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實(shí)變函數(shù)與泛函課程改革

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實(shí)變函數(shù)與泛函課程改革

摘要:本文探討了《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程內(nèi)容改革,一是采用一維化方法從一維實(shí)數(shù)空間的測度論開始學(xué)習(xí),二是采用測度的可數(shù)可加性圯葉戈洛夫定理圯有界收斂定理的學(xué)習(xí)路徑學(xué)習(xí)測度論,可測函數(shù)和積分論的性質(zhì)。此教學(xué)方案突出課程核心內(nèi)容,減輕了課程難度,適合數(shù)學(xué)類和相關(guān)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞:一維化方法;測度論;學(xué)習(xí)路徑

一、引言

隨著大學(xué)教育跟國際接軌,在筆者所在首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué),高年級(jí)數(shù)學(xué)課程越來越受到重視?!秾?shí)變函數(shù)與泛函分析》(簡稱實(shí)變課程)課程不僅是數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)類學(xué)生的必修課,也在經(jīng)濟(jì)、管理類學(xué)生中受到歡迎。隨著學(xué)生范圍的擴(kuò)大,有必要針對(duì)學(xué)生背景改革實(shí)變課程的教學(xué)內(nèi)容和方法。

二、《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程教學(xué)改革建議

實(shí)變課程的主要內(nèi)容是通過n維歐式空間(簡記為n維空間)上Lebesgue意義下測度、可測函數(shù)、積分論基本理論的學(xué)習(xí),理解抽象測度論和n維空間結(jié)構(gòu)相互結(jié)合。n維空間上測度論是后繼課程《測度論》和《隨機(jī)過程》的基礎(chǔ),也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。由于測度論的抽象性,我們都是通過學(xué)習(xí)n維空間上測度論過渡到抽象測度論。n維空間上測度論包括許多抽象測度論的內(nèi)容,給出了抽象測度論具體實(shí)現(xiàn)的空間,也是對(duì)實(shí)數(shù)結(jié)構(gòu)更加深入的認(rèn)識(shí)。采用教材[1]得到啟發(fā),筆者認(rèn)為可以在兩個(gè)大方面改善課程教學(xué),第一個(gè)方面是在n維空間測度論學(xué)習(xí)中首先學(xué)習(xí)一維實(shí)數(shù)空間、R的測度論,從R的測度論出發(fā)再深入學(xué)習(xí)n維空間的測度論,第二個(gè)方面是在完成測度論學(xué)習(xí)后,采用抽象測度論的方法把測度、可測函數(shù)和積分論的性質(zhì)聯(lián)系在一起,具體學(xué)習(xí)路徑是:測度的可數(shù)可加性圯葉戈洛夫定理圯有界收斂定理圯Fatou引理圯Lebesgue控制收斂定理。我們從實(shí)變課程中測度、可測函數(shù)和積分論來討論以上兩個(gè)方面。(一)學(xué)習(xí)n維空間測度論的新方法第一步,R實(shí)數(shù)空間。我們知道測度論的學(xué)習(xí)一般分為兩個(gè)階段,第一階段《實(shí)變》課程學(xué)習(xí)n維空間上Lebesgue測度論,第二階段《測度論》課程學(xué)習(xí)抽象測度論。國內(nèi)數(shù)學(xué)教材比如[2],是直接學(xué)習(xí)n維歐式空間測度理論。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)系學(xué)生已經(jīng)對(duì)n維空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有比較深入的了解,此方法不無不可。而對(duì)財(cái)經(jīng)類院校學(xué)生,對(duì)于n維空間不太熟悉,那么直接學(xué)習(xí)n維歐式空間測度理論有相當(dāng)難度。筆者翻閱了眾多教材,發(fā)現(xiàn)書[1]從n=1,即實(shí)數(shù)軸R上的測度論講起,非常方便數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的學(xué)生直接學(xué)習(xí)實(shí)變課程。我們敘述學(xué)習(xí)R上測度論的優(yōu)點(diǎn):1.R上容易證明以下命題。