我國也逐步受到重視，如組織學生參加全國大學生數(shù)學建模競賽、美國大學生數(shù)學建模競賽等。借鑒中法不同教學的方式，取長補短，將對我國數(shù)學教學有非常大的幫助。

參考文獻：

[1]陳昌平.數(shù)學教育比較與研究[M].上海：華東師范大學出版社，2000.

[2]丁同仁.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]馬忠林.數(shù)學教育史[M].南寧：廣西教育出版社，2001.

[4]歐陽光中，朱學炎，金福臨，陳傳璋.數(shù)學分析（第三版，上冊）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5]歐陽光中，朱學炎，金福臨，陳傳璋.數(shù)學分析（第三版，下冊）[M].北京：高等教育出版社，2006

[6]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第六版.上冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.

第9篇：數(shù)學建模的微分方程方法范文

【關鍵詞】數(shù)學建模 數(shù)學實驗 實踐教學體系

【中圖分類號】G642.0 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）11-0007-02

全國大學生數(shù)學建模競賽自1994年在全國范圍內開展以來，其競賽規(guī)模逐年擴大，影響力也日益增強，現(xiàn)已成為教育部支持的科技競賽之一。數(shù)學建模競賽的開展讓大家看到了數(shù)學在其他領域的重要作用，同時也促使數(shù)學學科中產生了一個具有強大生命力的新分支——數(shù)學建模。為了更好地備戰(zhàn)數(shù)學建模競賽，高等院校紛紛開設數(shù)學建模、數(shù)學實驗等數(shù)學建模類課程，同時，隨著課程的開設也出現(xiàn)了一些問題：數(shù)學建模類課程如何教學才有顯著的教學效果，如何與數(shù)學基礎類課程相結合以促進工科數(shù)學類課程的教學改革等。

數(shù)學建模類課程是指數(shù)學建模及數(shù)學實驗等相關實驗課程，它具有理論與實際相結合、知識覆蓋面廣、實踐性與探索性等特點，對于改變本科生對傳統(tǒng)數(shù)學“無用論”的看法，激發(fā)他們對數(shù)學的學習興趣，培養(yǎng)他們的實踐動手能力和創(chuàng)新能力等有著積極的促進作用。因此，對定位于應用型本科院校的獨立學院來說數(shù)學建模更應該得到推廣和發(fā)展，獨立學院數(shù)學建模類課程的探索與研究也顯得尤為重要。

一 當前獨立學院數(shù)學建模類課程教學的回顧與現(xiàn)狀

自2008年我院正式派5隊學生參加數(shù)學建模競賽起，我院就開始將數(shù)學建模、數(shù)學實驗作為選修課程在全院范圍內開設，分別設置為24學時。數(shù)學建模課程以姜啟源版《數(shù)學模型》（高等教育出版社，2003年，第三版）作為參考教材，以講授初等模型為主，其目的是讓學生了解基本的建模方法、建模技巧，掌握一些具有共性的實際問題的數(shù)學模型，培養(yǎng)初步的理論聯(lián)系實際的數(shù)學建模方法。數(shù)學實驗課程以姜啟源版《數(shù)學實驗》（高等教育出版社，2006年，第二版）為參考教材，重點介紹利用Matlab軟件進行數(shù)學求解及作圖，同時讓學生了解數(shù)學實驗的方式、方法及作用，能夠初步使用相關數(shù)學軟件Matlab、Lingo等。這兩門課程最初分在兩個學期（第三、四學期）開設的，后來在同一個學期（第四學期）同步開設。剛開始由于了解數(shù)學建模的學生不同，所以選修兩門課程的學生僅限于想?yún)①惖膶W生。隨著數(shù)學建模競賽獲獎及影響力的擴大，越來越多的學生爭先恐后地選修這兩門課程。但由于數(shù)學建模授課仍采用“老師臺上講——學生臺下聽”的板書形式，與傳統(tǒng)數(shù)學類課程教學沒什么不同，所以在授課過程中無法調動學生的積極性，部分學生出現(xiàn)缺課現(xiàn)象，甚至出現(xiàn)厭學的情緒。針對這種狀況，我院數(shù)學教研室首先對數(shù)學建模課程的教學進行了改進嘗試，改變單純的板書形式，根據(jù)實際的教學內容與有限的課時制作多媒體課件，將其與板書相結合應用到數(shù)學建模課堂中，其中增加了建模題目涉及的背景問題詳細介紹、相關領域專業(yè)知識的補充等，同時，針對實際問題展開以小組為單位的課堂自由討論，拉近師生之間的距離，激發(fā)學生積極思考問題，收到了良好的教學效果。其次，將高等數(shù)學的內容融入到數(shù)學實驗課程，利用數(shù)學軟件求解高等數(shù)學中繁雜的計算，讓學生體會到運用軟件的便利，能夠解決學習中遇到的問題。雖然對數(shù)學建模與數(shù)學實驗課程教學改革取得了一些成效，但是數(shù)學建模理論化的教學和兩門課程分離教學的狀況使得很多學生仍有困擾，真正遇到數(shù)學建模題目后不知如何建模，建模后又不知如何利用軟件求解。

