小學數學教材集合思想挖掘應用研究

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摘要：數學思想是數學教材內容體系的靈魂，也是教學的重點。集合思想作為小學階段的一個重要數學思想方法，一方面有利于學生學習和掌握基本的數學知識和技能，另一方面能促進知識的銜接與整合，提高小學數學教學的質量。鑒于集合思想的教育價值，有必要深入挖掘小學數學教材中的集合思想，為教師分析教材和開展數學教學工作提供指導。

關鍵詞：集合思想；數學教材；內容；應用

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出“四基”理念，強調學生通過數學教育認識和掌握基本的數學思想方法，學會利用數學思想解決數學問題或生活中的實際問題。集合思想作為一個重要的數學思想，滲透于小學數學教材之中。它有助于小學生理解和掌握數學知識，有利于培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)[1]，同時在一定程度上能幫助教師高效、有序地開展教學活動。因此，教師應立足數學教材，深度挖掘集合思想，對教材中的集合思想進行分析、整理，并將其應用于教學活動中。

一、集合思想認識

（一）數學思想數學思想是對數學知識的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉、上升的數學觀點，它是建立數學和用數學解決問題的指導思想[2]。數學思想貫穿在教學活動的全過程，是指導教師教學的重要思想方法。數學方法是數學思想外顯化的具體表現形式，它是教師在教學實踐中，運用數學思想解決數學問題的可操作手段，具有操作性、形象化和程序性的特點。在教育教學活動中，數學思想與數學方法沒有本質區(qū)別，都是教學的重點。因此被統(tǒng)稱為“數學思想方法”。

（二）集合思想集合是一個基本的數學概念，指在數學意義上，確定一個特定的性質，例如性質“P”,把所有具有性質“P”的對象看作一個整體，這個整體就是一個“集合”，而構成這個集合的對象稱“元素”。比如：X市人的集合，它的元素就是每一個X市人。集合思想是對集合的概念、運算、圖形等的概括性升華，是對集合理論本質的認識，它是用來解決數學內部問題或實際問題的一種重要思想方法。小學數學教材中蘊含的集合思想有：子集思想、一一對應思想、并集思想等[3]。子集指某個集合中的部分集合，小學數學教材中多處都滲透著子集思想，如：簡易方程、角的初步認識、三角形的分類等內容。教師在教學過程中運用子集思想講解數學知識，有利于學生準確理解數學概念之間的關系，培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)。一一對應思想更多體現在數與代數領域，如：1～100各數的認識、倍的認識、有余數的除法等內容。教材利用集合圖或物體代表數，有利于加深學生對數的認識，幫助學生進行數的比較、運算等數學活動。并集思想大多用來表示加法的意義，如：20以內的進位加法、100以內的加法等。教師利用并集思想進行教學活動，有助于學生體會加法的意義及特點，攻破加法運算難題。

二、集合思想的教育價值

（一）有利于學生理解數學概念基于小學生的思維發(fā)展特點，他們很難理解某些專業(yè)、抽象的數學概念，需要教師利用直觀手段幫助其理解數學定義。例如，教師在講授“單位1”概念時，學生很難形成直觀表象。這時，教師通過集合圖和方框圖的引用，使學生清楚感受到整體的概念，知道一個整體能用自然數1表示，通常稱作單位“1”。小學數學教材中沒有出現過集合的定義、分類、符號等內容，因此在小學數學教學實踐中，教師主要是利用集合圖和語言描述等方式，讓學生初步感知集合，體會集合思想，從而清楚地把握數學概念。

