數(shù)學(xué)案例教學(xué)分析(5篇)

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第一篇：小學(xué)數(shù)學(xué)案例教學(xué)的策略

摘要:數(shù)學(xué)學(xué)科是以抽象思維、邏輯推理為主要解決手段的基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)科．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題已成為教師和小學(xué)生之間深入溝通、思想碰撞、共同進(jìn)步的“橋梁”和“紐帶”，也成為小學(xué)數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的重要“媒介”和有效“抓手”．筆者現(xiàn)將案例有效教學(xué)方法教研心得做一簡(jiǎn)單的論述．

關(guān)鍵詞:小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)案例;方法策略

數(shù)學(xué)學(xué)科是以抽象思維、邏輯推理為主要解決手段的基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)科．實(shí)用主義學(xué)者認(rèn)為，學(xué)習(xí)探究知識(shí)、掌握獲取知識(shí)，其根本目的是為了更好的解決遇到的問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科講解進(jìn)程中，學(xué)生主體需要經(jīng)常開(kāi)展解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)踐活動(dòng)，教師需要圍繞解決問(wèn)題的方法途徑開(kāi)展數(shù)學(xué)問(wèn)題的講解教學(xué)活動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題已成為教師和小學(xué)生之間深入溝通、思想碰撞、共同進(jìn)步的“橋梁”和“紐帶”，也成為小學(xué)數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的重要“媒介”和有效“抓手”．如何選擇典型、精確的數(shù)學(xué)案例，開(kāi)展高效深入的案例教學(xué)活動(dòng)，已經(jīng)擺在了小學(xué)數(shù)學(xué)教師的面前，成為需要教師切實(shí)有效破解的“課題”．近年來(lái)筆者圍繞數(shù)學(xué)案例式有效教學(xué)活動(dòng)的實(shí)施，進(jìn)行了粗淺的探索和研究，現(xiàn)將其案例講解的策略和方法做一簡(jiǎn)單的論述．

一、情境激勵(lì)法，以生動(dòng)典型案例激發(fā)學(xué)習(xí)潛能

數(shù)學(xué)學(xué)科與現(xiàn)實(shí)生活緊密相連，數(shù)學(xué)學(xué)科是現(xiàn)實(shí)生活、工作現(xiàn)象的具體化、抽象化表現(xiàn)途徑之一，現(xiàn)實(shí)生活、工作是數(shù)學(xué)內(nèi)涵直觀化、實(shí)用性的生動(dòng)寫(xiě)照．小學(xué)認(rèn)知教育學(xué)指出，小學(xué)生所處的年齡階段、認(rèn)知的現(xiàn)實(shí)情況，決定了其學(xué)習(xí)內(nèi)容需要生動(dòng)、形象、豐富，與學(xué)生生活實(shí)際緊密聯(lián)系．筆者在教學(xué)研究中也深刻感受到，小學(xué)生群體對(duì)現(xiàn)實(shí)感、具體化的數(shù)學(xué)問(wèn)題總是充滿強(qiáng)烈的探究欲望和求真精神．因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師要數(shù)學(xué)案例教學(xué)達(dá)到有效目標(biāo)，就必須做好“準(zhǔn)備”工作，在數(shù)學(xué)案例設(shè)置的內(nèi)容和形式上做“文章”，抓住小學(xué)生的認(rèn)知實(shí)際，設(shè)置與他們認(rèn)知情況相貼近、與他們的學(xué)習(xí)生活相聯(lián)系的案例問(wèn)題，接近“情感發(fā)展區(qū)”，激活“思想興奮點(diǎn)”，從而帶著情感、帶著樂(lè)趣參與案例教學(xué)，打下堅(jiān)實(shí)情感基礎(chǔ)．如在“連乘應(yīng)用題”案例課教學(xué)時(shí)，教師利用該節(jié)課“連乘應(yīng)用題”知識(shí)點(diǎn)與現(xiàn)實(shí)生活中的“商品銷(xiāo)售”關(guān)系，展示數(shù)學(xué)生活特點(diǎn)，向?qū)W生展示了“某超市有每箱裝6瓶的汽水，今天一共賣(mài)出了4箱，一共賣(mài)出多少瓶?”數(shù)學(xué)場(chǎng)景，并組織小學(xué)生分成售貨員和顧客等角色進(jìn)行親身的參與和感知活動(dòng)，以此獲得直觀的親身感受，激發(fā)起他們的內(nèi)在能動(dòng)性，思想上受到觸動(dòng)，主動(dòng)參與案例教學(xué)［1］．

二、互動(dòng)交流法，以師生雙邊活動(dòng)推進(jìn)案例講解

教育學(xué)指出，教學(xué)效能優(yōu)劣的重要評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)之一，就是教學(xué)對(duì)象是否全身心參與教學(xué)雙邊活動(dòng)，展現(xiàn)和呈現(xiàn)學(xué)生的主體風(fēng)采和學(xué)習(xí)效果．但筆者發(fā)現(xiàn)，有不少的小學(xué)數(shù)學(xué)教師案例式教學(xué)活動(dòng)，過(guò)分放大了教師的“導(dǎo)”的特性，而忽略了學(xué)生的“學(xué)”的特點(diǎn)，案例教學(xué)成為教師一個(gè)人展現(xiàn)風(fēng)采和技能的“舞臺(tái)”，小學(xué)生成為被動(dòng)應(yīng)付的“接受者”，不能深入其中，與教師進(jìn)行共同思維、共同分析等實(shí)踐活動(dòng)，降低了案例教學(xué)的效果．而教育實(shí)踐學(xué)明確指出，任何教學(xué)活動(dòng)必須融合和包含師與生之間的深入互動(dòng)、探討等雙邊活動(dòng)．這就要求，教師開(kāi)展小學(xué)數(shù)學(xué)案例教學(xué)，應(yīng)將互動(dòng)教學(xué)滲透和融入到教學(xué)實(shí)踐進(jìn)程中，引導(dǎo)學(xué)生參與到數(shù)學(xué)案例的分析、解答和歸納等實(shí)踐進(jìn)程中，通過(guò)互動(dòng)交往的手段，幫助他們進(jìn)一步認(rèn)清解題意圖、掌握解題方法，提高分析效果，讓數(shù)學(xué)案例成為師與生二者深入互動(dòng)的有效“平臺(tái)”，推動(dòng)案例教學(xué)深入發(fā)展［2］．如“A和B兩地相距150千米，甲和乙兩人同時(shí)相向而行，騎自行車(chē)從兩地出發(fā)，如果甲每小時(shí)速度為16千米，騎行4小時(shí)后，兩人之間還相距30千米，試問(wèn)乙每小時(shí)騎行的速度是多少?”案例講解時(shí)，教師沒(méi)有個(gè)人承包案例解析的總?cè)蝿?wù)，而是引導(dǎo)小學(xué)生與教師一起進(jìn)行案例的解析共同勞動(dòng)．師生之間圍繞題意的條件、解題的要求以及解題的思路、解答的過(guò)程等等方面開(kāi)展互動(dòng)交流、深入討論活動(dòng)，教師提出“甲和乙騎行的總路程為多少?”、“騎行四小時(shí)，甲和乙共同騎行的距離為多少?”、“如何建立方程式求乙的速度?”等問(wèn)題，與小學(xué)生一起互動(dòng)交流，討論分析活動(dòng)，重點(diǎn)圍繞案例解答的思路進(jìn)行共同探討活動(dòng)，結(jié)合“兩人騎行的總路程”、“騎行四小時(shí)后的相距路程”等內(nèi)容，從而獲得其解題思路為“由兩人騎行4小時(shí)后的路程與相距的路程之和為150千米的關(guān)系，然后除以4，得到乙的騎行速度”．這樣為小學(xué)生案例有效解析掃除了障礙，同時(shí)也增添了他們的信心．

