數(shù)學(xué)中的反證法精選(九篇)

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第1篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

關(guān)鍵詞：反證法；數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用

反證法是一種重要的證明方法，歷來是教學(xué)中的重點和難點。運用反證法有時可以達到簡練又確切的良好效果，可以說，沒有反證法的數(shù)學(xué)，只是原始、極不完整的數(shù)學(xué)，因此，深刻的理解反證法的實質(zhì)，了解這種方法的一般規(guī)律，對于提高邏輯思維能力和解決實際問題的能力，有著十分重要的意義。本文通過以下方面來說明反證法在教學(xué)中的應(yīng)用。

一、什么是反證法

反證法是一種間接證明命題的方法。該方法先提出與結(jié)論相反的假設(shè)，然后以此及其有關(guān)的定義、公理、定理、題設(shè)為依據(jù)，言出有據(jù)地導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，從而證明了與結(jié)論相反的假設(shè)不能成立，進一步肯定原來的結(jié)論必定成立。簡言之，就是從反面人手論證命題的真實性的方法。

反證法具體又分為歸謬法和窮舉法，在反證法中，當(dāng)命題的結(jié)論的反面只有一個時，則只需這種情況就能證明結(jié)論正確，這種反證法叫做“歸謬法”。當(dāng)命題結(jié)論的反面有兩種或兩種以上的可能時，則需一一，從而肯定原結(jié)論為真，這種反證法叫做“窮舉法”。

二、反證法的證題步驟

運用反證法證題時，一般有下述三個步聚：

（1）反設(shè)：就是假設(shè)原命題的結(jié)論的反面成立。

（2）歸謬：從假設(shè)出發(fā)，由正確的演繹推理過程，推出與公理，或定義，或與已知定理和公式，或與已知條件，或與假設(shè)相矛盾的結(jié)果，或所推得的結(jié)果自相矛盾。

（3）結(jié)論：判斷原命題結(jié)論反面不能成立，從而肯定原命題結(jié)論成立。

三、宜用反證法證明的命題形式

為了便于運用反證法證題，必須搞清宜用反證法證明的命題所具有的以下幾種常見形式。

待證命題用直接法難于人手時，宜用反證法.如立體幾何中開始的一些性質(zhì)定理的證明就是如此。

下面再舉一例

例1 如果正實數(shù)a，b滿足ab=ba，且a

證：假設(shè)a≠b，即ab

ab=bablna=alnb，

這與（1）式相矛盾，故a>b的假設(shè)不成立

所以，有a=b

說明：此題用反證法，推出結(jié)論與題設(shè)相矛盾，并及時地發(fā)現(xiàn)矛盾。

四、反證法證題時，應(yīng)注意的問題

（1）一定要在推理過程中有意地制造矛盾，并及時地發(fā)現(xiàn)矛盾。

第2篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

一、“反證法”在初中教材中的解讀

“反證法”在初中數(shù)學(xué)教材中，雖然并不是作為基本技能要求學(xué)生掌握，但處處有所滲透，并逐步提高要求。如蘇科版七年級下冊第7章“平面圖形的認(rèn)識（二）”中，課本編寫“讀一讀” ――怎樣證實“兩直線平行，同位角相等”，運用了反證法。這里已經(jīng)逐步揭示反證法的基本思路：“反設(shè)歸謬存真”。

八年級下冊第九章中，提出了一個用“反證法”解決的簡單問題，并對反證法給出了明確的定義：先提出與結(jié)論相反的假設(shè)，然后由這個“假設(shè)”出發(fā)推導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，說明假設(shè)是錯誤的，因而命題的結(jié)論成立。讓學(xué)生了解了反證法的基本步驟、體會反證法在解決問題中的作用。

由此看來，考慮到學(xué)生的年齡特征，對于“反證法”，在初中教材中的安排是謹(jǐn)慎而又循序漸進的，它是對提高學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)思辨能力的一個補充，在思維方式上給學(xué)生以新的思路和啟發(fā)。

二、“反證思想”滲透教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思辨能力

數(shù)學(xué)思辨能力，即數(shù)學(xué)思考辨析問題的能力，包括分析、推理、判斷、解決問題。良好的思辨能力體現(xiàn)在對問題的分析和結(jié)論進行層次分明、條理清晰的解釋和論證，具有較強的邏輯性。而“反證思想”是“反證法”中蘊含的逆向思維方式在問題解決中的應(yīng)用。借用“反證思想”還能幫助學(xué)生能夠在千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)問題，突破傳統(tǒng)單一的解題思路，創(chuàng)新解決新方法，進一步深化對知識本質(zhì)的理解。

（一）從簡單問題入手，使學(xué)生了解“反證法”的基本思路和一般步驟

初中數(shù)學(xué)知識中包含很多定理、定義等，一些定理或者初始命題難以發(fā)現(xiàn)直接證明的論據(jù)。從簡單問題入手，使“反證法”為學(xué)生提供新的解題思路。讓學(xué)生了解它的基本思路和一般步驟，從而能觸類旁通、靈活地解決問題。

例1：求證：在一個三角形中最多有一個鈍角。

第一步，反設(shè)――假設(shè)問題的反面成立。假設(shè)一個三角形中有兩個（或三個）鈍角。

第二步，歸謬――從假設(shè)出發(fā)得出與已知條件、定義、定理或基本事實相矛盾的結(jié)果。那么這兩個（或三個）鈍角的和大于180°，這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”相矛盾，

