數(shù)學(xué)教育心理學(xué)下數(shù)學(xué)教學(xué)改革探索

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摘要:在高等教育改革、新工科理念的時(shí)代大背景下，本文結(jié)合數(shù)學(xué)教育心理學(xué)(PME)中的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)理解的心理本質(zhì)、數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的情感因素這三個(gè)方面的相關(guān)理論以及公共數(shù)學(xué)教育教學(xué)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，具體圍繞豐富認(rèn)知聯(lián)線、數(shù)學(xué)理解的內(nèi)部心理機(jī)制和數(shù)學(xué)教學(xué)的情感要素展開(kāi)來(lái)談在數(shù)學(xué)教育心理學(xué)理論的支撐下如何優(yōu)化教學(xué)策略，持續(xù)提高我們的教學(xué)質(zhì)量，真正踐行關(guān)于人的主體的數(shù)學(xué)素質(zhì)教育。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（PME）；高等教育改革；教學(xué)質(zhì)量

數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（PsychologyofMathematicsEducation，縮寫為PME），是數(shù)學(xué)學(xué)科教育的研究實(shí)踐與教育學(xué)、心理學(xué)理論的交叉領(lǐng)域，旨在構(gòu)建全新的學(xué)科教育理論框架，從而推動(dòng)教師教育改革與創(chuàng)新，切實(shí)提升教育教學(xué)質(zhì)量。我國(guó)高等教育改革已進(jìn)入一個(gè)綜合縱深、內(nèi)涵式發(fā)展、全面優(yōu)化的新時(shí)代，同時(shí)，在新工科的核心理念下，守住本科數(shù)學(xué)教育教學(xué)的前沿陣地，持續(xù)提升公共數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量就成為擺在每一位一線數(shù)學(xué)教師面前刻不容緩的首要任務(wù)。如何圍繞數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)開(kāi)展有效的“以學(xué)生主體為中心”的教學(xué)活動(dòng)？如何在現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)和教育學(xué)理論指導(dǎo)下實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的有效傳遞？如何幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的畏難心理，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，讓課堂更有效？本文主要圍繞數(shù)學(xué)教育心理學(xué)(PME)中的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)理解的心理本質(zhì)、數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的情感因素這三個(gè)方面的相關(guān)理論，并結(jié)合本人的教育教學(xué)實(shí)踐心得來(lái)展開(kāi)對(duì)提升公共數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)等問(wèn)題的相關(guān)思考。

1數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的相關(guān)理論及其對(duì)優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)的啟發(fā)