三、實(shí)驗(yàn)探究法，以親身實(shí)踐探析提升講解實(shí)效

眾所周知，不勞而獲的學(xué)習(xí)心得，其接受對(duì)象理解掌握的程度較為淺顯，難以在腦海中留存深刻的印象，也不利于接受對(duì)象動(dòng)手學(xué)習(xí)技能的培養(yǎng)和訓(xùn)練．在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)程中，有許多需要進(jìn)行動(dòng)手實(shí)踐、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的數(shù)學(xué)案例，這些案例的有效設(shè)置和教學(xué)，能夠?qū)πW(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力、思考分析能力、觀察歸納能力等方面起到深刻的鍛煉和培養(yǎng)功效．因此，教師案例講解時(shí)，應(yīng)充分信任學(xué)生，為他們騰留出一點(diǎn)空間的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)時(shí)間，組建實(shí)驗(yàn)探究小組，明確分工職責(zé)，圍繞目標(biāo)要求開(kāi)展實(shí)踐操作活動(dòng)，教師給予必要的講解指點(diǎn)，以此鍛煉和提高小學(xué)生的數(shù)學(xué)解析能力［3］．求出該圖形的面積”案例教學(xué)中，教師在小學(xué)生已掌握的圖形面積求解基礎(chǔ)上，采用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證法教學(xué)方式，組織小學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段進(jìn)行解答案例的實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)小學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)的操作探究過(guò)程．小學(xué)生群體組建實(shí)驗(yàn)小組，借助于已學(xué)過(guò)的三角形面積求解方法，有的學(xué)生提出能否采用將此圖形分割成兩個(gè)三角形的方法進(jìn)行求解，其他小學(xué)生根據(jù)這一提議進(jìn)行動(dòng)手分割活動(dòng)，在對(duì)圖形進(jìn)行剪割以及拼接的過(guò)程中，他們發(fā)現(xiàn)分割后的兩個(gè)三角形進(jìn)行拼接正好形成平行四邊形．此時(shí)小學(xué)生意識(shí)到求此圖形面積時(shí)，可以利用三角形的公式進(jìn)行解答．這樣學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作的過(guò)程中，對(duì)如何解答平行四邊形類(lèi)型的圖形有了基本的方法和策略，提升了他們的動(dòng)手操作、思維分析能力．

四、評(píng)價(jià)辨析法，以科學(xué)評(píng)判實(shí)踐鞏固提升效果評(píng)判

學(xué)生學(xué)習(xí)成效、評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)效果，是教師課堂教學(xué)中所必不可少的重要實(shí)踐活動(dòng)，也是展示教學(xué)主導(dǎo)作用，推動(dòng)學(xué)生深入反思，促進(jìn)學(xué)生良好習(xí)慣養(yǎng)成的重要手段．小學(xué)生由于數(shù)學(xué)知識(shí)素養(yǎng)、解題能力以及智力發(fā)展等方面的欠缺，導(dǎo)致小學(xué)生案例解答時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤和缺陷．這就需要教師借助于評(píng)價(jià)教學(xué)法，予以科學(xué)評(píng)判、精準(zhǔn)辨析，提出解法，推動(dòng)實(shí)踐．因此，教師要注重對(duì)評(píng)價(jià)辨析法在案例教學(xué)中的運(yùn)用，在教師評(píng)判基礎(chǔ)上，還要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)方式，引導(dǎo)小學(xué)生做教師，評(píng)判自己的案例解答活動(dòng)，評(píng)析他人的案例解答進(jìn)程，展現(xiàn)自己的解題觀點(diǎn)，呈現(xiàn)自己的思維見(jiàn)解，以此梳理和匯總正確的解題方法和策略，為進(jìn)一步案例解答自助活動(dòng)提升和鞏固．總之，作為小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分，案例教學(xué)活動(dòng)要達(dá)到師與生相長(zhǎng)的效果，教師要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)理念，活化教學(xué)方式，采用各種有效教學(xué)策略，引導(dǎo)和組織小學(xué)生進(jìn)行案例的觀察、分析、解答和歸納等實(shí)踐活動(dòng)，為良好解題素養(yǎng)的提升和正確解題方法的形成做出貢獻(xiàn)．

參考文獻(xiàn):

［1］孔企平，胡松林．新課程理念與小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革［D］．東北師范大學(xué)出版社，2012(25)．

［2］羅忠勤．如何提高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量［J］．考試周刊，2009(24):86．

［3］朱建新，朱崇業(yè)．?dāng)?shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)式編排的一些問(wèn)題［A］．學(xué)報(bào)編輯論叢(第十一集)［C］．2003(6)．

作者：陳易娟 單位：江蘇省南通市通州區(qū)東社學(xué)校

第二篇：小學(xué)數(shù)學(xué)案例教學(xué)的運(yùn)用策略

【摘要】小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容較為枯燥抽象，小學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中通常會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生厭學(xué)現(xiàn)象。案例教學(xué)法是在核心素養(yǎng)教學(xué)理念下將數(shù)學(xué)課堂形象化、生活化與實(shí)用化的高效教學(xué)措施，教師們一定要在課前、課時(shí)、課后三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行案例教學(xué)的實(shí)踐運(yùn)用研究，探討如何提高案例教學(xué)方法的運(yùn)用效率，幫助小學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);案例教學(xué);策略

小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量的高低一直是教師、家長(zhǎng)所關(guān)注的重點(diǎn)問(wèn)題，所謂高效、高質(zhì)量的數(shù)學(xué)課堂就是要能夠?qū)⒄n本中的數(shù)學(xué)知識(shí)有效、靈活地傳輸?shù)矫恳晃粚W(xué)生大腦中，讓其懂得數(shù)學(xué)學(xué)科理論的具體特征、形式以及本質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)科雖然在理論形式上較為抽象，但是就其本質(zhì)而言，其與學(xué)生生活有著較強(qiáng)的聯(lián)系性，所以教師一定要結(jié)合數(shù)學(xué)案例幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)理論理解能力，提升數(shù)學(xué)課堂的實(shí)踐層次，有效提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量。下面，筆者就小學(xué)數(shù)學(xué)案例教學(xué)方法的運(yùn)用談?wù)勔恍└咝Р呗浴?/p>