（二）有助于學生思維能力的培養(yǎng)教師依據教材的內容和要求，在教學活動中滲透集合思想，一方面有利于學生掌握基本數學知識與技能，促使教師達成教學目標；另一方面使學生掌握一定的集合思想方法，培養(yǎng)學生的數學思維。例如，在五年級下冊（人教版）“最大公因數”內容中，學生之前已經學習了因數的定義及表示方法，因此，教材直接呈現了兩個集合圖用來表示8和12的因數。學生通過觀察集合圖，可以發(fā)現1、2、4是8和12的公因數。同時，教材還展示了另一個集合圖，以更簡便的方式呈現8和12的公因數，這個集合圖體現了交集思想。教師通過滲透交集思想進行“最大公因數”的概念教學，引導學生利用集合圖歸納、整理兩個數的公因數，從而找出最大公因數。如教材的例2和做一做，都需要教師鼓勵學生嘗試用自己的方法找出兩個數的最大公因數。學生通過多次實踐練習，進一步加深對最大公因數的認識，潛移默化中感悟交集思想的同時，提高了自身的數學思維能力。

（三）提高學生解決問題的能力集合思想是具備高度概括性且具有指導意義的數學觀點。學生學習集合思想，不僅有助于鞏固學生已有的知識經驗與技能，而且能指導學生發(fā)現問題并解決數學難題，進而提高學生的數學思考能力與實踐能力。例如：學生在學會利用點子圖計算“15-9”算式后，對于“11-9”“13-9”等算式的計算，也能夠輕松解決。在算式運算的過程中，學生逐漸掌握20以內退位減法的運算定律，學生的運算能力也得到一定程度的提高，同時，為學生之后學習100以內加減法提供了方法參考。

（四）有利于知識的銜接應用集合思想有利于知識銜接，主要體現為數學知識銜接和教育階段銜接。基于學生學習特點與身心發(fā)展規(guī)律，小學數學教材中的集合思想是依據知識難易程度，由淺入深的逐漸滲透過程。如在“圖形與幾何”領域，集合思想依次在“認識圖形”“長方形和正方形”等單元內容中出現，并且教材還對三角形、四邊形等圖形的內部關系進行分析，并用集合圖呈現出來。因此，教材滲透集合思想，密切了數學知識的聯系，使數學知識結構更加完整、系統(tǒng)。通過小學階段的學習，學生掌握了一些初級集合思想，這有助于他們在初、高中階段學習更系統(tǒng)、高級的集合知識。學生進入初中會接觸到像數的劃分、函數等知識，這對于學生來說是陌生且有難度的。學生可以回顧已學的集合思想方法，找到新舊知識之間的聯系，自然過渡到初中學習。通過知識的遷移，學生對高中階段集合的概念、分類、運算等知識也可以輕松掌握。

三、集合思想在小學數學教材中的內容分布及特點

集合思想蘊藏著巨大的教育價值，教師應充分重視數學教材，對教材中滲透的集合思想進行挖掘和分析，以便利用集合思想開展教學活動。下面以人教版小學數學教材為例，對其蘊含的集合思想進行歸納整理，以探討如何運用集合思想進行數學教學，如表1所示。觀察表1，我們可以發(fā)現，小學數學教材中的集合思想呈現以下分布特點。

（一）顯性和隱性相結合教材中一部分集合思想以形象生動的主題圖（情境圖）和平直明了的語言呈現，并通過習題的練習，加強學生對集合思想的理解與掌握。例如在一年級上冊“準備課”內容中，教材利用主題圖，讓學生觀察圖片中的事物，并對事物進行分類，將同一性質的事物看作一個整體，即“一個集合”，這個集合中元素的個數對應著相應的自然數，即“一、二、三.....”，使學生直觀感受數的概念。部分集合思想是通過隱形的方式呈現，如五年級上冊“方程的意義”中，經過反復實踐總結出一個結論——“含有未知數的等式即是方程”。其實，這里隱含著子集思想，即方程一定是等式，等式不一定是方程。這個集合思想需要教師在教學中向學生滲透，可以通過展示集合圖（圖1），使學生清楚理解方程的含義。同時，加減法中蘊含的并集、差集和一一對應等思想也是以隱形的方式體現，要求教師善于發(fā)現教材中滲透的集合思想，并將其應用于教學活動中。

（二）反復滲透性集合思想的滲透需要反復多次進行，例如在二年級上冊“角的初步認識”中滲透了子集思想，在四年級上冊“角的分類”中又再次滲透子集思想。這說明，集合思想需要在知識點的反復教學實踐中得以充分體現，使學生逐步清晰認識到集合思想，學會利用集合思想理解抽象的數學知識。

