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新的高考形勢(shì)下,高三數(shù)學(xué)怎么去教,學(xué)生怎么去學(xué)?無論是教師還是學(xué)生都感到壓力很大,針對(duì)這一問題備課組在王修漢校長(zhǎng)、謝鎮(zhèn)祥主任的領(lǐng)導(dǎo)下,在張群懷主任的具體指導(dǎo)下,制定了嚴(yán)密的教學(xué)計(jì)劃,提出了優(yōu)化課堂教學(xué),強(qiáng)化集體備課,培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)的具體要求。即優(yōu)化課堂教學(xué)目標(biāo),規(guī)范教學(xué)程序,提高課堂效率,全面發(fā)展、培養(yǎng)學(xué)生的能力,為其自身的進(jìn)一步發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)。
在集體備課中,注重充分發(fā)揮各位教師的長(zhǎng)處,集體備課前,每位教師都準(zhǔn)備一周的課,集體備課時(shí),每位教師都進(jìn)行說課,然后對(duì)每位教師的教學(xué)目標(biāo)的制定,重點(diǎn)、難點(diǎn)的突破方法及課后作業(yè)的布置等逐一評(píng)價(jià)。集體備課后,各位教師根據(jù)自己班級(jí)學(xué)生的具體情況進(jìn)行自我調(diào)整和重新精心備課,這樣,總體上,集體備課把握住了正確的方向和統(tǒng)一了教學(xué)進(jìn)度,對(duì)于各位教師來講,又能發(fā)揮自己的特長(zhǎng),因材施教。
二 立足課本 夯實(shí)基礎(chǔ)
實(shí)行新教材后,高考的要求和高考的內(nèi)容都發(fā)生了很大的變化,這就要求我們必須轉(zhuǎn)變觀念,立足課本,夯實(shí)基礎(chǔ)。復(fù)習(xí)時(shí)要求全面周到,注重教材的科學(xué)體系,打好“雙基”,準(zhǔn)確掌握考試內(nèi)容,做到復(fù)習(xí)不超綱,不做無用功,使復(fù)習(xí)更有針對(duì)性,細(xì)心推敲對(duì)高考內(nèi)容四個(gè)不同層次的要求,準(zhǔn)確掌握那些內(nèi)容是要求了解的,那些內(nèi)容是要求理解的,那些內(nèi)容是要求掌握的,那些內(nèi)容是要求靈活運(yùn)用和綜合運(yùn)用的;細(xì)心推敲要考查的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法;在復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)要注重能力的培養(yǎng),要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,將學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性充分調(diào)動(dòng)起來,教學(xué)過程中,不僅要展現(xiàn)教師的分析思維,還要充分展現(xiàn)學(xué)生的思考思維,把教學(xué)活動(dòng)體現(xiàn)為思維活動(dòng);同時(shí)還適當(dāng)增加難度,教學(xué)起點(diǎn)總體要高,注重提優(yōu)補(bǔ)差,新高考將更加注重對(duì)學(xué)生能力的考查,適當(dāng)增加教學(xué)的難度,為更多優(yōu)秀的學(xué)生脫穎而出提供了更多的機(jī)會(huì)和空間,有利于優(yōu)秀的學(xué)生最大限度發(fā)揮自己的潛能,取得更好的成績(jī);對(duì)于差生充分利用輔導(dǎo)課的時(shí)間幫助他們分析學(xué)習(xí)上存在的問題,解決他們學(xué)習(xí)上的困難,培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,激勵(lì)他們勇于迎接挑戰(zhàn),不斷挖掘潛力,最大限度提高他們的數(shù)學(xué)成績(jī)。
三 因材施教 全面提高