一、案例教學(xué)備案

就小學(xué)數(shù)學(xué)案例教學(xué)的整體模式而言，教師必須要進(jìn)行教學(xué)備案，從每一節(jié)課堂的教學(xué)目的和教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，靈活選擇、設(shè)計(jì)教學(xué)案例。因此，案例教學(xué)備案質(zhì)量的高低直接影響著小學(xué)數(shù)學(xué)案例教學(xué)策略是否能夠成功實(shí)施。那么在現(xiàn)代化素質(zhì)教育體系下，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂應(yīng)當(dāng)選擇什么樣的教學(xué)案例呢?筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)案例必須具備兩個(gè)特征，一是邏輯性，二是科學(xué)性，只有同時(shí)具備著兩個(gè)特征，教學(xué)案例才能與數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，深化數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)。教學(xué)案例不同于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂上的數(shù)學(xué)舉例，案例教學(xué)備案必須要從兩個(gè)主線出發(fā)，一是教師的案例準(zhǔn)備與設(shè)計(jì)，二是學(xué)生的課前預(yù)習(xí)。教師們?cè)诎咐虒W(xué)備案時(shí)一定要將數(shù)學(xué)課堂的主題與內(nèi)容大綱發(fā)放給學(xué)生，讓學(xué)生們就教材知識(shí)先進(jìn)性預(yù)習(xí)，這樣才能夠讓案例教學(xué)課堂更加具有適應(yīng)性和高效性。比如，在西師版小學(xué)數(shù)學(xué)教材一年級(jí)上冊(cè)第三章《分一分，認(rèn)識(shí)圖形》的教學(xué)過(guò)程中，就圖形的分類(lèi)教學(xué)，我進(jìn)行了案例教學(xué)的準(zhǔn)備與設(shè)計(jì)。首先，我從《分一分，認(rèn)識(shí)圖形》的教學(xué)目的出發(fā)，此章節(jié)的教學(xué)目標(biāo)有兩個(gè)，一是讓學(xué)生們具備圖形分類(lèi)的能力，二是讓學(xué)生們對(duì)整個(gè)圖形體系有一個(gè)初步的了解與認(rèn)識(shí)，因此我在備案過(guò)程中選擇了大量的圖形案例，從互聯(lián)網(wǎng)教學(xué)資源上選取了長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓形、梯形等等，并選用了生活中的圖形案例，有圓桌，黑板，電視等等，使得教學(xué)案例既具有理論元素，又具有生活元素，讓學(xué)生們能夠快速融入到案例教學(xué)課堂中，提起學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，為了讓此案例課堂能夠具有較好的教學(xué)連貫性，再課前我讓學(xué)生們就“生活中的圖形”這一主題進(jìn)行充分預(yù)習(xí)，讓每一個(gè)教學(xué)案例都能夠很好地貫徹到數(shù)學(xué)課堂中去。

二、組織案例討論

教師在經(jīng)過(guò)案例教學(xué)備案后，在小學(xué)數(shù)學(xué)案例教學(xué)課堂上要組織學(xué)生們圍繞教學(xué)案例展開(kāi)討論與交流，使他們對(duì)數(shù)學(xué)教材的知識(shí)點(diǎn)形成一個(gè)初步的框架性認(rèn)識(shí)。在組織案例討論時(shí)，教師可以適當(dāng)應(yīng)用合作教學(xué)理念，讓學(xué)生們搭配成案例討論小組進(jìn)行激烈討論，討論的主線是讓其能夠靈活利用書(shū)本上的理論知識(shí)點(diǎn)就教學(xué)案例進(jìn)行理論分析，總結(jié)案例與理論之間的相關(guān)性。在案例討論環(huán)節(jié)結(jié)束后，教師切不可讓學(xué)生們就此停止思維調(diào)用，要讓他們進(jìn)行及時(shí)總結(jié)與反思，針對(duì)學(xué)生們的討論問(wèn)題進(jìn)行糾正。比如，在西師版小學(xué)數(shù)學(xué)教材二年級(jí)上冊(cè)第二章《角的初步認(rèn)識(shí)》的教學(xué)過(guò)程中，我給學(xué)生們就“直角、鈍角和銳角”進(jìn)行了教學(xué)案例的展示，案例包括“墻角、汽車(chē)頂、筆記本電腦”等等，接著給學(xué)生們靈活搭配成案例討論小組，讓他們討論墻角的角度可以用什么角來(lái)表征，筆記本A面和B面之間角度的變化可以展現(xiàn)出哪幾種角，汽車(chē)頂部的弧線若直線化可以體現(xiàn)出哪幾種角度。學(xué)生們就這三種案例問(wèn)題進(jìn)行了激烈的討論，在討論的過(guò)程中，他們自然而然地會(huì)將數(shù)學(xué)教材中角的理論與實(shí)際生活聯(lián)系在一起，對(duì)角的理論體系形成一個(gè)初步的了解與認(rèn)識(shí)，并具備基本的運(yùn)用能力。最后，我讓學(xué)生們就自己的思考過(guò)程進(jìn)行反思，讓學(xué)生們互相之間自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與缺陷，結(jié)合教材的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行更正。

三、案例歸納

案例歸納是將數(shù)學(xué)教學(xué)案例的教學(xué)價(jià)值最大化的有效措施，經(jīng)過(guò)學(xué)生的案例總結(jié)與反思后，教師的案例歸納顯得尤為重要。教師必須從整個(gè)教學(xué)案例的形式、理論滲透、生活化等各個(gè)部分出發(fā)，嚴(yán)密結(jié)合數(shù)學(xué)課堂上的理論知識(shí)點(diǎn)，用數(shù)學(xué)理論對(duì)教學(xué)案例進(jìn)行全方位解析，幫助學(xué)生們進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于生活的意識(shí)。值得注意的是，學(xué)生們的思維方式具有明顯的差異性，就一個(gè)教學(xué)案例而言，每一個(gè)學(xué)生對(duì)其的思考方式是不同的，教師切不可急于下結(jié)論，要從學(xué)生們的每一個(gè)觀點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行討論與交流，指出其正確和錯(cuò)誤的地方，讓每一個(gè)環(huán)節(jié)都具有數(shù)學(xué)理論的支撐，使得每一個(gè)學(xué)生都能在案例課堂上獲得進(jìn)步。比如，在西師版小學(xué)數(shù)學(xué)教材二年級(jí)下冊(cè)第二章《千米的認(rèn)識(shí)》的教學(xué)過(guò)程中，我通過(guò)舉塑膠環(huán)形跑道和直尺的案例讓學(xué)生們就千米和毫米進(jìn)行案例討論，讓學(xué)生們?cè)谒季S意識(shí)中了解千米和毫米大概是什么樣的標(biāo)準(zhǔn)尺度。在學(xué)生們的案例討論環(huán)節(jié)結(jié)束后，我進(jìn)行案例歸納，有的學(xué)生認(rèn)為塑膠跑道只有四百米，不足千米，對(duì)此我指出塑膠跑道的疊加正是千米尺度的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，在體育賽制中塑膠跑道是千米競(jìng)賽的重要載體，以此加強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性。

四、結(jié)語(yǔ)

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的高低影響著學(xué)生們是否能夠在小學(xué)學(xué)習(xí)階段獲得較好的數(shù)學(xué)思維應(yīng)變力，就數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)本質(zhì)而言，數(shù)學(xué)理論與實(shí)際生活有著密切的聯(lián)系，教師一定要把握這種微妙關(guān)系，從案例教學(xué)方法的教學(xué)角度突破傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式限制，讓學(xué)生們學(xué)好數(shù)學(xué)理論的同時(shí)提高理論實(shí)際運(yùn)用能力，有效鞏固數(shù)學(xué)理論知識(shí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的提高。

【參考文獻(xiàn)】

［1］夏宗政．小學(xué)數(shù)學(xué)新課導(dǎo)入的教學(xué)案例分析［J］．西北成人教育學(xué)報(bào)，2013．

［2］謝強(qiáng)．以教學(xué)案例反思促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的實(shí)踐研究［J］．基礎(chǔ)教育研究，2011．

作者：歐信容 單位:四川省資陽(yáng)市雁江區(qū)第一小學(xué)