第三步，存真――假設(shè)，說明假設(shè)不成立，原命題成立。所以假設(shè)不成立，所以“一個三角形中最多有一個鈍角”。

第3篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

一、引導(dǎo)學(xué)生反向設(shè)計問題

基礎(chǔ)知識是課堂教學(xué)的主要內(nèi)容，要求學(xué)生要深入理解，掌握扎實，它是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的奠基石，各種練習(xí)題都以其為基礎(chǔ)進行設(shè)計。為使學(xué)生更好地理解這些知識，我們可采用反向思維的方式對其進行分析。例如：在定義域的學(xué)習(xí)中學(xué)生容易理解和掌握定義，但往往在求解上出現(xiàn)畏難情緒，不會解，或少解、或多解。為解決這個問題可在一定的正面練習(xí)的基礎(chǔ)上為定義域的結(jié)果設(shè)計一個函數(shù)解析式，使其滿足定義域，可結(jié)合知識基礎(chǔ)假設(shè)對數(shù)型、偶次根式型，等等。定義域的設(shè)計可采取由單向無窮至封閉區(qū)間或兩個區(qū)間并集各種形式，能極大程度地調(diào)動學(xué)生積極性，并幫助他們從深層次掌握各種定義域的限制條件，促使學(xué)生完成初步的由解題到出題的轉(zhuǎn)變。在此處知識的教學(xué)中還有一個難點――二次不等式的解，也在上一訓(xùn)練中得以升華。

在學(xué)習(xí)某些數(shù)學(xué)定理以后， 指導(dǎo)學(xué)生思考并用清晰的語言來敘述它的逆出題目， 再去判斷或論證逆出題目的正確性，是逆向思維訓(xùn)練的有效方法。能力較差的學(xué)生一般只會簡單地把定理的題設(shè)以及結(jié)論對換，難免出現(xiàn)語言不準(zhǔn)確的錯誤，但由正定理反過來設(shè)計逆定理是對正定理理解的完美補充。如立體幾何中的平行、垂直等的判定與性質(zhì)定理等。

二、運用反例及補集思想分析題

在解諸如填空、判斷、選擇題時，運用事例及補集思想分析題更是一種簡單易行的方法；在解題后，對解題過程和結(jié)果的檢驗，也是一種行之有效的方法；在審題時，可幫助學(xué)生找出由于種種原因而出現(xiàn)的錯題，以避免浪費精力和時間；在求概率問題時運用補集思想分析是較好的方法，如確定對立事件反向求概率如此，等等，不能低估了反向思維的作用。數(shù)學(xué)被譽為“思維體操”，思維的多樣性、靈活性更是其顯著特點?？陀^題的解答只需合理不需過程，反向檢驗更容易快速地得出結(jié)論。比如從選項看取值范圍的差異用特殊值檢驗。又如講解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，由于對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，在指導(dǎo)學(xué)生觀察對數(shù)函數(shù)的圖像特征時，指導(dǎo)學(xué)生將兩種函數(shù)的圖像以及性質(zhì)進行對比，學(xué)生能相應(yīng)地得出對數(shù)函數(shù)的四條性質(zhì)。再列出指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的一般形式，定義域以及值域，數(shù)值變化以及單調(diào)性方面的對照表，學(xué)生就能更清楚兩者之間的對稱（互逆）關(guān)系了。

三、簡易邏輯在思維中的作用

第4篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

關(guān)鍵詞:邏輯數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號:G633文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1003-2851(2009)10-0177-01

高中數(shù)學(xué)的起始單元就是“集合與簡易邏輯” 。雖然它是第一次以“邏輯”的形式正式出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材中,但是邏輯思維方法,早從初中數(shù)學(xué)伊始,就已經(jīng)貫穿于我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中了。如初中代數(shù)中的一元二次方程、一元二次方程組,平面幾何中的四種命題、反證法等,這些知識中都包含和滲透著邏輯學(xué)知識。而高中代數(shù)中的集合、不等式組、數(shù)學(xué)歸納法,立體幾何中的定義、公理、反證法等等,更是貫穿著邏輯學(xué)知識的理解和運用。我們一定要認(rèn)真理解并吸收這些知識,掌握正確的邏輯思維方法,才能為以后的進一步學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

既然邏輯學(xué)知識在中學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)著如此重要的位置,要學(xué)好數(shù)學(xué),我們必須努力學(xué)習(xí)和掌握邏輯學(xué)相關(guān)知識,進而全面地理解概念,正確地進行邏輯推理和判斷。唯有如此,我們才能贏得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的勝利。

下面是我對邏輯學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)部分知識中的滲透和運用的一些膚淺理解。

一、邏輯學(xué)知識在集合中的應(yīng)用

簡易邏輯與集合密不可分。邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”詮釋著三種不同的邏輯,它們與集合的“并”、“交”、“補”有著密切的聯(lián)系。

(一)“或”可以理解為集合中的并集,是將不同集合的所有元素合成一個集合。即AUB={x|x∈A或x∈B｝,其中的“或”是指“x∈A”或“x∈B”中至少有一個成立。