今年高考采用新的模式,學(xué)生選修的科類不同,因此學(xué)生的整體情況不一樣,同一班級(jí)的學(xué)生,層次差別也較大,給教學(xué)帶來很大的難度,這就要求每位教師要從整體上把握教學(xué)目標(biāo),又要根據(jù)各班實(shí)際情況制定出具體要求,對(duì)不同層次的學(xué)生,應(yīng)區(qū)別對(duì)待,這樣,對(duì)課前預(yù)習(xí)、課堂訓(xùn)練、課后作業(yè)的布置和課后的輔導(dǎo)的內(nèi)容也就因人而異,對(duì)不同班級(jí)、不同層次的學(xué)生提出不同的要求。在課堂提問上也要分層次,基礎(chǔ)題一般由學(xué)生來做,以增強(qiáng)他們的信心,提高學(xué)習(xí)的興趣,對(duì)能力較強(qiáng)的學(xué)生要把知識(shí)點(diǎn)擴(kuò)展開來,充分挖掘他們的潛力,提高他們邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。課后作業(yè)的布置,既有全體學(xué)生的必做題也有針對(duì)較強(qiáng)能力的學(xué)生的思考題,教師在課后對(duì)學(xué)生的輔導(dǎo)的內(nèi)容也因人而異,讓所有的學(xué)生都能有所收獲,使不同層次的學(xué)生的能力都能得到提高。
四 優(yōu)化練習(xí) 提高練習(xí)的有效性
知識(shí)的鞏固,技能的熟練,能力的提高都需要通過適當(dāng)而有效的練習(xí)才能實(shí)現(xiàn);首先,練習(xí)題要精選,題量要適度,注意題目的典型性和層次性,以適應(yīng)不同層次的學(xué)生;對(duì)練習(xí)要全批全改,做好學(xué)生的錯(cuò)題統(tǒng)計(jì),對(duì)于錯(cuò)的較多的題目,找出錯(cuò)的原因。練習(xí)的講評(píng)是高三數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要的環(huán)節(jié),為了最大限度地發(fā)揮課堂教學(xué)的效益,課堂的講評(píng)要科學(xué)化,要注重教學(xué)的效果,不該講的就不講,該點(diǎn)撥的要點(diǎn)撥,該講的內(nèi)容一定要講透;對(duì)于典型問題,要讓學(xué)生板演,充分暴露學(xué)生的思維過程,加強(qiáng)教學(xué)的針對(duì)性。多做限時(shí)練習(xí),有效的提高了學(xué)生的應(yīng)試能力。
五 加強(qiáng)應(yīng)試指導(dǎo) 培養(yǎng)非智力因素
充分利用每一次練習(xí)、測(cè)試的機(jī)會(huì),培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)試技巧,提高學(xué)生的得分能力,如對(duì)選擇題、填空題,要注意尋求合理、簡(jiǎn)潔的解題途經(jīng),要力爭(zhēng)“保準(zhǔn)求快”,對(duì)解答題要規(guī)范做答,努力作到“會(huì)而對(duì),對(duì)而全”,減少無謂失分,指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常總結(jié)臨場(chǎng)時(shí)的審題答題順序、技巧,總結(jié)考前和考場(chǎng)上心理調(diào)節(jié)的做法與經(jīng)驗(yàn),力爭(zhēng)找到適合自己的心理調(diào)節(jié)方式和臨場(chǎng)審題、答題的具體方法,逐步提高自己的應(yīng)試能力;幫助學(xué)生樹立信心、糾正不良的答題習(xí)慣、優(yōu)化答題策略、強(qiáng)化一些注意事項(xiàng)。
一、精心準(zhǔn)備,認(rèn)真?zhèn)湔n
因材施教因人施教,備課時(shí),不但備學(xué)生而且備教材備教法,根據(jù)教材內(nèi)容及學(xué)生的實(shí)際,設(shè)計(jì)授課類型,擬定教學(xué)方法,并對(duì)教學(xué)過程的程序及時(shí)間安排都作了詳細(xì)的記錄,認(rèn)真寫好教案。讓每一課都做到“有備而來”,每堂課都在課前做好充分的準(zhǔn)備,并制作各種利于吸引學(xué)生注意力的有趣教具,課后及時(shí)對(duì)該課作出評(píng)價(jià)與總結(jié),寫好教學(xué)后記,并認(rèn)真按搜集每節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn),歸納成集。
二、增強(qiáng)上課技能,提高教學(xué)質(zhì)量
力求講解清晰化、條理化、準(zhǔn)確化。在課堂上特別注意調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,加強(qiáng)師生交流,充分體現(xiàn)學(xué)生的主作用,讓學(xué)生學(xué)得容易,學(xué)得輕松,學(xué)得愉快;注意精講精練,在課堂上老師講得盡量少,學(xué)生動(dòng)口動(dòng)手動(dòng)腦盡量多;同時(shí)在每一堂課上都充分考慮每一個(gè)層次的學(xué)生,關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和學(xué)習(xí)能力,讓各個(gè)層次的學(xué)生都得到提高。