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)研究告訴我們，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)化的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程中教師通過(guò)語(yǔ)言、書寫、圖示或?qū)嵨锬Ｐ偷韧獠棵浇榈膸椭鷮W(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這是一個(gè)內(nèi)外交互不斷打破并重建平衡且不斷建構(gòu)的過(guò)程。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的良好構(gòu)建除了有助于信息的存儲(chǔ)、記憶和操作外，還有促進(jìn)理解的功能。正如美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納(Bruner)所說(shuō)：“獲得的知識(shí)如果沒(méi)有完美的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起，那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí)。一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命?！?.1數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形式數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)在形式上可以看作是由節(jié)點(diǎn)和聯(lián)線組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。其中，節(jié)點(diǎn)是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的元素或?qū)ο?，?shù)學(xué)對(duì)象——如數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)等在心理上的表示形態(tài)就是心理表象，而聯(lián)線就是內(nèi)部表象之間的聯(lián)系。認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的聯(lián)線是認(rèn)知理解的入口，是回憶知識(shí)的線索，又是指明節(jié)點(diǎn)“地址”的“指針”。一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的聯(lián)線越多，表示它與更多的節(jié)點(diǎn)相聯(lián)系，并且表明進(jìn)入這個(gè)節(jié)點(diǎn)的通路越多。這樣的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，可以指一個(gè)小小的“微觀”的概念結(jié)構(gòu)，也可以指“宏觀”的指針關(guān)系的結(jié)構(gòu)，它如同一張動(dòng)態(tài)平衡的思維地圖——各項(xiàng)知識(shí)各司其位，它們的相互關(guān)系錨定了各個(gè)節(jié)點(diǎn)(概念、性質(zhì)或其組塊)的相對(duì)位置。我們?cè)诮虒W(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生注意建立并豐富節(jié)點(diǎn)之間的“聯(lián)線”，在知識(shí)點(diǎn)的差異性和相似性的辨別區(qū)分中去學(xué)習(xí)。比如，在多元函數(shù)積分學(xué)部分的教學(xué)中，我們可以按照線狀、面狀、體狀積分的分類方法設(shè)計(jì)教學(xué)；我們也可以按照“關(guān)于數(shù)量意義的——如具有物理質(zhì)量總量背景的二重、三重、一類線、一類面”積分和“含有向量意義的——二類線、二類面”積分的方法設(shè)計(jì)教學(xué)；我們甚至還可以借助“形象”的形式化符號(hào)——“∫”，“∫∫”，“∫∫∫”來(lái)導(dǎo)入這部分內(nèi)容。總之，我們的目的是引導(dǎo)學(xué)生在構(gòu)建概念表象的基礎(chǔ)上建立更豐富的“聯(lián)線”，絕不能孤立地灌輸知識(shí)點(diǎn)。1.2學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的主體差異數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是在后天的學(xué)習(xí)活動(dòng)中逐步形成和發(fā)展起來(lái)的，由于不同主體對(duì)知識(shí)內(nèi)容的理解和組織方式不同，所以數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是有個(gè)體差異的，來(lái)到同一個(gè)課堂中的學(xué)生在長(zhǎng)時(shí)記憶中存貯的“預(yù)備知識(shí)”其實(shí)是不同的。在課堂教學(xué)情景中，來(lái)自書本和教師講授的外部刺激必須首先進(jìn)入工作記憶平臺(tái)才能進(jìn)入長(zhǎng)期記憶，鑒于工作記憶容量的有限性，學(xué)生只能是“有選擇地”在場(chǎng)。首先，教師要調(diào)整自己的心理預(yù)期，讓每位學(xué)生都在有限的45分鐘內(nèi)“學(xué)得全會(huì)、聽(tīng)的全懂”是不可能的，我們要注重豐富知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)結(jié)通路，不能簡(jiǎn)單割裂各個(gè)教學(xué)單元，要注重溫故知新式的教學(xué)；其次，教師要意識(shí)到有效的教學(xué)是幫助學(xué)生結(jié)構(gòu)化知識(shí)——“漁”，而非知識(shí)內(nèi)容——“魚”，并根據(jù)工作記憶“組塊擴(kuò)容”的原理來(lái)優(yōu)化教學(xué)策略。

2數(shù)學(xué)理解的心理本質(zhì)、重要性以及如何促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

我們可以以量化的方式衡量數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，比如測(cè)驗(yàn)成績(jī)等，但是，更重要的衡量指標(biāo)首先應(yīng)該是質(zhì)的方面——在認(rèn)知層面是否內(nèi)化了所學(xué)的知識(shí)，按照建構(gòu)主義心理學(xué)的觀點(diǎn)，是否完成了知識(shí)的同化與順應(yīng)，即“駕馭”了所學(xué)知識(shí)。在心理學(xué)意義上，數(shù)學(xué)的掌握在于理解，而理解是為了數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移。在學(xué)習(xí)心理學(xué)的研究中，理解分解為一系列水平的層次，如：了解、領(lǐng)會(huì)、掌握、熟練應(yīng)用等等，這樣的分層目的是為了更高階意義的量化——在心理測(cè)量的層面科學(xué)地量化理解這個(gè)概念。而我們?cè)诒疚闹懈⒅刂赋鰧?duì)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的有啟發(fā)作用的理解的基本內(nèi)部心理機(jī)制。