(二)“且”可以聯(lián)想到集合中交集的概念,它類似于我們慣常理解的“既是、又是”,即AnB={X|X∈A且X∈B｝其中的“且”是指“x∈A”和“x∈B”這兩個條件同時都滿足。

(三)“非”可以聯(lián)想到集合中的補集。若命題P對應(yīng)的集合為A,則命題非P就應(yīng)該對應(yīng)著集合A在全集U中的補集CuA。

二、 邏輯學(xué)知識在概率中的應(yīng)用

假使我們把以上三種邏輯運用到概率中,便更容易理解了。如果事件A與B不可能同時發(fā)生,則事件A與B為互斥事件,就像“或”對應(yīng)著并集,發(fā)生的概率是A發(fā)生的概率加B發(fā)生的概率。而對于相互獨立事件,事件A與B發(fā)生的概率就是A的概率與B的概率之乘積。如果A和B是對立事件,就滿足著排斥邏輯。所以說數(shù)學(xué)中概率的運用也同樣離不開邏輯。

三 、邏輯學(xué)知識在“反證法”中的應(yīng)用

從邏輯學(xué)的角度理解反證法,也就是通過推理論證矛盾命題非P的虛假性,從而確定命題P的真實性的論證。需要注意的是,假定P與非P的結(jié)論所確定的集合分別是A、B,且滿足AUB=I(全集),AnB=ф(空集),那么“非P”結(jié)論必須包含P的結(jié)論的所有對立面。否則我們使用反證法證題時就可能犯錯誤。如題:用反證法證明:如果a>b>0,則√a>√b。我們證明時假設(shè)√a不大于√b,則有兩種情況√a

四、邏輯學(xué)知識在充分、必要、充要條件中的運用

我們知道,一般情況下,如果由p=>q,那么p是q的充分條件,q是p的必要條件。如果由p=>q,又由q=>p,那么p是q的充分必要條件,即充要條件。

例:條件p:|x|=x,q:x*x≥-x,判斷p是q的()。

A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件

解:由|x|=x得x≥0,由x*x≥-x得x≤-1或x≥0,所以若p成立則q成立,而q成立則p不一定成立,故p是q的充分不必要條件,故選A。

五、邏輯學(xué)知識在理解判斷四種命題及其相互關(guān)系的應(yīng)用

在本節(jié)的學(xué)習(xí)中,我們可以從邏輯學(xué)和集合兩個角度去理解概念,正確掌握判斷四種命題的方法,如定義法,集合法,轉(zhuǎn)化法等。學(xué)會運用集合的觀點來解決簡易邏輯中的一些問題。

第5篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

摘 要：不等式問題是數(shù)學(xué)常見問題，而不等式的證明是中學(xué)生在學(xué)習(xí)中的一個難點，本文論述了不等式證明常用方法和技巧，對于幫助中學(xué)生克服不等式證明這一難點有重要價值；同時對于提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平、提高分析問題和解決問題的能力大有幫助.

關(guān)鍵詞 ：不等式；方法；技巧

中圖分類號：O122文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1673-260X（2015）08-0006-03

不等關(guān)系是客觀世界中量與量之間一種重要的關(guān)系，而不等式則是反映這種關(guān)系的基本形式.在數(shù)學(xué)中，不等式是我們在學(xué)習(xí)中的一個重點和難點，其中不等式中的重點主要是證明不等式，解不等式以及不等式的應(yīng)用三類問題.不等式的概念和性質(zhì)是進行不等式的變換、證明和解不等式的根據(jù).不等式的變換包括推出變換和等價變換兩類.其實質(zhì)是條件為結(jié)論的充分條件或必要條件這兩種邏輯關(guān)系.

其實解不等式的技巧就是等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，其過程為一系列的轉(zhuǎn)化過程，因此要加強思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，并注意分類討論思想的滲透.

證明不等式的方法有比較法、綜合法和分析法、反證法、換元法、分類討論法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、累次求極值法、函數(shù)法等.

1 比較法

其中比較法又可以分為比差和比商法，比差法即設(shè)有數(shù)a和b，若a-b>0，則a>b；若a-b<0，則a<b；若a-b=0，則a=b.比商法即設(shè)有數(shù)a和b且b≠0，若a/b>1，則a>b；若a/b><1，則a<b；若a/b>=1，則a=b.

得證.

2 綜合法與分析法

綜合法與分析法也是很常用的兩種方法，由于兩者只是在思維過程的順序有所不同，因此在這里我們放在一起來分析和討論.綜合法即是利用題設(shè)和基本不等式作為基礎(chǔ)，再運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所需要證明的不等式的方法；而分析法是從欲證不等式的結(jié)論出發(fā)，通過分析使這個不等式成立的條件，只要這些條件在題目中具備，就可以斷定原不等式成立.

即得證.

3 反證法

反證法即是先提出和定理中的結(jié)論相反的假定，然后從這個假定中得出和已知條件相矛盾的結(jié)果來，這樣就否定了原來的假定而肯定了定理.也叫歸謬法.事實上，反證法就是去證明一個命題的逆否命題是正確的，這與直接證明是等價的，但是可能其逆否命題比較容易證明.上述的過程得出了矛盾，事實上就是得出了“假設(shè)與題設(shè)不相融”這個結(jié)論，所以我們不能接受這個假設(shè)，所以這個假設(shè)的反面就是正確的，從而命題得證.有時候反證法能夠使我們得到意想不到的效果.