第三篇：通過(guò)應(yīng)用案例提高離散數(shù)學(xué)教學(xué)效果

摘要：數(shù)學(xué)作為現(xiàn)性文化的核心，提供了一種思維方式。離散數(shù)學(xué)研究離散的數(shù)量關(guān)系和離散的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模型，為計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)課程學(xué)習(xí)提供了基本的數(shù)學(xué)方法和手段。重點(diǎn)介紹了《離散數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)（第2版）》所新增的應(yīng)用案例，通過(guò)一些應(yīng)用案例的求解分析，激發(fā)學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)課程的興趣、對(duì)獲取離散數(shù)學(xué)知識(shí)的渴望。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；案例教學(xué)；能力培養(yǎng)

離散數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)里專(zhuān)門(mén)用來(lái)研究離散對(duì)象的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，是計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課。它所研究的對(duì)象是離散的數(shù)量關(guān)系和離散的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模型。離散數(shù)學(xué)主要包含數(shù)理邏輯、集合與關(guān)系、函數(shù)、圖和樹(shù)、組合計(jì)數(shù)、離散概率、數(shù)論與遞歸關(guān)系、代數(shù)系統(tǒng)、自動(dòng)機(jī)、文法和語(yǔ)言等內(nèi)容［1］?；旧虾w了計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)所需的數(shù)學(xué)內(nèi)容。離散數(shù)學(xué)這門(mén)課程，主要介紹各分支的基本概念、基本理論和基本方法，這些知識(shí)將應(yīng)用于數(shù)字電路、編譯原理、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)庫(kù)原理、算法分析與設(shè)計(jì)、人工智能、軟件工程、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等專(zhuān)業(yè)課程之中。

1離散數(shù)學(xué)是理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心

理論計(jì)算機(jī)科學(xué)，包括離散數(shù)學(xué)，還包括程序理論、計(jì)算理論、語(yǔ)言理論、人工智能、數(shù)據(jù)理論和并行算法。其中離散數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)核心學(xué)科。程序理論是研究程序的語(yǔ)義性質(zhì)和程序的設(shè)計(jì)及開(kāi)發(fā)方法的理論，主要包括程序語(yǔ)義理論、程序驗(yàn)證理論、程序設(shè)計(jì)理論等。程序驗(yàn)證理論，即驗(yàn)證程序正確性的理論，主要研究使用數(shù)學(xué)方法嚴(yán)格證明一個(gè)程序符合其預(yù)定目標(biāo)。為此，首先要將程序所要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)形式化，使用程序斷言描述程序性質(zhì)，進(jìn)而證明在程序的任何一種可能的加工過(guò)程中所設(shè)置的斷言都是正確的。程度理論通常以時(shí)態(tài)邏輯為基礎(chǔ)。計(jì)算理論是關(guān)于計(jì)算和計(jì)算機(jī)械化的理論，主要包括：自動(dòng)機(jī)理論、可計(jì)算性理論、計(jì)算復(fù)雜性理論和形式語(yǔ)言理論。其中，可計(jì)算性理論是研究計(jì)算的一般性質(zhì)的理論。計(jì)算的過(guò)程就是執(zhí)行算法的過(guò)程，算法可以視為一組規(guī)則，且具有有限性、可執(zhí)行性、機(jī)械性、確定性和終止性等特征?？捎?jì)算性理論的核心課題是：在給定的抽象計(jì)算模型下，研究哪些問(wèn)題是可計(jì)算或存在求解算法的，哪些問(wèn)題是不可計(jì)算或不存在求解算法的，以此揭示計(jì)算的實(shí)質(zhì)?？捎?jì)算性理論的主要研究?jī)?nèi)容有可計(jì)算函數(shù)、遞歸函數(shù)、可判定問(wèn)題和不可判定問(wèn)題。語(yǔ)言理論研究計(jì)算機(jī)可識(shí)別語(yǔ)言的語(yǔ)法及運(yùn)算性質(zhì)的理論。形式語(yǔ)言的語(yǔ)法通常用形式文法描述。依據(jù)產(chǎn)生式規(guī)則的不同形式，喬姆斯對(duì)形式文法及其產(chǎn)生的語(yǔ)言提出四種分類(lèi)譜系，即正規(guī)類(lèi)、上下文無(wú)關(guān)類(lèi)、上下文有關(guān)類(lèi)和短語(yǔ)結(jié)構(gòu)類(lèi)。有窮自動(dòng)機(jī)、下推自動(dòng)機(jī)、線性界限自動(dòng)機(jī)、圖靈機(jī)作為語(yǔ)言識(shí)別機(jī)器，它們識(shí)別的語(yǔ)言類(lèi)恰恰分別是正規(guī)語(yǔ)言類(lèi)、上下文無(wú)關(guān)語(yǔ)言類(lèi)、上下文有關(guān)語(yǔ)言類(lèi)和短語(yǔ)結(jié)構(gòu)語(yǔ)言類(lèi)。巴科斯系統(tǒng)極其類(lèi)似于形式語(yǔ)言中的上下文無(wú)關(guān)文法，從而為形式語(yǔ)言廣泛應(yīng)用于描述程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言打開(kāi)了局面。人工智能技術(shù)主要包括知識(shí)工程、機(jī)器學(xué)習(xí)、模式識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、自然語(yǔ)言處理、智能機(jī)器人和神經(jīng)計(jì)算等技術(shù)。知識(shí)工程關(guān)注知識(shí)表示方法、自動(dòng)推理方法、啟發(fā)式搜索方法和專(zhuān)家系統(tǒng)技術(shù)。機(jī)器學(xué)習(xí)研究計(jì)算機(jī)模擬人類(lèi)的學(xué)習(xí)行為。模式識(shí)別是對(duì)表征事物或現(xiàn)象的各種形式的信息進(jìn)行處理和分析，以對(duì)事物或現(xiàn)象進(jìn)行描述、辨認(rèn)、分類(lèi)和解釋。計(jì)算機(jī)視覺(jué)旨在對(duì)描述景物的一幅或多幅圖像的數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算機(jī)處理，以實(shí)現(xiàn)類(lèi)似于人的視覺(jué)感知功能。自然語(yǔ)言處理技術(shù)指用計(jì)算機(jī)對(duì)人類(lèi)的書(shū)面和口頭形式的自然語(yǔ)言進(jìn)行處理加工的技術(shù)。智能機(jī)器人指具有人類(lèi)所特有的某種智能行為的機(jī)器，其主要研究?jī)?nèi)容有操作與移動(dòng)、傳感器及其信息處理、智能控制和人機(jī)交互等。數(shù)據(jù)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)據(jù)特征的一種抽象，是構(gòu)建數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)的基礎(chǔ)，也是數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)的劃代標(biāo)志。數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)包括分布式數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)、聯(lián)邦數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)、并行數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)、演繹數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)、知識(shí)庫(kù)系統(tǒng)、主動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)、多媒體數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)、移動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)、Web數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)、流數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)等。數(shù)據(jù)庫(kù)技術(shù)被應(yīng)用到特定領(lǐng)域后還產(chǎn)生了數(shù)據(jù)倉(cāng)庫(kù)、工程數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)、空間數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)、科學(xué)數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)等。并行算法就是用多臺(tái)處理機(jī)聯(lián)合求解問(wèn)題的方法和步驟，其執(zhí)行過(guò)程是將給定的問(wèn)題首先分解成若干個(gè)盡量相互獨(dú)立的子問(wèn)題，然后使用多臺(tái)計(jì)算機(jī)同時(shí)求解它，從而最終求得原問(wèn)題的解。并行算法是并行計(jì)算中非常重要的問(wèn)題。研究應(yīng)該確立一個(gè)“理論－設(shè)計(jì)－實(shí)現(xiàn)－應(yīng)用”的系統(tǒng)方法，形成一個(gè)完善的“架構(gòu)—算法—編程”方法論，這樣才能保證并行算法不斷發(fā)展并變得更加實(shí)用。