2.1數(shù)學(xué)理解需要心理認(rèn)知基礎(chǔ)

教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾是“有意義學(xué)習(xí)”的提出者，他認(rèn)為學(xué)生具有有意義學(xué)習(xí)的心向，相較于機(jī)械學(xué)習(xí)，有意義學(xué)習(xí)是指符號(hào)所代表的新知識(shí)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的舊知識(shí)發(fā)生的交互作用，從而認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以重新構(gòu)建，新知識(shí)獲取了心理意義。在高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)中，認(rèn)知基礎(chǔ)非常重要，比如，微積分的教學(xué)需要函數(shù)知識(shí)基礎(chǔ)，而這個(gè)基礎(chǔ)的構(gòu)建貫穿了幾乎整個(gè)初、高中階段，一旦這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)存在重大缺陷，將會(huì)給大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)帶來(lái)極大的障礙。當(dāng)然，如果我們的學(xué)生有相關(guān)的學(xué)習(xí)障礙時(shí)，教師恰好需要以教育心理學(xué)的相關(guān)理論為支撐切實(shí)幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)困難，比如，借助于信息化技術(shù)和工具——如數(shù)學(xué)軟件等將抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)視覺(jué)化，充分發(fā)揮人類表象的形象化優(yōu)勢(shì)來(lái)幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)瓶頸。我們不能離開(kāi)歷時(shí)性原則來(lái)孤立地談結(jié)構(gòu)，歷時(shí)性（強(qiáng)調(diào)時(shí)間線，側(cè)重心理發(fā)展角度）和共時(shí)性原則（強(qiáng)調(diào)共時(shí)性結(jié)構(gòu)，側(cè)重相互邏輯聯(lián)結(jié)）共存于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。在中學(xué)素質(zhì)教育改革的背景下，面對(duì)一部分被刪減的且影響了新知識(shí)建構(gòu)的中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，如極坐標(biāo)、排列組合的基本計(jì)數(shù)原理等，我們需要結(jié)合教學(xué)進(jìn)度將其有機(jī)地納入教學(xué)設(shè)計(jì)之中，在新舊知識(shí)聯(lián)結(jié)處給予學(xué)生重新構(gòu)建的可能性。