與已知矛盾

所以假設(shè)不成立

原結(jié)論成立.

4 放縮法

放縮法也是證明不等式常用的并且行之有效的一種證明方法，其關(guān)鍵在于尋找中間變量C，通過C對A或B的放大或縮小使A<C<B成立，C在量A和B之間架起一座橋梁，通過C的過渡使A與B間接的建立起不等關(guān)系.

例　已知n為正整數(shù)，

證畢.

5 構(gòu)造法

構(gòu)造法就是數(shù)學(xué)中通過數(shù)與數(shù)、數(shù)與形的關(guān)系來轉(zhuǎn)化的方法，其中構(gòu)造幾何圖形證明不等式是一種比較直觀和簡便的方法，此方法是利用構(gòu)造圖形的幾何性質(zhì)，通過圖形比較明顯的性質(zhì)來直接的證明不等式的方法.

6 累次求極值法

累次求極值法是求多元函數(shù)最值的一種方法，其是先將一些變量固定，對于較少變量求出最值，然后使另一些變量“活化”，當(dāng)它們變化時，求第一步求出的那些最值的最值，這樣一步一步地求下去，得到題中所求的最值.

7 函數(shù)法

函數(shù)法即是先構(gòu)造自己所需要的函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性或值域或者函數(shù)的一些其它性質(zhì)來證明不等式的一種方法，也是一種轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

在不等式的學(xué)習(xí)中培養(yǎng)探究思維能力，作為一種觀念，只要我們長期堅持，積極探討，一定能大大提高我們的學(xué)習(xí)效率和探究思維能力，從而對所學(xué)知識窺之深，察之遠.

參考文獻：

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第6篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

（赤峰學(xué)院 學(xué)報編輯部，內(nèi)蒙古　赤峰 024000）

摘 要：逆向思維是一種與正向思維相反的思維方式，是一種"由果溯因"的思維模式.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一種重要方法.逆向思維方式中蘊涵了許多獨特，巧妙的數(shù)學(xué)思想.運用逆向思維方法，可以使一些難于解決的問題應(yīng)刃而解，如本文中涉及的六類問題，其解法都比較巧妙，這對于提高學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識，分析問題、解決問題的能力有很大的幫助.

關(guān)鍵詞 ：逆向思維；反證法；分析法；命題轉(zhuǎn)換法

中圖分類號：O122；G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-260X（2015）08-0003-03

思維是人對客觀事物的本質(zhì)特點和內(nèi)在規(guī)律的反映，是人的理性認(rèn)識的過程.根據(jù)思維過程的指向性，可以將思維分為正向思維和逆向思維.正向思維是指在思考數(shù)學(xué)問題時，按通常思維的方向進行.而逆向思維是從已知問題的相反問題著手解決原問題，其采用了與正常的思維方式完全相反的一種思維方式，“反其道思之”.所以在數(shù)學(xué)解題過程中，我們也可以采用與常規(guī)思想不同的逆向思維思考問題，順推解決不了問題就考慮逆推，直接解決不了就考慮間接，正面不好討論的問題就討論其相反面.

逆向思維也是創(chuàng)造思維的一個組成部分.在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，逆向思維的培養(yǎng)對于提高學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識，分析問題，解決問題的能力有很大的幫助.其在數(shù)學(xué)解題或研究中時常會遇到，比如利用逆用定義，逆用公式和法則等方式解決問題，證明題中常用的反證法運用的也是這樣一種思維方式.本文試圖從以下幾個方面來闡述逆向思維在解題中的重要性.

1 逆用定義

在數(shù)學(xué)解題過程中定義的作用不可替代，它是解題的航標(biāo).而定義的逆用在解題過程中也時常遇見.只要我們重視定義的逆用，進行逆向思維，有些題目的解決會很容易.

例1　解不等式|x-2|<1.

分析　掌握了絕對值的概念后，我們知道，正數(shù)的絕對值是它本身,負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0.如|3|=3,|-3|=3.|0|=0.于是我們應(yīng)想到絕對值等于3的數(shù)有幾個？而如果兩個數(shù)的絕對值相等，這兩個數(shù)可能是什么關(guān)系？如果是一個式子的絕對值，在去絕對值符號時可能出現(xiàn)什么樣的情況？

解　由題

當(dāng)x-2>0即x>2時

有|x-2|=x-2

此時原不等式等價于x-2<1

解得x<3

而當(dāng)x-2<0即x<2時

有|x-2|=2-x

此時原不等式等價于2-x<1

解得x>1

綜上可以得出原不等式的解為1<x<2.

所以

例3　設(shè)f(x)=9x-3x+1，求f-1(0)

分析　我們通常的思路是先求出f(x)=9x-3x+1的反函數(shù)，然后再把0代入求出f-1(0)的值，顯然這樣做過程有些煩瑣.但是如果逆用反函數(shù)定義，令f(x)=0那么解出x的值就是為f-1(0)的值.

解 由題　令f(x)=0，即9x-3x+1=0

解得x=1

所以根據(jù)反函數(shù)定義f-1(0)=1.