2離散數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)新增案例

在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，通過(guò)一些應(yīng)用問(wèn)題的引入和求解分析，學(xué)生能夠?qū)﹄x散數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，并留下深刻印象。借修訂《離散數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)》之際，我們對(duì)每一章均增加了應(yīng)用案例，以說(shuō)明相應(yīng)章節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)可以解決什么樣的典型應(yīng)用問(wèn)題。教學(xué)內(nèi)容是課程改革的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。借助計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域中的新理念、新技術(shù)、新趨勢(shì)和課程組多年的摸索與實(shí)踐，并注重課程體系的完整性和內(nèi)容的科學(xué)性，適時(shí)的充實(shí)教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)一些應(yīng)用問(wèn)題的引入和求解分析，確保知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容得到強(qiáng)化，確保學(xué)生能夠?qū)φn程產(chǎn)生興趣，同時(shí)確保教學(xué)內(nèi)容的新穎和實(shí)用，從而達(dá)到將離散數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)與后續(xù)課程的學(xué)習(xí)形成一個(gè)貫穿性，促進(jìn)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。新修訂的離散數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)［2］，每章包含第1版的內(nèi)容提要、例題精選和習(xí)題解答，并新增“應(yīng)用案例”，以說(shuō)明相應(yīng)章節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)可以解決什么樣的典型應(yīng)用問(wèn)題，從而加強(qiáng)了知識(shí)點(diǎn)的貫穿性內(nèi)容的應(yīng)用，注重了理論聯(lián)系實(shí)際。

2．1邏輯部分的典型案例介紹

“命題邏輯”中的應(yīng)用案例包括：克雷格探長(zhǎng)案卷錄，忘卻林中的艾麗絲（獅子與獨(dú)角獸、斤斤計(jì)與斤斤較）?！爸^詞邏輯”中的應(yīng)用案例包括：電路領(lǐng)域的知識(shí)工程，基于邏輯的財(cái)務(wù)顧問(wèn)?！半娐奉I(lǐng)域的知識(shí)工程”問(wèn)題：有很多與數(shù)字電路相關(guān)的推理任務(wù)。最高層次是分析電路的功能。例如，確定電路是否能正確地完成加法；如果所有的輸入都是高位，計(jì)算門(mén)A2的輸出值；所有的門(mén)都和第一個(gè)輸入端相連，推斷得到的結(jié)果；確認(rèn)電路是否包含反饋回路。更詳細(xì)的分析層次包括定時(shí)延遲、電路面積、功耗、生產(chǎn)開(kāi)銷(xiāo)等相關(guān)內(nèi)容。每一層次都需要補(bǔ)充額外的知識(shí)。請(qǐng)開(kāi)發(fā)本體和知識(shí)庫(kù)，以便對(duì)數(shù)字電路進(jìn)行推理。“基于邏輯的財(cái)務(wù)顧問(wèn)”問(wèn)題：利用謂詞演算設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的財(cái)務(wù)顧問(wèn)。其功能是幫助用戶決策是應(yīng)該向存款賬戶中投資還是向股票市場(chǎng)中投資。一些投資者可能想要把他們的錢(qián)在這兩者之間分?jǐn)?。推薦給每個(gè)投資個(gè)體的投資策略依賴(lài)于他們的收入和他們已有存款的數(shù)量。

2．2集合論部分的典型案例介紹

“集合與關(guān)系”中的應(yīng)用案例包括：同余關(guān)系在出版業(yè)中的應(yīng)用，拓?fù)渑判蛟诮ㄖば蛑械膽?yīng)用，等價(jià)關(guān)系在軟件測(cè)試等價(jià)類(lèi)劃分中的應(yīng)用。“函數(shù)”中的應(yīng)用案例包括：逢黑必反魔術(shù)，生成函數(shù)在解決漢珞塔問(wèn)題過(guò)程中的應(yīng)用。“組合計(jì)數(shù)與離散概率”中的應(yīng)用案例包括：大使館通信的碼字?jǐn)?shù)，條條道路通羅馬?！巴嚓P(guān)系在出版業(yè)中的應(yīng)用”問(wèn)題?！皣?guó)際標(biāo)準(zhǔn)書(shū)號(hào)”（ISBN）由4部分組成：組號(hào)、出版商號(hào)、出版商指定的標(biāo)識(shí)號(hào)、校驗(yàn)位，例如ISBN0－673－38582－5中，最后一位數(shù)字5是校驗(yàn)位，用于檢測(cè)復(fù)制和傳送ISBN過(guò)程中產(chǎn)生的錯(cuò)誤。推斷設(shè)置校驗(yàn)位的原理。“逢黑必反魔術(shù)”問(wèn)題。漢蒙洗牌有兩個(gè)動(dòng)作，第一個(gè)動(dòng)作叫做“攔腰一斬”，第二個(gè)動(dòng)作叫做“換了位置換腦袋”。經(jīng)過(guò)漢蒙洗牌后，如果把偶數(shù)位置的牌進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，即原來(lái)面朝上的變成面朝下，原來(lái)面朝下的變成面朝上，那就會(huì)變成全紅，紅的牌全部在上面（面朝上），黑的牌全部在下面（面朝下），所以這個(gè)魔術(shù)的名字叫做逢黑必反。當(dāng)然這里要求原來(lái)的牌是排好的，是黑紅黑紅。隨便用漢蒙洗牌法多次洗牌，到了最后只要把偶數(shù)的牌翻過(guò)來(lái)，一定都是紅的全部面朝上或者黑的全部面朝上。請(qǐng)解釋其中的原理。“大使館通信的碼字?jǐn)?shù)”問(wèn)題。某大使館與它的國(guó)家通信，所用的碼字由長(zhǎng)度為n的十進(jìn)制數(shù)字串組成。為了捕捉到傳輸中的錯(cuò)誤，約定每個(gè)碼字中字符3和字符7的總個(gè)數(shù)必須是奇數(shù)。推算可能的碼字?jǐn)?shù)量?！皸l條道路通羅馬”問(wèn)題。魔術(shù)表演者甲請(qǐng)他的臨時(shí)助手乙想一個(gè)數(shù)字，然后甲用“心靈感應(yīng)”來(lái)感應(yīng)乙的數(shù)字，甲可以感應(yīng)出乙最終停的位置，請(qǐng)說(shuō)明其中的數(shù)學(xué)原理。

2．3圖論部分的典型案例介紹

“圖論”中的應(yīng)用案例包括：網(wǎng)絡(luò)爬蟲(chóng)，讀心術(shù)魔術(shù)，高度互聯(lián)世界的行為原理；“樹(shù)及其應(yīng)用”中的應(yīng)用案例包括：決策樹(shù)在風(fēng)險(xiǎn)決策中的應(yīng)用，Huffman壓縮算法的基本原理，一字棋博弈的極大極小過(guò)程。“讀心術(shù)魔術(shù)”問(wèn)題。一副牌隨便你攔腰斬，斬了很多次之后，把前面的五張拿出來(lái)，分別發(fā)給5個(gè)人，然后魔術(shù)師心靈感應(yīng)一下，就可以知道這五張牌是什么。魔術(shù)師請(qǐng)拿紅牌的人幫一個(gè)忙，往前走一步。例如，魔術(shù)師知道這五張牌的紅黑順序是“黑紅黑紅紅”，然后魔術(shù)師就可以心靈感應(yīng)出這五張牌。請(qǐng)說(shuō)明這其中的奧秘。Huffman壓縮算法的基本原理。2×2的子點(diǎn)陣共有16種狀態(tài)，每種狀態(tài)以來(lái)表示。通過(guò)統(tǒng)計(jì)24×24點(diǎn)陣字庫(kù)中的6900個(gè)漢字得到這16種狀態(tài)產(chǎn)生的概率為其值。請(qǐng)解釋漢字字庫(kù)壓縮算法原理。