2.2認(rèn)知圖式的操作與數(shù)學(xué)理解

認(rèn)知圖式是瑞士認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰的核心概念，圖式是主體在與外部環(huán)境交互作用的過(guò)程中不斷發(fā)展建構(gòu)的。皮亞杰提出了三種能力結(jié)構(gòu)：動(dòng)作圖式（感覺(jué)運(yùn)動(dòng)圖式）、符號(hào)圖式和運(yùn)算圖式(1952，1977)。其中，符號(hào)圖式已經(jīng)具有完備的心理表象并可以通過(guò)外部動(dòng)作或行為外顯化，這種具有整體性的格式塔意義的符號(hào)圖式發(fā)展的關(guān)鍵期是1.5~7歲，當(dāng)然，符號(hào)圖式具有明顯視覺(jué)化的特點(diǎn)。與數(shù)學(xué)教育密切相關(guān)的圖式是運(yùn)算圖示，它具有邏輯性和可逆性，這是最早的算術(shù)運(yùn)算的內(nèi)部心理活動(dòng)的基礎(chǔ)，根據(jù)皮亞杰的發(fā)展理論，7歲以后的兒童思維的主要特征已經(jīng)是運(yùn)算圖式了。對(duì)發(fā)展至關(guān)重要的三個(gè)過(guò)程：同化、順應(yīng)和平衡化。當(dāng)主體根據(jù)現(xiàn)有的圖式或運(yùn)算來(lái)知覺(jué)新的外部客體時(shí)，就發(fā)生了同化，主體傾向于使用任何可用的心理結(jié)構(gòu)來(lái)同化新的外部事件。當(dāng)必須修改現(xiàn)有的圖式或運(yùn)算以便于解釋一種新的經(jīng)驗(yàn)時(shí)，就發(fā)生了順應(yīng)。順應(yīng)影響同化，反過(guò)來(lái)也一樣。平衡化是主要的發(fā)展過(guò)程，包括同化和順應(yīng)。平衡化刻畫了主體從一個(gè)發(fā)展階段向另外一個(gè)發(fā)展階段的過(guò)渡。2.3對(duì)促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的啟發(fā)皮亞杰曾從哲學(xué)的角度指出，“每一個(gè)結(jié)構(gòu)都是心理發(fā)生的結(jié)果，而心理發(fā)生就是從一個(gè)較初級(jí)的結(jié)構(gòu)過(guò)渡到一個(gè)不那么初級(jí)的（或較為復(fù)雜的）結(jié)構(gòu)”，數(shù)學(xué)理解正是在平衡——不平衡——再次建立平衡的循環(huán)往復(fù)的發(fā)展過(guò)程中不斷深化的，幫助學(xué)生在這樣的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)理解正是教學(xué)的根本任務(wù)。由于新課標(biāo)的實(shí)施，大一修習(xí)“微積分”的同學(xué)在中學(xué)里已經(jīng)學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)了，而中學(xué)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)是從直觀的變化率意義下引入的，因此當(dāng)他們來(lái)到大學(xué)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容時(shí)，同化的心理機(jī)制雖然易于構(gòu)建，但是，全面地把握在特定類型極限意義下的導(dǎo)數(shù)概念卻對(duì)他們帶來(lái)了干擾和理解上的困難，這里不平衡發(fā)生了，而順應(yīng)過(guò)程并未重新構(gòu)建。平衡-不平衡的心理發(fā)生機(jī)制對(duì)教師調(diào)整教學(xué)策略具有深刻的指導(dǎo)意義，布雷納德(1978)提出了沖突教學(xué)，他認(rèn)為引發(fā)不平衡并使學(xué)生注意到其思維的沖突和不一致之處是重要的教學(xué)策略。在這樣的平衡-不平衡的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程中，給教師提供了創(chuàng)設(shè)學(xué)生學(xué)習(xí)需求激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的絕佳時(shí)機(jī)，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)需要的教學(xué)智慧可以從微積分發(fā)展的歷史入手，向?qū)W生指出嚴(yán)密的導(dǎo)數(shù)概念的價(jià)值和意義，也可以結(jié)合“最近發(fā)展區(qū)”的教育理論優(yōu)化重組教學(xué)次序，把同化作為順應(yīng)產(chǎn)生的前設(shè)和基礎(chǔ)。總之，如果找不到知識(shí)結(jié)構(gòu)重新構(gòu)建的機(jī)會(huì)的話，學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)便無(wú)法得到改善和提高，正如我國(guó)教育家陶行知先生所說(shuō)：“教師之為教，不在全盤授予，而在相機(jī)誘導(dǎo)?！笔聦?shí)上，數(shù)學(xué)學(xué)部分的過(guò)程是順應(yīng)過(guò)程，這是數(shù)學(xué)難學(xué)的重要因素。

3數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的情感支撐

在我國(guó)，這樣一個(gè)專題是相較于“智力因素”而提出的“非智力因素”，它包括情緒、意志、興趣、信念等心理因素，隨著認(rèn)知心理學(xué)研究的深入，認(rèn)為后者也涉及了智力，故改稱為“非認(rèn)知因素”，數(shù)學(xué)教育心理理論將此類因素統(tǒng)稱為情感因素。我們所教學(xué)的對(duì)象，相較于中學(xué)階段，師生關(guān)系更加是平等的主體間關(guān)系，更加適用于“學(xué)生中心”的教育教學(xué)。