2 公式的逆應(yīng)用

公式的運用在數(shù)學(xué)解題過程中是非常重要的一部分，恰當(dāng)?shù)倪\用公式也是一種數(shù)學(xué)能力.我們運用公式時大都習(xí)慣遵循著由左向右順序.可是有些問題不能運用公式正面解決，那么逆用公式也是重要的數(shù)學(xué)方法.

例1　計算20002-19992+19982-19972+……+22 -1.

分析　觀察原式的式子特點可考慮逆用平方差公式，這樣會使運算過程簡化.

3 利用逆向思維求函數(shù)值域

在函數(shù)這一部分學(xué)習(xí)中，求函數(shù)的定義域和值域是很重要的內(nèi)容，但有時候通過一些函數(shù)的性質(zhì)定義域很容易求出，可是值域卻不容易得出.于是我們可以利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域的關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域而求得反函數(shù)的值域.

4 反證法

一個數(shù)學(xué)命題的證明按其所證的對象是原命題還是其等價命題分為直接證法和間接證法.證明原命題稱為直接證法，證明原命題的等價命題稱為間接證法.反證法就是一種間接證法，是許多問題在用直接證法很難解決時常常被采用的證法.這是一個很好的思想，很好的體現(xiàn)了哲學(xué)中的“矛盾”思想，也就是任何一個矛盾都存在著對立統(tǒng)一的兩方面，一方的轉(zhuǎn)化或消失，矛盾便不存在.“反證法”在我們探索數(shù)學(xué)的性質(zhì)過程中，應(yīng)當(dāng)引起我們高度重視，正面想不出，從事情的反面考慮，也許就很容易得到想要的結(jié)果.

反證法證明問題的基本程序：

1 假定所要證的結(jié)論不成立,而設(shè)命題的反面成立.

2 用反設(shè)做條件,通過已知的定理,定義進行正確的推理,導(dǎo)出矛盾

3 因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的錯誤.既然結(jié)論的反面不成立，那么結(jié)論成立.

例1　圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.

分析 假設(shè)兩條不是直徑的相交弦能互相平分，那么交點到兩條弦在圓上的點的距離相等，所以交點為圓心.又因為這兩條相交弦不是直徑，所以圓還有一個圓心，這樣同一個圓有兩個圓心，而這不可能，所以假設(shè)錯誤，即圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.

例2　已知a>0，b>0，a+b>2,求證：1+b/a，1+a/b中至少有一個小于2.

分析 本題顯然用一般的方法去思考會非常復(fù)雜，會出現(xiàn)三種需要考慮的結(jié)果.因此，我們不妨從反面著手，用反證法來證明.

解　假設(shè)1+b/a，1+a/b都不小于2

則

1+b/a≥2，1+a/b≥2.

因為

a>0，b>0

所以

1+b≥2a，1+a≥2b

因此

1+b+1+a≥2(a+b)

即

a+b≤2.

這與a+b>2矛盾，故假設(shè)不成立.

即1+b/a，1+a/b中至少有一個小于2.

5 分析法

在解決數(shù)學(xué)問題過程中，從題設(shè)出發(fā)，根據(jù)已有的定理和公式推出要證的結(jié)論，稱為綜合法.但是在解題過程中，有一些問題的解決用綜合法很難得到解決，有些問題如果從條件出發(fā)往往會感到無從下手.但是若從命題的結(jié)論出發(fā)進行推理，最后達到已知條件，問題就很容易得到解決.這就是分析法.

分析法在不等式證明中的作用尤為突出.我們可以從求證的不等式出發(fā)，逐步尋找使不等式成立的充分條件，直到所需要的條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立.

逆向思維在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，這就要求我們在以后的學(xué)習(xí)中.遇到難題時不要退縮，要大膽創(chuàng)新，加強逆向思維的培養(yǎng).在數(shù)學(xué)中，培養(yǎng)可逆思維能力的途徑還有很多，還需要我們不斷的探索，從而真正從思想高度上理解自己所學(xué)的知識.

參考文獻：

〔1〕侯敏義.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.1991.

〔2〕張雄，李得虎.數(shù)學(xué)方法論與解題研究[M].北京：高等教育出版社，2004.

〔3〕陳明名，劉問斌.中學(xué)數(shù)學(xué)解題技巧[M].北京：北京理工大學(xué)出版社.

〔4〕王亞光.運用逆向思維培養(yǎng)創(chuàng)新能力[J].宿州教育學(xué)院學(xué)報，2007（05）:131.

〔5〕張香偉，遵曉東.論數(shù)學(xué)教學(xué)中可逆行思維能力的培養(yǎng)[J].河南商業(yè)高等專科學(xué)校學(xué)報，1999（03）:68-69.