2．4代數(shù)系統(tǒng)、自動(dòng)機(jī)和數(shù)論部分的典型案例介紹

“代數(shù)系統(tǒng)”中的應(yīng)用案例包括：物理世界中群的應(yīng)用，群碼及糾錯(cuò)能力?！白詣?dòng)機(jī)、文法和語(yǔ)言”中的應(yīng)用案例包括：奇偶校驗(yàn)機(jī)，地址分析，語(yǔ)音識(shí)別?！俺醯葦?shù)論”中的應(yīng)用案例包括：碼系統(tǒng)與公開(kāi)密鑰，單向陷門(mén)函數(shù)在公開(kāi)密鑰密碼系統(tǒng)中的應(yīng)用。物理世界中群的應(yīng)用：正六面體的6個(gè)面分別用紅、藍(lán)兩種顏色著色，計(jì)算可實(shí)現(xiàn)的方案數(shù)量。用紅、藍(lán)兩種顏色給正六面體的8個(gè)頂點(diǎn)著色，計(jì)算方案數(shù)量?！按a系統(tǒng)與公開(kāi)密鑰”問(wèn)題。待加密的消息稱(chēng)作明文，被加密以后的消息稱(chēng)為密文。發(fā)送方用加密密鑰，通過(guò)加密設(shè)備或算法，將明文加密成密文后發(fā)送出去。接收方在收到密文后，用解密密鑰使用解密算法將密文解密，恢復(fù)為明文。請(qǐng)概述加解密及公開(kāi)密鑰的基本原理。

3結(jié)束語(yǔ)

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的學(xué)習(xí)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給學(xué)習(xí)留下深刻印象，甚至終生難忘。通過(guò)信息安全、知識(shí)工程、軟件測(cè)試、風(fēng)險(xiǎn)決策、語(yǔ)音識(shí)別、網(wǎng)絡(luò)搜索等生動(dòng)的應(yīng)用案例闡述離散數(shù)學(xué)在解決信息領(lǐng)域問(wèn)題中所發(fā)揮的作用；通過(guò)魔術(shù)中的數(shù)學(xué)、高度互聯(lián)世界的行為原理等應(yīng)用案例體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為現(xiàn)性文化的核心。值得指出的是，我們?cè)谧珜?xiě)函數(shù)、離散概率及圖論章節(jié)應(yīng)用案例時(shí)，選用了美國(guó)伊利諾大學(xué)劉炯朗教授在文章“魔術(shù)中的數(shù)學(xué)”［6］（2015年中國(guó)計(jì)算機(jī)大會(huì)報(bào)告）中的例子，命題邏輯部分的應(yīng)用案例選自我的老師康宏逵先生翻譯的《這本書(shū)叫什么》［5］。案例的選取還參考了吳軍《數(shù)學(xué)之美》［7］和李曉明的譯著［8］，一并致謝。

參考文獻(xiàn)：

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［2］賁可榮，袁景凌，高志華．離散數(shù)學(xué)題解指導(dǎo)（第2版）［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2016．9．

［3］TJenkynsandBStephenson，F(xiàn)undamentalsofDiscreteMathforComputerScience：AProblem－SolvingPrimer［M］．Springer－VerlagLondon，2013．

［4］賁可榮，張彥鐸．人工智能（第2版）［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2013．

［5］RaymondMSmullyan．這本書(shū)叫什么？———奇譎的邏輯謎題［M］．康宏逵，譯．上海：上海辭書(shū)出版社，2011．

［6］劉炯朗．魔術(shù)中的數(shù)學(xué)［J］．中國(guó)計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)通訊，2015，11（12）：38－43．

［7］吳軍．?dāng)?shù)學(xué)之美［M］．北京：人民郵電出版社，2012．

［8］DavidEasley，JonKleinberg．網(wǎng)絡(luò)、群體與市場(chǎng)———揭示高度互聯(lián)世界的行為原理與效應(yīng)機(jī)制［M］．李曉明，王衛(wèi)紅，楊韞利，譯．北京：清華大學(xué)出版社，2011．

作者：賁可榮 謝茜 單位：海軍工程大學(xué)

第四篇：計(jì)算機(jī)工程系CDIO理念下的高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)

摘要：高等數(shù)學(xué)是一門(mén)重要的課程，是學(xué)生學(xué)習(xí)其它專(zhuān)業(yè)課程的基礎(chǔ)，但由于高等數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中學(xué)生的積極性并不高，導(dǎo)致高等數(shù)學(xué)的教學(xué)達(dá)不到理想的效果。把CDIO教學(xué)理念引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，并借助案例教學(xué)模式，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)自己去解決實(shí)際問(wèn)題，一定能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，從而提高高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；CDIO；案例教學(xué)

大家都說(shuō)數(shù)學(xué)很有用,可是如何去用？這是一個(gè)值得討論的話題。高等數(shù)學(xué)是各個(gè)高校都會(huì)開(kāi)設(shè)的一門(mén)課程，該課程所學(xué)習(xí)的內(nèi)容和方法對(duì)學(xué)生后面學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程具有重要的影響，所以說(shuō)高等數(shù)學(xué)課程是一門(mén)工具性的課程，也足見(jiàn)學(xué)好高等數(shù)學(xué)課程的重要性。但高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是枯燥乏味的，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中是痛苦萬(wàn)分的，我們應(yīng)該改變傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法，提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，才能有效提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。借助CDIO理念，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入案例教學(xué)方法，一定能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，從而提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)效果。

一高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀

一直以來(lái)，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)都是以講授式為主的，也就是老師講，學(xué)生聽(tīng)，雖然老師在講臺(tái)上滔滔不絕，但由于數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特點(diǎn)，比如枯燥、抽象等，有些學(xué)生在下面卻昏昏欲睡，學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣不大，積極性也不高，達(dá)不到理想的教學(xué)效果。很多教師在課堂上更注重定義的講解、定理的證明、公式的推導(dǎo)等，至于數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的歷史背景和文化價(jià)值，以及怎樣運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題介紹得很少，讓學(xué)生覺(jué)得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒(méi)有什么用處，沒(méi)有意識(shí)到高等數(shù)學(xué)對(duì)他們后續(xù)學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程以及以后在生活中的作用，從而不重視對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式的弊端日益顯著，急需尋找一種有效的教學(xué)模式改變這種現(xiàn)狀。