3.1“期待”的數(shù)學(xué)課堂與承載情緒情感的教學(xué)語(yǔ)言

無(wú)論教師還是學(xué)生，在走進(jìn)教室的時(shí)候，對(duì)這樣一堂課心里是充滿期待還是不情愿甚至是排斥的，都將預(yù)示這是一次成功的教學(xué)還是失敗的教學(xué)。這一點(diǎn)，無(wú)關(guān)歸納和演繹的邏輯法則，也無(wú)關(guān)數(shù)學(xué)的認(rèn)知知識(shí)結(jié)構(gòu)，它僅僅關(guān)乎人的異化本質(zhì)，即人類的基本聯(lián)結(jié)是愛(ài)，而愛(ài)的符號(hào)載體正是語(yǔ)言。心理學(xué)著名的“皮格馬利翁效應(yīng)”表明，對(duì)教學(xué)對(duì)學(xué)生滿懷正面意義的期待是可以跨越智力因素的，它可以直接影響到數(shù)學(xué)教學(xué)的效果。美國(guó)哲學(xué)家杜威曾指出，“人類本質(zhì)最深遠(yuǎn)的驅(qū)策力就是希望具有重要性”，期待得到他人的認(rèn)可和承認(rèn)是人重要的天性。語(yǔ)言不僅僅是信息符號(hào)的載體，也是情緒情感信息的載體，語(yǔ)言的感染力是課堂教學(xué)的重要技巧。當(dāng)我們需要吸引學(xué)生的注意力、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣時(shí)，我們需要變換語(yǔ)調(diào)語(yǔ)速使用“飽含溫情的”或“慷慨激昂的”等富有情緒感染力的語(yǔ)言；當(dāng)我們聚焦于結(jié)合板書演示解題的思路與推理細(xì)節(jié)時(shí)，需要使用“清晰的”理性的語(yǔ)言?？桃饩S持和鍛煉教學(xué)語(yǔ)言能力也是數(shù)學(xué)教師的基本功之一。

3.2數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度的相關(guān)研究及其對(duì)教學(xué)的啟發(fā)

態(tài)度是主體對(duì)特定對(duì)象所持有的穩(wěn)定的心理傾向。這種心理傾向蘊(yùn)含著個(gè)體的主觀評(píng)價(jià)以及由此產(chǎn)生的行為傾向性。那么，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度即是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容或數(shù)學(xué)教師等所持有的穩(wěn)定的心理傾向，它具有主觀性和行為導(dǎo)向型。一些研究結(jié)果表明，學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度積極與否，與他們的學(xué)習(xí)效果或成績(jī)高低是正相關(guān)的，因此，我們要注意引導(dǎo)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度，比如，向?qū)W生傳達(dá)“后天的努力”比“先天的智力”更重要的信息，因?yàn)檎J(rèn)知心理學(xué)的相關(guān)研究表明智能是可變的，“人定勝天”正是人類主觀能動(dòng)性的精神價(jià)值的表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生注重練習(xí)，數(shù)學(xué)的學(xué)科特殊性決定了后天不懈努力的重要性；再比如，通過(guò)數(shù)學(xué)課堂向?qū)W生傳遞“失敗并不可怕”的氛圍，鼓勵(lì)他們從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)，“試錯(cuò)-頓悟”也是人類發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的重要途徑。綜上所述，教育的本質(zhì)是關(guān)于人的主體的教育，以符號(hào)性數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的數(shù)學(xué)教育也不例外，只有我們的數(shù)學(xué)教育教學(xué)方法符合了人類認(rèn)知發(fā)展的科學(xué)規(guī)律以及教育教學(xué)的一般理論，我們的數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作才真正是立足于“立德樹人”的素質(zhì)教育的踐行。

作者:黃亞男 賈云濤 單位:北京理工大學(xué)珠海學(xué)院數(shù)理與土木工程學(xué)院