第7篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；“層次”教學(xué)；創(chuàng)新教育

新課程把數(shù)學(xué)思想、方法作為基礎(chǔ)知識的重要組成部分，在數(shù)學(xué)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出來，這不僅是課標(biāo)體現(xiàn)義務(wù)教育性質(zhì)的重要表現(xiàn)，也是對學(xué)生實施創(chuàng)新教育、培訓(xùn)創(chuàng)新思維的重要保證。

一、了解《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》要求，把握教學(xué)方法

1、新課標(biāo)要求，滲透“層次”教學(xué)。

《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》對初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應(yīng)用”。在教學(xué)中，要求學(xué)生“了解”數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數(shù)的思想等。這里需要說明的是，有些數(shù)學(xué)思想在《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學(xué)習(xí)新知識和運用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉(zhuǎn)化的思想方法。

教師在整個教學(xué)過程中，不僅應(yīng)該使學(xué)生能夠領(lǐng)悟到這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，而且要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題。在《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》中要求“了解”的方法有：分類法、類比法、反證法等。要求“理解”的或“會應(yīng)用”的方法有：待定系數(shù)法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等。在教學(xué)中，要認(rèn)真把握好“了解”、“理解”、“會應(yīng)用”這三個層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應(yīng)用”的層次，不然的話，學(xué)生初次接觸就會感到數(shù)學(xué)思想、方法抽象難懂，高深莫測，從而導(dǎo)致他們失去信心。如數(shù)學(xué)教材中明確提出“反證法”的教學(xué)思想，且揭示了運用“反證法”的一般步驟，但《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》只是把“反證法”定位在通過實例，“體會”反證法的含義的層次上，我們在教學(xué)中，應(yīng)牢牢地把握住這個“度”，千萬不能隨意拔高、加深。否則，教學(xué)效果將是得不償失。

2、從“方法”了解“思想”，用“思想”指導(dǎo)“方法”。

關(guān)于初中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想和方法內(nèi)涵與外延，目前尚無公認(rèn)的定義。其實，在初中數(shù)學(xué)中，許多數(shù)學(xué)思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又相互蘊含。只是方法較具體，是實施有關(guān)思想的技術(shù)手段，而思想是屬于數(shù)學(xué)觀念一類的東西，比較抽象。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用，以達到對數(shù)學(xué)思想的了解，使數(shù)學(xué)思想與方法得到交融的有效方法。同時，數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，又深化了數(shù)學(xué)方法的運用。這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯(lián)璧合，將創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神寓于教學(xué)之中，教學(xué)才能卓有成效。

二、遵循認(rèn)識規(guī)律，把握教學(xué)原則，實施創(chuàng)新教育

1、滲透“方法”，了解“思想”。

由于初中學(xué)生數(shù)學(xué)知識比較貧乏，抽象思維能力也較為薄弱，把數(shù)學(xué)思想、方法作為一門獨立的課程還缺乏應(yīng)有的基礎(chǔ)。因而只能將數(shù)學(xué)知識作為載體，把數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)滲透到數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中。教師要把握好滲透的契機，重視數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學(xué)生在這些過程中展開思維，從而發(fā)展他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，形成獲取、發(fā)展新知識，運用新知識解決問題。在滲透數(shù)學(xué)思想、方法的過程中，教師要精心設(shè)計、有機結(jié)合，要有意識地潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊含于數(shù)學(xué)之中的種種數(shù)學(xué)思想方法，切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實際等錯誤做法。

2、訓(xùn)練“方法”，理解“思想”。

數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容是相當(dāng)豐富的，方法也有難有易。因此，必須分層次地進行滲透和教學(xué)。這就需要教師全面地熟悉初中三個年級的教材，鉆研教材，努力挖掘教材中進行數(shù)學(xué)思想、方法滲透的各種因素，對這些知識從思想方法的角度作認(rèn)真分析，按照初中三個年級不同的年齡特征、知識掌握的程度、認(rèn)知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)。如在教學(xué)同底數(shù)冪的乘法時，引導(dǎo)學(xué)生先研究底數(shù)、指數(shù)為具體數(shù)的同底數(shù)冪的運算方法和運算結(jié)果，從而歸納出一般方法，在得出用a表示底數(shù)，用m、n表示指數(shù)的一般法則以后，再要求學(xué)生應(yīng)用一般法則來指導(dǎo)具體的運算。在整個教學(xué)中，教師分層次地滲透了歸納和演繹的數(shù)學(xué)方法，對學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣起重要作用。

3、掌握“方法”，運用“思想”。

第8篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

【關(guān)鍵詞】初中；數(shù)學(xué)方法；數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)方法任何學(xué)科都有它的教學(xué)思想和與其相配套的教學(xué)方法，數(shù)學(xué)學(xué)科也是這樣?？梢赃@樣地講，數(shù)學(xué)思想和方法是學(xué)科的精髓，也是知識轉(zhuǎn)化為能力的平臺。初中階段，為了更好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，必須指導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基本方法，這些要領(lǐng)的心領(lǐng)神會，必須通過反復(fù)解題，并在解題中學(xué)會思考，形成舉一反三及派生的能力。初中數(shù)學(xué)教材中大量的優(yōu)秀例題和習(xí)題，過程中很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題方法與解題思維。作為一名初中一線數(shù)學(xué)老師，我們就應(yīng)該順著這條線索把知識中孕含的思想與解題過程中的要領(lǐng)講清楚。讓學(xué)生明白，并掌握一種學(xué)習(xí)技巧。下面就自己多年教學(xué)經(jīng)驗，談?wù)劷虒W(xué)過程中數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法滲透的幾點做法。

一、依據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，把握教學(xué)方法

數(shù)學(xué)思想，淺意地說是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。數(shù)學(xué)方法，是解決數(shù)學(xué)問題的根本程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映。