三、虛心請(qǐng)教其他老師
教學(xué)上有疑必問。在各個(gè)章節(jié)的學(xué)習(xí)上都積極征求其他老師的意見,學(xué)習(xí)他們的方法,同時(shí),多聽老師的課,做到邊聽邊講,學(xué)習(xí)別人的優(yōu)點(diǎn),克服自己的不足,并常常邀請(qǐng)其他老師來聽課,征求他們的意見,改進(jìn)工作。
四、認(rèn)真批改作業(yè)
布置作業(yè)做到精讀精練。有針對(duì)性,有層次性。同時(shí)對(duì)學(xué)生的作業(yè)批改及時(shí)、認(rèn)真,分析并記錄學(xué)生的作業(yè)情況,將他們?cè)谧鳂I(yè)過程出現(xiàn)的問題作出分類總結(jié),進(jìn)行透切的評(píng)講,并針對(duì)有關(guān)情況及時(shí)改進(jìn)教學(xué)方法,做到有的放矢。
五、做好課后輔導(dǎo)工作,注意分層教學(xué)
高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(一)
【一】
(一)基本概念
必然事件
確定事件
1、事件不可能事件
不確定事件(隨機(jī)事件)
2、什么叫概率?
表示一個(gè)事件發(fā)生可能性的大小,記為P(事件名稱)=a;
練習(xí)一:判斷下列事件的類型
(1)今天是星期二,明天是星期三;
(2)擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,得到點(diǎn)數(shù)7;
(3)買彩票中了500萬大獎(jiǎng);
(4)拋兩枚硬幣都是正面朝上;
(5)從一副洗好的牌中(54張)中抽出紅桃A。
(二)預(yù)測(cè)隨機(jī)事件的概率
1、步驟:
(1)找出所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果,作為概率的分母
注:不能僅憑主觀判斷,而應(yīng)利用列舉法、樹狀圖、列表法等方法找。
(2)明確關(guān)注結(jié)果,作為分子
2、用列表法或樹狀圖分析復(fù)雜情況下機(jī)會(huì)均等結(jié)果
【二】
一、隨機(jī)事件
主要掌握好(三四五)
(1)事件的三種運(yùn)算:并(和)、交(積)、差;注意差A(yù)-B可以表示成A與B的逆的積。
(2)四種運(yùn)算律:交換律、結(jié)合律、分配律、德莫根律。
(3)事件的五種關(guān)系:包含、相等、互斥(互不相容)、對(duì)立、相互獨(dú)立。
二、概率定義
(1)統(tǒng)計(jì)定義:頻率穩(wěn)定在一個(gè)數(shù)附近,這個(gè)數(shù)稱為事件的概率;(2)古典定義:要求樣本空間只有有限個(gè)基本事件,每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等,則事件A所含基本事件個(gè)數(shù)與樣本空間所含基本事件個(gè)數(shù)的比稱為事件的古典概率;
(3)幾何概率:樣本空間中的元素有無窮多個(gè),每個(gè)元素出現(xiàn)的可能性相等,則可以將樣本空間看成一個(gè)幾何圖形,事件A看成這個(gè)圖形的子集,它的概率通過子集圖形的大小與樣本空間圖形的大小的比來計(jì)算;
(4)公理化定義:滿足三條公理的任何從樣本空間的子集集合到[0,1]的映射。
三、概率性質(zhì)與公式
(1)加法公式:P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB),特別地,如果A與B互不相容,則P(A+B)=P(A)+P(B);
(2)差:P(A-B)=P(A)-P(AB),特別地,如果B包含于A,則P(A-B)=P(A)-P(B);
(3)乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B),特別地,如果A與B相互獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P(B);
(4)全概率公式:P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果,
貝葉斯公式:P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因;
如果一個(gè)事件B可以在多種情形(原因)A1,A2,....,An下發(fā)生,則用全概率公式求B發(fā)生的概率;如果事件B已經(jīng)發(fā)生,要求它是由Aj引起的概率,則用貝葉斯公式.