隨著我院對數(shù)學建模類課程教學改革的深入，從今年開始我院已將數(shù)學建模與數(shù)學實驗兩門課程合并進行教學，設置為32學時，理論授課與上機實踐學時各占50%。在這門課上，教師將數(shù)學建模理論與數(shù)學軟件的使用聯(lián)合教學，引導學生在對實際問題分析建立數(shù)學模型后直接利用數(shù)學軟件對所建模型進行求解，使得學生形成對實際問題進行數(shù)學建模的完整體系，這在一定程度上彌補了理論與上機實驗脫離的“兩開式”教學的缺陷。

二 獨立學院數(shù)學建模類課程教學的探索與研究

目前，我院已連續(xù)5年參加全國大學生數(shù)學建模競賽，獲全國二等獎3項，廣西區(qū)級獎19項，每年獲獎率居廣西區(qū)參賽獨立學院前列。我院能在數(shù)學建模競賽中取得良好的成績，一方面是得到了學院領導的重視和各部門的大力支持，另一方面是我院在數(shù)學建模類課程教學方面進行不懈的努力，積極探索適合獨立學院的教學模式，提出了數(shù)學建模類課程實踐教學體系。

1.建立以數(shù)學建模理論課程為基礎的實踐教學體系

針對獨立學院學生數(shù)學基礎薄弱的狀況以及數(shù)學建模課程自身的特點，獨立學院開設數(shù)學建模課程不應以追求高深的數(shù)學知識以及數(shù)學模型對現(xiàn)實世界的精確描述為目的，而是應根據(jù)學生的學習特點與興趣，以注重培養(yǎng)學生自學新知識的能力、分析和解決實際問題的能力，增強應用意識、實踐意識以及創(chuàng)新意識，使學生的綜合素質在數(shù)學建模教學活動中得到全面地提高為目標。為此，獨立學院應建立以數(shù)學建模理論為基礎的實踐教學體系，具體做法如下：

第一，理論授課階段。每年的春季開學，數(shù)學建模課程以選修課的形式在全院范圍內開設，以講授常用的數(shù)學模型、建模方法及數(shù)學軟件的使用為主，其中包括初等模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、回歸分析、數(shù)值分析、曲線擬合、 Matlab等。理論授課基本采用“教師講、學生聽”、課件與板書結合的教學模式，軟件使用還增加學生“邊學邊練”的環(huán)節(jié)，占課程總學時的2/3。通過數(shù)學建模理論授課，讓學生對數(shù)學建模有初步的認識，為后續(xù)數(shù)學建?；顒拥拈_展奠定了理論基礎。

第二，討論練習階段。在已有數(shù)學建模知識的基礎上，將剩下1/3學時的數(shù)學建模教學過程變成學生的活動過程。選取生活中的實例作為題目進行練習，如學生會的選舉問題、公交車的調度、食堂打飯的排隊問題、課程的合理安排問題等。題目一般事先給出，方便學生在課下進行實地調查，搜集資料、數(shù)據(jù)，在課堂上以小組（三人為一組）為單位對題目進行分析、討論，交流本小組所掌握的資料以及對題目求解的一些想法，同時老師參與其中，掌握課堂進度，對爭執(zhí)不休的問題進行評斷，對學生沒有注意的問題進行提點等。課后學生以小組為單位整理課堂討論的結果，并給出一周的時間讓每組完成對實際問題的求解，最終以實驗報告的形式提交，同時每位學生提交每次練習的收獲、體會。