（三）交叉滲透教材中經常滲透著多個集合思想，例如，在三年級上冊“倍的認識”內容中，體現了子集思想和一一對應思想。其次，有些教材內容滲透著多種數學思想。如：四年級上冊“角的度量”內容中，既蘊含集合思想，又包括分類思想和符號化思想，多種思想方法的相互滲透，使學生更加清晰直觀地認識角，學會度量角和畫角，為他們學習三角形奠定了知識基礎。

四、小學數學教學中應用集合思想的原則和策略

（一）應用原則1.針對性原則通過表1可以得知，集合思想在教材中的滲透面廣且種類豐富，需要教師有意識地剖析教材中所蘊藏的集合思想，思考哪部分教學內容滲透了集合思想，應采用何種教學方法植入集合思想。教師在制定教學目標時，要有針對性地將集合思想加入到教學目標中。例如，在三年級上冊數學廣角內容中，教師要在教學目標中突出交集思想和子集思想，幫助學生理清數學問題中各要素之間的關系，啟發(fā)學生畫集合圖解決數學問題。同時，小學數學教材按照螺旋式的方式編排，教師應了解學生的認知發(fā)展特點，運用學生能理解和接受的方法滲透集合思想，激發(fā)學生的學習興趣。2.漸進性原則小學數學教材中的集合思想呈現循序漸進的分布特點。因此，在數學教學中，教師首先要依托教材內容，結合學生認知規(guī)律，有目的、有計劃地滲透集合思想，使學生在理解新知識的同時，初步感知集合思想。同時，教師要加強實踐練習，促使學生將外在的思想方法內化為自己的思維模式。其次，學生集合思想方法的習得不可能一蹴而就，需要教師在長期教學活動中進行集合思想的反復滲透，鞏固學生對集合思想的掌握。為此，教師在教學設計中，要注重引導學生回顧舊知，促使學生發(fā)現舊知與新知之間的聯系，以便順利開展新知識的教學。通過這樣一個漸進過程，提高學生的知識層次，增強學生的數學技能。3.參與性原則教師將教材中內隱的集合思想通過課堂教學滲透給學生，學生通過教師的教和自主的學逐漸認識和掌握集合思想方法。在此過程中，學生是學習的主體，集合思想經過學生個體思維的加工，最終內化為學生自身的思維模式。因此，教師在課堂教學中，要引導學生積極思考，主動探索，使學生進一步認識、領會集合思想，提升數學素養(yǎng)。