二CDIO理念簡(jiǎn)介

CDIO是目前高等教育中工程領(lǐng)域非常流行的一種教育理念，CDIO代表Conceive(構(gòu)思)、Design(設(shè)計(jì))、Implement(實(shí)施)和Operate(運(yùn)作)，是由美國(guó)麻省理工學(xué)院、瑞典查爾摩斯工業(yè)大學(xué)、瑞典林雪平大學(xué)、瑞典皇家理工學(xué)院四所大學(xué)共同創(chuàng)立的一種新型工程教育模式[1-3]。該模式強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位，要求學(xué)生積極主動(dòng)參與到教學(xué)中來(lái)，盡量調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生主動(dòng)來(lái)實(shí)踐工程技術(shù)，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生實(shí)踐能力的培養(yǎng)，倡導(dǎo)“做中學(xué)”，引導(dǎo)學(xué)生將“聽(tīng)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤白鰯?shù)學(xué)”。我國(guó)自汕頭大學(xué)引入CDIO教育理念以來(lái)，將CDIO教育模式與我國(guó)高校的教學(xué)情況相結(jié)合，增加誠(chéng)信、職業(yè)道德以及職業(yè)素質(zhì)的教育，能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)核心專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，能讓學(xué)生在實(shí)踐中進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而培養(yǎng)了他們的實(shí)際應(yīng)用能力。CDIO模式要求以教師為引導(dǎo)，以學(xué)生為主體，加強(qiáng)實(shí)踐教學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)他們的合作與溝通能力，提高他們的創(chuàng)新能力以及團(tuán)隊(duì)合作能力。

三案例教學(xué)簡(jiǎn)介

案例教學(xué)法就是教師以案例作為教材，使學(xué)生進(jìn)入某種情景，充當(dāng)某個(gè)角色，在教師的引導(dǎo)和支持下，鼓勵(lì)學(xué)生思考及相互交流，找出問(wèn)題及產(chǎn)生問(wèn)題的原因，尋找機(jī)會(huì)，做出決策的一種教學(xué)方法[4]。案例教學(xué)法起源于20世紀(jì)20年代，首創(chuàng)于哈佛大學(xué)商學(xué)院，20世紀(jì)50～60年代在美國(guó)得到推廣，而國(guó)內(nèi)教育界開(kāi)始探究案例教學(xué)法，則是20世紀(jì)90年代以后的事。剛開(kāi)始，案例教學(xué)法主要在經(jīng)貿(mào)、管理、法學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，目前在我國(guó)MBA教學(xué)中也已廣泛使用。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用案例進(jìn)行教學(xué)的實(shí)例并不多，這主要和高等數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)有關(guān)。高等數(shù)學(xué)是專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)要借助高等數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題，而很多經(jīng)典案例存在于后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程中，兩者在銜接上存在一定的問(wèn)題，但由于案例教學(xué)法的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，還是很值得借鑒的。

四CDIO理念下的高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，引入CDIO理念，并開(kāi)展案例教學(xué)模式，這是一種全新的嘗試。案例教學(xué)直觀生動(dòng)，容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，而且案例規(guī)?？纱罂尚?，在教學(xué)上具有良好的可操作性，同時(shí)也符合CDIO理論。CDIO要求在做中學(xué)，在教學(xué)中，教師引入案例，學(xué)生借助所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行討論，尋找解決的方法，培養(yǎng)了學(xué)生解決問(wèn)題的能力。在教學(xué)中既要學(xué)數(shù)學(xué)，更要用數(shù)學(xué)，即“做中學(xué)，學(xué)中練”，這就是CDIO理念。

（一）案例的選擇要科學(xué)合理

在高等數(shù)學(xué)中并不是所有的內(nèi)容都適合案例教學(xué)，因此，在進(jìn)行案例教學(xué)前，教師應(yīng)選擇合適的數(shù)學(xué)內(nèi)容，并且選擇與專(zhuān)業(yè)相關(guān)的實(shí)際項(xiàng)目設(shè)計(jì)教學(xué)案例，一方面，所選案例要符合教學(xué)目標(biāo)的要求，另一方面，案例選擇要綜合考慮學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和個(gè)性特征，要清楚案例教學(xué)解決什么問(wèn)題，能體現(xiàn)學(xué)生解決問(wèn)題的哪些能力。例如導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，定積分的應(yīng)用，多元函數(shù)的極值等，這些內(nèi)容都比較容易選擇和專(zhuān)業(yè)實(shí)際背景相關(guān)的案例，并容易引導(dǎo)學(xué)生加以分析和討論，從而提高了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（二）教師的角色定位要準(zhǔn)確

在高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)過(guò)程中，教師和學(xué)生是教學(xué)的兩個(gè)重要角色，教師要發(fā)揮組織引導(dǎo)的作用，即以教師為主。首先，教師在課前要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平選擇合適的案例；然后，在課堂上要組織好學(xué)生并指導(dǎo)案例分析、討論的全過(guò)程。在此過(guò)程中，教師需要解決案例中存在的問(wèn)題，要有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生朝既定的目標(biāo)去思考，尋找需要用到的各種數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，并關(guān)注問(wèn)題發(fā)展變化的多種可能性；最后，對(duì)案例分析的全過(guò)程進(jìn)行總結(jié)和點(diǎn)評(píng)，完成教學(xué)目標(biāo)的各項(xiàng)要求。教師還應(yīng)隨時(shí)更新案例，使案例適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展，能夠真正反映專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)的需要，對(duì)于不符合發(fā)展實(shí)際需要的案例要及時(shí)剔除。

（三）學(xué)生能積極主動(dòng)參與教學(xué)

CDIO工程教育模式要求以學(xué)生為主體，提高學(xué)生的主動(dòng)性和積極性。在案例教學(xué)中，學(xué)生是重要的參與者，學(xué)生要分析案例，收集信息，參與討論，發(fā)表見(jiàn)解。高等數(shù)學(xué)中的概念、定理等有著很強(qiáng)的邏輯性和抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中容易產(chǎn)生厭學(xué)情緒，在組織學(xué)生開(kāi)展案例討論活動(dòng)的時(shí)候，讓學(xué)生積極參與是重點(diǎn)。

（四）案例教學(xué)的實(shí)施要組織得當(dāng)

在實(shí)施高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)之前，教師需要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)的要求精心準(zhǔn)備教學(xué)案例，要告知學(xué)生應(yīng)該提前預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)的內(nèi)容，學(xué)生需要按照教師的要求，完成課前任務(wù)。在課堂上，教師展示案例，幫助學(xué)生進(jìn)行合理的分組，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)案例進(jìn)行討論，并及時(shí)解決學(xué)生提出的問(wèn)題，幫助學(xué)生一起找到解決問(wèn)題的途徑。案例討論結(jié)束之后，每個(gè)小組選派一名代表發(fā)言，將本小組的討論意見(jiàn)進(jìn)行匯報(bào)，大家一起從中選擇最佳的方案。最后，教師還應(yīng)該對(duì)案例教學(xué)的方法進(jìn)行小結(jié)和評(píng)價(jià)，再列舉一些類(lèi)似的案例，分析案例解決的思路，通過(guò)對(duì)比找到共性，并對(duì)學(xué)生的各種合理見(jiàn)解給予充分肯定。只有完成好這四個(gè)階段的工作，才能更好的實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

五小結(jié)

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入CDIO教學(xué)理念，并借助案例進(jìn)行教學(xué)，充分體現(xiàn)了師生互動(dòng)的過(guò)程，教師不再是主動(dòng)的講授，學(xué)生不再是被動(dòng)的接受，教師變成課堂的組織者和引導(dǎo)者，學(xué)生真正變成課堂的主人，學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)自己親自討論和設(shè)計(jì)，體驗(yàn)解決問(wèn)題的樂(lè)趣，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)了如何用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題，提高了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，也進(jìn)一步提高了課堂教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)

[1]Edwardf.Crawley,JohanMalmqvist,sorenostluna,Doris.Brodeur著,顧佩華,沈民奮,陸小華譯.RethinkingEngineeringEducation:TheCDIOApproach[M].北京:高等教育出版社,2009(4):81-83.

[2]查建中.論“做中學(xué)”戰(zhàn)略下的CDIO模式[J].高等工程教育研究,2008(3):1-6.