(5)二項(xiàng)概率公式:Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n.當(dāng)一個(gè)問題可以看成n重貝努力試驗(yàn)(三個(gè)條件:n次重復(fù),每次只有A與A的逆可能發(fā)生,各次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立)時(shí),要考慮二項(xiàng)概率公式.
【三】
1.輾轉(zhuǎn)相除法是用于求公約數(shù)的一種方法,這種算法由歐幾里得在公元前年左右首先提出,因而又叫歐幾里得算法.
2.所謂輾轉(zhuǎn)相法,就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù),用較大的數(shù)除以較小的數(shù).若余數(shù)不為零,則將較小的數(shù)和余數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù),繼續(xù)上面的除法,直到大數(shù)被小數(shù)除盡,則這時(shí)的除數(shù)就是原來兩個(gè)數(shù)的公約數(shù).
3.更相減損術(shù)是一種求兩數(shù)公約數(shù)的方法.其基本過程是:對(duì)于給定的兩數(shù),用較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把所得的差與較小的數(shù)比較,并以大數(shù)減小數(shù),繼續(xù)這個(gè)操作,直到所得的數(shù)相等為止,則這個(gè)數(shù)就是所求的公約數(shù).
4.秦九韶算法是一種用于計(jì)算一元二次多項(xiàng)式的值的方法.
5.常用的排序方法是直接插入排序和冒泡排序.
6.進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng).“滿進(jìn)一”,就是k進(jìn)制,進(jìn)制的基數(shù)是k.
7.將進(jìn)制的數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的方法是:先將進(jìn)制數(shù)寫成用各位上的數(shù)字與k的冪的乘積之和的形式,再按照十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果.
8.將十進(jìn)制數(shù)化為進(jìn)制數(shù)的方法是:除k取余法.即用k連續(xù)去除該十進(jìn)制數(shù)或所得的商,直到商為零為止,然后把每次所得的余數(shù)倒著排成一個(gè)數(shù)就是相應(yīng)的進(jìn)制數(shù).
高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(二)
第一章 算法初步
算法的概念
算法的特點(diǎn)
(1)有限性:
一個(gè)算法的步驟序列是有限的,必須在有限操作之后停止,不能是無限的.
(2)確定性:
算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果,而不應(yīng)當(dāng) 是模棱兩可.
(3)順序性與正確性:
算法從初始步驟開始,分為若干明確的步驟,每一個(gè)步驟只能有一個(gè) 確定的 后繼步驟,前一步是后一步的前提,只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步,并且每 一 步都準(zhǔn)確無誤,才能完成問題.
(4)不唯一性:
求解某一個(gè)問題的解法不一定是唯一的,對(duì)于一個(gè)問題可以有不同的算法.
(5)普遍性:
很多具體的問題,都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決,如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過 有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.
程序框圖
1、程序框圖基本概念:
(一)程序構(gòu)圖的概念:程序框圖又稱流程圖,是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來 準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。
一個(gè)程序框圖包括以下幾部分:
1.表示相應(yīng)操作的程序框;
2.帶箭頭的流程線;
3.程序框外
4.必要文字說明。
(二)構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用
畫程序框圖的規(guī)則如下:
1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號(hào)。
2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。
3、除判斷框外,大多數(shù)流程圖符號(hào)只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過一個(gè)退 出點(diǎn)的唯一符號(hào)。
4、判斷框分兩大類,一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷,而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果; 另一類是多分支判斷,有幾種不同的結(jié)果。
5、在圖形符號(hào)內(nèi)描述的語言要非常簡(jiǎn)練清楚。
(三)、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。
1、順序結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu),語句與語句之間,框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的,它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的,它是任何一個(gè)算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。
順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而
下地連接起來,按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中,A框和B
框是依次執(zhí)行的,只有在執(zhí)行完A框指定的操作后,才能接著執(zhí)
行B框所指定的操作。
2、條件結(jié)構(gòu):
條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對(duì)條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié) 構(gòu)。條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P(yáng)條件是否成立,只能執(zhí)行A框或B 框之一,不可能同時(shí)執(zhí)行A框和B框,也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可 以有多個(gè)判斷框。
3、循環(huán)結(jié)構(gòu):