第三，滲透融合階段。除了選修數(shù)學建模課程和參加數(shù)學建模競賽的學生外，大部分學生都不了解數(shù)學建模及其思想方法。因此，為了普及數(shù)學建模，數(shù)學建模的思想方法應滲透融合到基礎數(shù)學類課程的教學過程中去，與基礎知識模塊進行整合教學。例如在高等數(shù)學講“介值定理”時，可用“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？”的數(shù)學建模問題作為例子介紹介值定理的應用；在講微分方程部分時，可插入生物增長Malthus模型和Logistic模型、傳染病SI模型、SIS模型以及SIR模型等微分方程模型，并聯(lián)系2003年的競賽題目“SARS的傳播”建立傳染病模型為例進行介紹。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的回歸分析部分，可引入數(shù)學實驗中“運用回歸分析預測女子身高”的例子吸引學生的注意力。這樣通過教學內容的整合，使大部分學生在學習基礎數(shù)學知識的同時也了解了數(shù)學建模的思想，提高了數(shù)學建模的意識。

2.將數(shù)學實驗融入數(shù)學類基礎課程，形成數(shù)學實驗分層次實踐教學體系

在實踐教學過程中，我們發(fā)現(xiàn)很多學生選修了數(shù)學實驗課程，學習了Matlab、Lingo、Lindo等軟件的使用，但是真正需要用這些軟件求解問題時仍然不會，大多僅停留在聽說過Matlab、Lingo等數(shù)學軟件的層面上。對此，我們認為數(shù)學實驗課程應融入到數(shù)學基礎課程中，同時實施分層次教學，讓不同需求的學生掌握不同程度的數(shù)學實驗內容，逐步形成獨立學院數(shù)學實驗分層次實踐教學體系。

第一層次，針對大一學生，將數(shù)學實驗作為必修課，安排在諸如高等數(shù)學、經(jīng)濟數(shù)學等數(shù)學基礎課程教學中，即在每一章內容后增加兩個學時的實踐教學環(huán)節(jié)，讓學生做一些簡單的高等數(shù)學問題的數(shù)學實驗，如求極限、求導函數(shù)、求原函數(shù)、做因式分解、解微分方程等，主要學會使用數(shù)學軟件Matlab和Mathematics。以所學知識為基礎進行實驗能幫助學生理解一些抽象概念和理論，并運用計算機軟件進行數(shù)學求解。這個教學環(huán)節(jié)可改變數(shù)學課程學習的傳統(tǒng)模式，使教學方式變得生動靈活，同時學生從繁雜的計算中解脫出來，在學習過程中也會有更大的主動性。第二層次，針對大二、大三學生，將數(shù)學實驗作為選修課開設，一個實際問題構成一個實驗內容。對實際問題建立的數(shù)學模型，通過數(shù)學軟件進行數(shù)值求解和定量分析，進一步完善和構建數(shù)學模型。這一層次主要是培養(yǎng)學生熟練使用計算機和數(shù)學軟件的能力以及運用數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力。第三層次，針對參加數(shù)學建模競賽和大四的學生，進行專題性的數(shù)學實驗。掌握更多的專業(yè)計算軟件，如Lingo、Lindo、Origin、SAS、SPSS等。這樣，數(shù)學實驗通過分層次教學，使不同階段的學生不同程度地鍛煉了上機實際操作能力，更使得數(shù)學實驗在大學校園中得到廣泛地普及。

參考文獻

[1]孟津、王科.高職高專數(shù)學教學改革的必由之路——將數(shù)學建模的思想和方法融入高等數(shù)學課程教學中[J].成都電子機械高等專科學校學報，2007（1）：41～45

[2]宋儒瑛、鄭艷萍.關于數(shù)學實驗與數(shù)學建模課程建設的實踐與思考[J].太原師范學院學報（社會科學版），2010（6）：160～161