[3]王平.基于CDIO的高等數(shù)學(xué)項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)研究[J].教育現(xiàn)代化，2015(15):143-145.

[4]高振濱，沈繼紅.案例教學(xué)法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].教育探索,2011(5):65.

作者：王平 單位：連云港師范高等專(zhuān)科學(xué)校

第五篇：翻轉(zhuǎn)課堂模式下的高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)研究

摘要：高等數(shù)學(xué)是各個(gè)高校都會(huì)開(kāi)設(shè)的一門(mén)公共課。傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)以講授式為主，很難調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。如果把傳統(tǒng)課堂進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，知識(shí)學(xué)習(xí)主要由學(xué)生課下自學(xué)完成，教師在課堂上運(yùn)用案例教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生變成課堂的主人，可以充分發(fā)揮學(xué)生的積極性，從而提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；翻轉(zhuǎn)課堂；案例教學(xué)

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)以教師為中心，學(xué)生被動(dòng)地接受數(shù)學(xué)知識(shí)。這種教學(xué)模式使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生恐懼與厭惡心理，他們覺(jué)得數(shù)學(xué)枯燥乏味，認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒(méi)有用處，沒(méi)有意識(shí)到高等數(shù)學(xué)對(duì)他們后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程學(xué)習(xí)的作用，從而不重視對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量一直得不到提高，所以對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行教學(xué)改革勢(shì)在必行。如果把翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，并借助案例教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)，能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，從而提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。

一、翻轉(zhuǎn)課堂的涵義

翻轉(zhuǎn)課堂（FlippedClassroom）是2007年美國(guó)林地公園高中的兩位化學(xué)教師喬納森•伯爾曼和亞倫•撒姆斯，源于對(duì)落后學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)照和為了幫助課堂缺席的學(xué)生補(bǔ)課，通過(guò)錄制視頻課上傳網(wǎng)絡(luò)讓學(xué)生能有機(jī)會(huì)學(xué)習(xí)已經(jīng)講授的知識(shí)，并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐中學(xué)生無(wú)法靈活掌握教師所講內(nèi)容的問(wèn)題現(xiàn)狀所構(gòu)想并實(shí)踐的一種新的教學(xué)模式。傳統(tǒng)的教學(xué)模式是學(xué)生在課前預(yù)習(xí)，教師在課堂上完成新知識(shí)的講解，然后布置課堂作業(yè)，最后通過(guò)考試驗(yàn)證學(xué)習(xí)效果。而翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式則不同，翻轉(zhuǎn)課堂是指任課教師根據(jù)授課內(nèi)容，創(chuàng)建相關(guān)教學(xué)視頻，在上課前，學(xué)生首先觀看教學(xué)視頻，自學(xué)新課，然后，學(xué)生根據(jù)教學(xué)視頻自主完成在線測(cè)試，進(jìn)而吸收內(nèi)化新知識(shí)，最后帶著學(xué)習(xí)過(guò)程中的疑問(wèn)去課堂上參與互動(dòng)交流與討論，從而達(dá)到理解并且掌握新知識(shí)，最終實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的目的。

二、案例教學(xué)的涵義

案例教學(xué)法就是教師以案例為教材，使學(xué)生進(jìn)入某種情境，充當(dāng)某個(gè)角色，在教師的引導(dǎo)和支持下，鼓勵(lì)學(xué)生思考及相互交流，找出問(wèn)題產(chǎn)生的原因，尋找機(jī)會(huì)做出決策的一種教學(xué)方法。案例教學(xué)法起源于20世紀(jì)20年代，首創(chuàng)于哈佛大學(xué)商學(xué)院。在師范教育中運(yùn)用案例教學(xué)比較晚，大約在20世紀(jì)80年代，美國(guó)教育司研究協(xié)會(huì)年會(huì)中工作組提交的報(bào)告中提出，“教學(xué)案例能夠闡明種種教學(xué)問(wèn)題，案例教學(xué)應(yīng)成為教育專(zhuān)業(yè)的主要教學(xué)方法”。這之后，教師教育案例教學(xué)方法才進(jìn)入較廣泛的研究和應(yīng)用階段。有數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析表明：與其他教學(xué)方法相比，在學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力提高及觀念培養(yǎng)上，案例教學(xué)是一種相當(dāng)有效的教學(xué)模式。

三、翻轉(zhuǎn)課堂模式下的高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)研究

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式，讓學(xué)生課前自學(xué)相關(guān)內(nèi)容，課上運(yùn)用案例教學(xué)法，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生運(yùn)用課前自學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法對(duì)案例進(jìn)行分析討論，尋找到解決案例的途徑，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和積極性。1.上課前教師根據(jù)授課目標(biāo)和授課內(nèi)容提前創(chuàng)建好相關(guān)教學(xué)視頻，并準(zhǔn)備好自學(xué)清單，在下課前發(fā)給學(xué)生。清單上包括學(xué)生需要觀看的教學(xué)視頻、需要預(yù)習(xí)的內(nèi)容、需要完成的習(xí)題和作業(yè)、需要完成的在線測(cè)試題等內(nèi)容。學(xué)生在課下需要認(rèn)真完成清單上的所有內(nèi)容，及時(shí)吸收消化新知識(shí)，也方便教師了解學(xué)生的自學(xué)情況。同時(shí)，教師還應(yīng)提醒學(xué)生，對(duì)于不懂的內(nèi)容要記錄下來(lái)，帶到課堂上做進(jìn)一步討論。2.課堂上第一步：教師根據(jù)學(xué)生的掌握情況，把本次課的重難點(diǎn)做簡(jiǎn)單講解，然后，讓學(xué)生進(jìn)行分組，相互檢查課前作業(yè)，相互討論自己課前自學(xué)不懂的內(nèi)容，也可以向教師尋求幫助，學(xué)生在課堂上通過(guò)參與師生、生生之間的互動(dòng)交流與討論，從而達(dá)到理解并且熟練掌握新知識(shí)、實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的目的。第二步：教師把準(zhǔn)備好的案例呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生以小組為單位對(duì)案例進(jìn)行分析討論，在討論的過(guò)程中，教師可以給學(xué)生一些引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，通過(guò)小組合作，互幫互助，以團(tuán)隊(duì)協(xié)作的方式完成對(duì)案例的求解。第三步：每個(gè)小組選派一名代表，匯報(bào)本小組的討論結(jié)果與所用方法，教師組織學(xué)生從中挑選最科學(xué)、最合適的做法。第四步：案例求解結(jié)束之后，教師還應(yīng)對(duì)大家的討論情況進(jìn)行小結(jié)，給出正確答案，并進(jìn)行合理的教學(xué)評(píng)價(jià)。

四、結(jié)語(yǔ)

翻轉(zhuǎn)課堂就是對(duì)傳統(tǒng)課堂的翻轉(zhuǎn)，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)主要由學(xué)生課下自學(xué)完成，在課堂上，教師展示案例，學(xué)生對(duì)案例進(jìn)行分析討論，學(xué)生通過(guò)交流討論完成案例的求解，從而完成知識(shí)的內(nèi)化。這種教學(xué)方式有利于提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，能激發(fā)學(xué)生的求知欲，也能幫助教師提高教學(xué)質(zhì)量，值得在教學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行嘗試和推廣。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫露，方輝平.“翻轉(zhuǎn)課堂”視角下高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接重疊內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2016（1）.

[2]高振濱，沈繼紅.案例教學(xué)法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].教育探索，2011（5）.

作者：王平 單位：連云港師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院