（二）應用策略1.立足集合思想，深度挖掘教材教材是蘊含集合思想的載體，是學生學習集合思想的媒介。小學數學中的集合思想并非像定義、運算法則那樣具體的呈現，而是利用情境圖、集合圖、語言描述等方式進行潛移默化地滲透。因此，教師應充分研究教材，分析教材中的集合思想，并以恰當的方式向學生傳遞集合思想。首先，教師應充分認識到集合思想的教育價值，將集合思想內化為自己內心的要求，自覺主動地將集合思想滲透于教學的全過程。其次，教師挖掘教材的前提是：教師要加強對集合思想理論的學習，將集合思想融入到自己的認知結構當中。只有這樣，教師才能更好地分析和把握教材中的集合思想，有針對性地開展教學活動。同時，教師還要挖掘學生生活中與集合思想有關的素材，擅于利用這些素材開展教學，以便于學生更好地理解集合思想。2.借助集合圖，在新知識教學中滲透小學數學中體現的集合思想比較單一和淺顯，教材中沒有出現過有關集合的概念、分類、運算等明確性定義解釋。因此，教師在教學活動中，主要借助集合圖這一教學策略滲透集合思想，讓學生初步感知集合思想，學會運用集合思想解決一些數學難題。（1）借助集合圖，在概念教學中滲透小學數學教材中的大部分數學概念都滲透著集合思想，如：倍的概念、單位“1”的概念、數的概念等[4]。考慮到學生的學習能力和思維特點，教師要利用集合圖開展概念教學，幫助學生理解抽象概念。例如，教師在講解“倍”的概念時，由于“倍”概念中兩個事物之間的數量關系比較抽象難懂，因此，教師要利用集合圖教學。首先，教師呈現教材中的集合圖（圖2），即胡蘿卜和白蘿卜的數量對比圖，讓學生數一數，并引導學生發(fā)現：“第一行有幾個，第二行有多少個同樣多的幾個，那么第二行就是第一行的多少倍”，使學生初步感知“倍”的含義。接下來，學生自己動手圈一圈、擺一擺，發(fā)現兩個事物之間的倍數關系，據此逐步建立起“倍”的表象，并體會子集思想和一一對應思想。（2）借助集合圖，在關系教學中滲透數學思想的滲透加強了教材中概念、關系、問題等各要素之間的聯系，使得小學數學教材成為一個完整系統(tǒng)的體系。因此，教師在備課環(huán)節(jié)要注意厘清數學概念之間的關系，以增進學生對概念的認識，促使學生靈活運用概念知識解決相應的數學問題。例如，在人教版四年級上冊“平行四邊形和梯形”單元中，這是學生在小學階段最后一次學習“四邊形”內容。教師應引導學生回憶已學過四邊形，并讓學生思考它們之間存在什么關系，進而利用集合圖（圖3）體現四邊形之間的關系。在這一過程中，教師向學生隱性傳達了子集思想，在一定程度上激發(fā)了學生的抽象思維和推理能力，同時有利于學生之后學習、推導多邊形的面積公式，進一步完善其認知結構。3.注重學生學習體驗，深化認知結構鑒于有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一，教師在滲透集合思想的教學過程中，要注重學生個體的思考過程和實踐探索，使學生在感知集合思想的同時，經歷知識建構的過程。

例如，在“1～5的加減法”教學內容中，教材利用集合圖體現加減法的意義，幫助學生理解計算算式。因為學生之前沒有接觸過此類運算，很難理解解題方法。因此，課本中加入了大量形象生動的集合圖和練習題，這要求教師引導學生動手實踐，讓學生自己體驗解題過程。如：利用小棒擺一擺、填一填，涂一涂、劃一劃。學生通過思考與實踐，才能牢固理解和掌握解題方法，并獲得個體性的思想認知。4.利用知識遷移，在解題中滲透教師應用集合思想進行數學教學，不能僅局限于新知識教學，還應將集合思想進一步滲透于數學問題的解決過程中，以鞏固學生的認知結構，并促使學生將所學思想方法應用于實際問題的解決，達到學以致用的效果。例如，在一年級下冊第六單元，教師在講解兩位數加一位數、兩位數減整十數等知識時將集合思想滲透其中，使學生初步認識并集思想、子集思想及一一對應思想等，并能運用一定的思想方法進行數學運算。為了進一步鞏固學生對集合思想的認識與應用，教材呈現了這一數學問題：3個同學一起折小星星，每人折了6個，他們一共折了多少個小星星？解題的關鍵在于：利用集合圖將題中的元素一一呈現出來。學生依據已有的知識經驗進行思考會發(fā)現，這道數學題實際就是一道加法題，即把三個同學各自折的星星個數合起來，就是所折的星星總數。這道題隱含了并集思想和子集思想，學生在之前的學習中已經接觸過此類思想，因此，教師應及時引導學生進行知識遷移，以促進數學問題的解決，使學生在鞏固集合思想的基礎上，提高自身解決問題的能力。

參考文獻：

[1]梁昊欣.談數學學科與信息技術的整合[J].科教文匯,2007(08Z).

[2]王成營,魯雅琴.解答“陰影面積問題”的數學思想、策略與方法[J].教學與管理,2012(25).

[3]劉德宏.滲透數學思想提升數學素養(yǎng)[J].教育探索,2015(2).

[4]王建,程秋云.小學數學中的集合思想[J].四川教育學院學報,2006,22(6).

作者：陳語 單位：重慶師范大學