1.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求滲透“層次”教學(xué)。對初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想、方法劃分為三個層次，即“了解”“理解”和“會應(yīng)用”。數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類的思想、類比的思想等。方法有：分類法、圖象法、反證法等。數(shù)學(xué)是一門邏輯思維非常強的學(xué)科，這就更加嚴(yán)謹(jǐn)要求老師在講課時，不能將不同層次的方法混用在同一知識教學(xué)過程當(dāng)中，方法如果用得不恰當(dāng)，學(xué)生就會一頭霧水，聽不明白，并逐漸喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，損失很大。如初中數(shù)學(xué)三年級上冊中明確提出“反證法”的教學(xué)思想，且揭示了運用“反證法”的一般步驟，但《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》“反證法”被定位在通過實例，“體會”反證法的含義的層次上，這就要求我們在教學(xué)中，應(yīng)牢牢地把握住這個“度”，不能隨意拔高、加深。否則，教學(xué)效果將是得不償失。

2.“方法”中提煉“思想”，“思想”中導(dǎo)引“方法”。初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法大多是一致的。只是方法較具體，思想比較抽象。比如，化歸思想，可以說是貫穿于整個初中階段的教學(xué)，就這一數(shù)學(xué)思想，教材中引入了許多數(shù)學(xué)方法，如換元法，圖象法、待定系數(shù)法、配方法等。在教學(xué)中，通過對具體數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步理解其數(shù)學(xué)思想；同時思想又深化了數(shù)學(xué)方法的運用。這樣相輔相成的教學(xué)妙用，是教學(xué)過程中發(fā)揮的極致，也會取得很好的教學(xué)效果。

二、把握教學(xué)原則，實施創(chuàng)新教育

創(chuàng)新是一種能力，更是一種教學(xué)智慧。初中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力薄弱，知識貧乏，這就要求老師要把握好知識之間相互聯(lián)系，理清知識之間難易層次，做到這一點，學(xué)生必須要熟記數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則，并知道這些定義法則提出的理論依據(jù)。使學(xué)生在這些過程中展開思維，提出問題，解決問題，獲取新知。比如，初中數(shù)學(xué)《有理數(shù)》這一章中，“有理數(shù)大小的比較”，貫穿在整章之中。在數(shù)軸教學(xué)之后，就引出了“在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，“正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，得出的結(jié)論就是正數(shù)大于一切負數(shù)”。教師在教學(xué)中應(yīng)把握住這個逐級滲透的原則，就會使本章節(jié)知識融會貫通；又能很好掌握數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生易于接受，形成舉一反三的能力。數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容是相當(dāng)豐富，方法也有難有易。老師在教學(xué)中做到創(chuàng)新就必須熟知初中所在數(shù)學(xué)知識要點，絕對凌駕教材之上。才能運用恰到好處，才能有創(chuàng)新的能力。如在教學(xué)同底數(shù)冪的乘法時，引導(dǎo)學(xué)生先研究底數(shù)、指數(shù)為具體數(shù)的同底數(shù)冪的運算方法和運算結(jié)果，從而歸納出一般方法，在得出用a表示底數(shù)，用m、n表示指數(shù)的一般法則以后，再要求學(xué)生應(yīng)用一般法則來指導(dǎo)具體的運算。在整個教學(xué)中，教師分層次地滲透了歸納和演繹的數(shù)學(xué)方法，對學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣起重要作用。

三、數(shù)學(xué)思想方法的具體應(yīng)用

1.轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中常見的一種數(shù)學(xué)思想，且應(yīng)用十分廣泛，數(shù)學(xué)問題其實就是一系列轉(zhuǎn)化的過程，如化繁為簡、化難為易、化未知為已知等，這種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化方式與過程激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，最常用的轉(zhuǎn)化形式就是，化高次為低次、化多元為一元。例如，“有理數(shù)的減法”和“有理數(shù)的除法”這兩節(jié)教學(xué)內(nèi)容中，使學(xué)生在自主探究和合作交流的過程中，經(jīng)歷把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為加法、把有理數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為乘法的過程，“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”，“除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”，這個地方雖然很簡單，但卻充分體現(xiàn)了把“沒有學(xué)過的知識”轉(zhuǎn)化為“已經(jīng)學(xué)過的知識”來加以解決，學(xué)生一旦掌握了這種解決問題的策略，今后無論遇到多么難、多么復(fù)雜的問題，都會自然而然地想到把“不會的”轉(zhuǎn)化為“會的”“已經(jīng)掌握的”知識來加以解決，這符合學(xué)生原有認(rèn)知規(guī)律，作為教師，我們不能因為簡單而忽視它的教學(xué)過程，實踐告訴我們，往往是越簡單、越淺顯的例子，越能引起學(xué)生的認(rèn)同，所以我們不能錯過這一絕佳的提高學(xué)生的思維品質(zhì)的機會。

第9篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

【關(guān)鍵詞】不等式；證明方法；比較法；綜合法；分析法

一、引言

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分及數(shù)學(xué)中的一個重要工具。不等式是指在一個式子中的數(shù)的關(guān)系，不全是等號，含不等符號的式子。不等式分為嚴(yán)格不等式（用純粹的大于號、小于號“>”“

二、證明不等式的基本方法

（一）比較法

比較法是證明不等式的方法之一，用比較法證明不等式分類比差法和比商法兩類，它們優(yōu)點是明了容易想到，但是用起來不是那么容易。它們的解題依據(jù)及步驟如下：