命題1([1]Propostion1P31):R上區(qū)間的外測度是其長度。我們對(duì)R上開區(qū)間I=(a,b)定義長度為l(I)=b-a。任何集合A定義外測度,找可數(shù)個(gè)開區(qū)間覆蓋A,求出開區(qū)間的長度和,最后對(duì)有所有長度和取下確界,即m*(A)=inf∞k=1Σl(Ik)|A哿∞k=1胰Ik胰胰。此定義是從長度到測度的重要步驟,保證了數(shù)學(xué)理論邏輯的完整性。R上區(qū)間的外測度是其長度的結(jié)論雖然非常直觀,但是證明需要一定的技巧,用到了閉區(qū)間的緊致性(證明參見[1]Propostion1P31)。另一方面,在敘述完外測度的定義后,外測度的單調(diào)性、次可數(shù)可加性屬于抽象測度論內(nèi)容。2.R上容易證明以下命題。命題2([1]Propostion8P38):R上每個(gè)區(qū)間是可測的。在抽象測度論方面,我們引入Caratheodory條件定義可測集。測度就是外測度在可測集上的限制??蓽y集滿足σ-代數(shù)性質(zhì),且測度具有可數(shù)可加性,上、下連續(xù)性。關(guān)鍵在R上我們可以比較容易地證明每個(gè)區(qū)間都是可測的,避免n維空間上結(jié)果的技術(shù)細(xì)節(jié),從而通過區(qū)間生成Borel可測集和Lebesgue可測集。3.R的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡單,我們有如下命題。命題3([1]Propostion9P17):R的非空開集是可數(shù)個(gè)開區(qū)間的并集,非空閉集是可數(shù)個(gè)閉區(qū)間的并集。R上拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是開、閉區(qū)間概念的直接推廣,直接引入了拓?fù)涓拍?。我們可以用開集、閉集逼近可測集,便于理解拓?fù)渑c測度的關(guān)系([1]P40)。學(xué)習(xí)n維空間測度論的新方法第二步,n維空間。在具體學(xué)完R上測度后,我們對(duì)抽象測度論有一定理解,只需拓展以上三個(gè)命題就可以理解n維空間上Lebesgue測度論,大大減輕了學(xué)習(xí)難度。命題1’([1]例P62):n維空間上矩體的外測度是其體積。命題2’([1]定理2.9P74):n維空間上每個(gè)開矩體是可測的。命題3’n維空間上每個(gè)開集是可數(shù)個(gè)開矩體的并集。命題1’在書[2]中并沒有給出詳細(xì)證明,其具體證明細(xì)節(jié)把命題1的證明推廣到多維。命題2’比命題2的證明復(fù)雜。(二)對(duì)于R上的可測函數(shù)類,我們可以比較簡單地證明Littlewood三原則([1]P64)。①每個(gè)可測集幾乎是有限個(gè)區(qū)間的并集([1]Theorem12P41)。②每個(gè)可測函數(shù)幾乎是連續(xù)的,即魯津定理([1]P66)。③函數(shù)列點(diǎn)態(tài)收斂幾乎是一致收斂,即葉戈洛夫定理([1]P64)。其中葉戈洛夫定理的證明用到了Lebesgue測度的連續(xù)性,即測度可數(shù)可加性的一個(gè)推論,聯(lián)系了測度和可測函數(shù)的性質(zhì)([1]RemarkP78)。(三)對(duì)于R上的可測函數(shù)的Lebesgue積分。我們利用葉戈洛夫定理證明有界收斂定理,聯(lián)系了可測函數(shù)和積分的性質(zhì)([1]RemarkP78),進(jìn)而證明Fatou引理,單調(diào)收斂定理,Lebesgue控制收斂定理。以上(二),(三)部分參考學(xué)習(xí)路徑,屬于抽象測度論的內(nèi)容,其結(jié)果可以平行地推廣到Rn空間中。

三、結(jié)束語

綜上所述,以上《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程關(guān)于一維化方法和測度、可測函數(shù)、積分論學(xué)習(xí)路徑的建議是適應(yīng)課程面向大眾化的改革方案,突出核心內(nèi)容,極大減輕了教學(xué)內(nèi)容的難度,便于學(xué)生學(xué)習(xí)。根據(jù)學(xué)生情況,課程還可以增加弱收斂、度量空間、拓?fù)淇臻g、Banach空間、Hilbert空間等內(nèi)容。

參考文獻(xiàn):

[1]H.Royden,P.Fitzpatrick.RealAnalysi,FourthEdition[M].機(jī)械工業(yè)出版社,2010.

[2]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].第2版.北京大學(xué)出版社,2008.

作者:簡思綦 單位:首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)