（1）比差法。主要依據(jù)是實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序關(guān)系。應(yīng)用比差法時我們規(guī)定這里的a，b可推廣為一般的代數(shù)式，這是比差法的理論依據(jù)?；窘忸}步驟是：做差--變形--判斷符號。

（2）作商比較法。當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積形式冪指數(shù)式可采用作商比較法。當(dāng)欲證只需證，欲證只需證。

基本解題步驟是：作商--變形--判斷。（與1的大小）

例1.求證：

證：

時等號成立。

所以成立。

例2.已知，求證。

證： 又

（1）當(dāng)時，，所以

（2）當(dāng)時所以

（3）當(dāng)時不等式取等號。所以（1），（2），（3）知，不等式成立。

（二）綜合法

綜合法就是從已知式已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推出，欲證的不等式，通過一系列已確定的命題（包含不等式的性質(zhì)，已掌握的重要不等式）逐步推演，從而得到所要求證的不等式成立，這種方法叫做綜合法。它涉及多方面的知識，算是比較難的方法。以下介紹幾個重要不等式：

為實數(shù)）同號）

（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）

例3.已知且，求證：

證： 所以兩邊同時乘得：

即：

原不等式成立。

（三）分析法

從求證的不等式出發(fā)，分析不等式成立的條件把證明這個不等式轉(zhuǎn)化為判定使這個不等式成立的條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都以具備那么就可以判定這個不等式成立，這種證明方法叫做分析法。

例4.求證：

證即：因為因為為了證明原不等式成立，只順證明：

即：

即：

即：

所以原不等式成立。

三、證明不等式的其他方法

（一）反證法

反證法是從假設(shè)結(jié)論不成立入手，推出與已知條件，假設(shè)公里，定理式顯然成立的實相矛盾的結(jié)果，從而判定假設(shè)錯誤，原結(jié)論是成立的，這種方法叫做反證法。反證法屬于間接證法，其主要步驟是：

1.作出與命題結(jié)論相反的假設(shè)。

2.在假設(shè)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過合理的推理導(dǎo)出矛盾的結(jié)果。

3.肯定命題的正確性。反證法的原理是《否定》之否定定于肯定。

例5.已知，求證：

證：假設(shè)成立則

由此得這是不可能的。

（二）放縮法

放縮法是證明不等式的一種特殊的方法。從不等式的一邊入手，逐漸放大或縮小不等式，直到不等式的另一邊，這種方法叫做.放縮法。放縮是使用的主要方法，有：

1.舍去或加上一些項：

如：，，

2.將分母或分子放大（或縮?。?。

例6.求證：

證：有

原不等式成立。

（三）數(shù)學(xué)歸納法

證明有關(guān)自然數(shù)的不等式的證明，可以采用數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的證明原理，是一個關(guān)于自然數(shù)的命題順用兩個步聚完成。

1.驗證取第一個數(shù)值時，不等式成立。

2.假設(shè)取某一自然數(shù)時，不等式成立。（歸納假設(shè)），由此推演出取時，此不等式成立。

例7.求證：

證：（1）當(dāng)時，左邊=1，右邊=2，不等式顯然成立。

（2）假設(shè)時，則時：

左邊==

時不等式也成立。由（1），（2）對于任意的，原不等式都成立。

（四）換元法

換元法是指對結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的命題，通過恰當(dāng)入變量代換原命題中的部分式子，簡化原有結(jié)構(gòu)，使其教化未便于研究的形式。

例8.若，求證：

證：已知條件，令，

左端：

右端：

即可知

原不等式成立。

例9.已知，求證：

證：因為設(shè)，其中：

因為

而，

（五）構(gòu)造法

通常有構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造復(fù)數(shù)法，構(gòu)造方程法。

1.構(gòu)造函數(shù)是將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等關(guān)系，達到證明的目的。

例10.已知且，求證：

證：構(gòu)造函數(shù)：

函數(shù)在上為增函數(shù)

原不等式成立。

（1）構(gòu)造復(fù)數(shù)法

例11.已知，求證：

證：構(gòu)造復(fù)數(shù)：

（2）構(gòu)造方程法

例12.若且，證：

證：令則：

構(gòu)造方程為方程的兩個根。

即：

但即：

由于

原不等式成立。

（六）判別式法

判別式法是根據(jù)已知的或構(gòu)造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根，解集函數(shù)的性質(zhì)等特征確定判別式所應(yīng)滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方程。

例13.設(shè)，求證：

證：

因為的系數(shù)為。

原不等式成立。

四、結(jié)束語

不等式雖然在書本上給的內(nèi)容不多，但它在現(xiàn)實中不可缺少的。不等式的證明方法很多，并且具有系統(tǒng)性。當(dāng)我們遇到不等式有關(guān)問題時，選擇哪一個方法證明是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。不等式的證明涉及到代數(shù)，幾何，三角各方面知識綜合性較強，題型各樣，因此就練地不等式的基本證明方法是非常必要的不等式的證明方法靈活多變，枝巧性很強，一個題目解決的方法沒有固定模式。通過對不等式證明方法的總結(jié)，可以培養(yǎng)良好的分析問題和解決問題的思維能力。

參考文獻：