在一些算法中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開始,按照一定條件,反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況, 這就是循環(huán)結(jié)構(gòu),反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體,顯然,循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。 循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)。
循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類:
(1)一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)
如下左圖所示,它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時(shí),執(zhí)行A框,A框執(zhí)行完畢后,再判斷條件P是否成立,如果仍然成立,再執(zhí)行A框,如此反復(fù)執(zhí)行A框,直到某一次條件P不成立為止,此時(shí)不再執(zhí)行A框,離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。
(2)另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)
如下右圖所示,它的功能是先執(zhí)行,然后判斷給定的條件P是否成立,如果P仍然不成立,則繼續(xù)執(zhí)行A框,直到某一次給定的條件P成立為止,此時(shí)不再執(zhí)行A框,離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。
當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)
輸入、輸出語句和賦值語句
賦值語句
(1)賦值語句的一般格式
(2)賦值語句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量;
(3)賦值語句中的“=”稱作賦值號(hào),與數(shù)學(xué)中的等號(hào)的意義是不同的。賦值號(hào)的左右兩 邊不能對(duì)換,它將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量;
(4)賦值語句左邊只能是變量名字,而不是表達(dá)式,右邊表達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或 算式;
(5)對(duì)于一個(gè)變量可以多次賦值。
注意:
①賦值號(hào)左邊只能是變量名字,而不能是表達(dá)式。如:2=X是錯(cuò)誤的。
②賦值號(hào)左右不能對(duì)換。如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。
③不能利用賦值語句進(jìn)行代數(shù)式的演算。(如化簡(jiǎn)、因式分解、解方程等)
④賦值號(hào)“=”與數(shù)學(xué)中的等號(hào)意義不同。
注意:
在IF—THEN—ELSE語句中,“條件”表示判斷的條件,“語句1”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容;“語句2”表示不滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容;END IF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí),首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷,如果條件符合,則執(zhí)行THEN后面的語句1;若條件不符合,則執(zhí)行ELSE后面的語句2
第二章 統(tǒng)計(jì)
簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
1.總體和樣本:
1.研究對(duì)象的全體叫做總體.
2.每個(gè)研究對(duì)象叫做個(gè)體.
3.總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量.
4.樣本容量:一般從總體中隨機(jī)抽取一部分:
研究,我們稱它為樣本.其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量.
2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣:
從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等,完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。
特點(diǎn):
每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等),樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立,彼此間 無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在 總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí),才采用這種方法。
3.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法:
(1)抽簽法;
⑵隨機(jī)數(shù)表法;
⑶計(jì)算機(jī)模擬法;
⑷使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。
4.抽簽法:
(1)給調(diào)查對(duì)象群體中的每一個(gè)對(duì)象編號(hào);
(2)準(zhǔn)備抽簽的工具,實(shí)施抽簽
(3)對(duì)樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測(cè)量或調(diào)查
5.隨機(jī)數(shù)表法
系統(tǒng)抽樣
把總體的單位進(jìn)行排序,再計(jì)算出抽樣距離,然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣 本。第一個(gè)樣本采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。
K(抽樣距離)=N(總體規(guī)模)/n(樣本規(guī)模)
分層抽樣
先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志(性別、年齡等)劃分成若干類型或?qū)哟?,然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本,最后,將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。
兩種方法:
(1)按比例分層抽樣:
根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取樣本的方法。
(2)不按比例分層抽樣:
有的層次在總體中的比重太小,其樣本量就會(huì)非常少,此時(shí)采用該方法,主要是便 于對(duì)不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體 時(shí),則需要先對(duì)各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理,調(diào)整樣本中各層的比例,使數(shù)據(jù)恢 復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。
2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征
1、平均值:
2、.樣本標(biāo)準(zhǔn)差:
4.(1)如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差不變
(2)如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以一個(gè)共同的常數(shù)k,標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍
2.3.2兩個(gè)變量的線性相關(guān)
1、概念: (1)回歸直線方程 (2)回歸系數(shù)
2.回歸直線方程的應(yīng)用
(1)描述兩變量之間的依存關(guān)系;利用直線回歸方程即可定量描述兩個(gè)變量間依存的數(shù)量關(guān)系
(2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè);把預(yù)報(bào)因子(即自變量x)代入回歸方程對(duì)預(yù)報(bào)量(即因變量Y)進(jìn)行估計(jì),即可得到個(gè)體Y值的容許區(qū)間。
第三章 概 率
隨機(jī)事件的概率及概率的意義
1、基本概念:
(1)必然事件:在某種條件下,一定會(huì)發(fā)生的事件,叫做必然事件;
(2)不可能事件:在某種條件下,一定不會(huì)發(fā)生的事件,叫做不可能事件;
(3)隨機(jī)事件:在某種條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫做隨機(jī)事件;
(4)基本事件:
試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件,其他事件可以用它們來描繪,這樣 的 時(shí)間叫基本事件;
(5)基本事件空間:
所有基本事件構(gòu)成的集合,叫做基本事件空間,用大寫希臘字母Ω表示;
(5)頻數(shù)、頻率:
在相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗(yàn) 中事件A出現(xiàn)的次數(shù)為事件A出現(xiàn)的頻數(shù);稱事件A出現(xiàn)的比例為事 件A出現(xiàn)的頻率;
(6)概率:
在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中,時(shí)間A發(fā)生的頻率m\n,當(dāng)n很大時(shí),總是在某個(gè)常 熟附近擺動(dòng),隨著n的增加,擺動(dòng)幅度越來越小,這時(shí)就把這個(gè)常熟叫做事件A 的概率,記作P(A),0≤P(A)≤1;
概率的基本性質(zhì)
1.必然事件概率為1,不可能事件概率為0,因此0≤P(A)≤1;
2.當(dāng)事件A與B互斥時(shí),滿足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);
3.若事件A與B為對(duì)立事件,則A∪B為必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于 是有P(A)=1—P(B);
4.互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系,互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不 會(huì)同時(shí)發(fā)生,其具體包括三種不同的情形:(1)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生;(2) 事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生;(3)事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生,而對(duì)立事件是指事 件A與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生,其包括兩種情形;(1)事件A發(fā)生B不發(fā)生;(2) 事件B發(fā)生事件A不發(fā)生,對(duì)立事件互斥事件的特殊情形。
古典概型
(1)古典概型的使用條件:試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。
(2)古典概型的解題步驟;
①求出總的基本事件數(shù);
②求出事件A所包含的基本事件數(shù),然后利用公式P(A)=#FormatImgID_5#
幾何概型
基本概念:
(1)幾何概率模型:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積) 成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型;
(2)幾何概型的概率公式:
P(A)=
(3)幾何概型的特點(diǎn):
1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè);
2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.
高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(三)
一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
1.機(jī)械振動(dòng):機(jī)械振動(dòng)是指物體在平衡位置附近所做的往復(fù)運(yùn)動(dòng).
2.回復(fù)力:回復(fù)力是指振動(dòng)物體所受到的指向平衡位置的力,是由作用效果來命名的.回復(fù)力的作用效果總是將物體拉回平衡位置,從而使物體圍繞平衡位置做周期性的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。回復(fù)力是由振動(dòng)物體所受力的合力(如彈簧振子)沿振動(dòng)方向的分力(如單擺)提供的,這就是回復(fù)力的來源。
3.平衡位置:平衡位置是指物體在振動(dòng)中所受的回復(fù)力為零的位置,此時(shí)振子未必一定處于平衡狀態(tài).比如單擺經(jīng)過平衡位置時(shí),雖然回復(fù)力為零,但合外力并不為零,還有向心力.
4.描述振動(dòng)的物理量:
①位移總是相對(duì)于平衡位置而言的,方向總是由平衡位置指向振子所在的位置—總是背離平衡位置向外;②振幅是物體離開平衡位置的最大距離,它描述的是振動(dòng)的強(qiáng)弱,振幅是標(biāo)量;③頻率是單位時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù);④相位用來描述振子振動(dòng)的步調(diào)。如果振動(dòng)的振動(dòng)情況完全相反,則振動(dòng)步調(diào)相反,為反相位.
5.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng):A、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力和位移的變化規(guī)律;B、單擺的周期。由本身性質(zhì)決定的周期叫固有周期,與擺球的質(zhì)量、振幅(振動(dòng)的總能量)無關(guān)。
6.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式和圖象:x=Asin(ωt+φ0) 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象描述的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí),在不同時(shí)刻的位移,因而振動(dòng)圖象反映了振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(注意:振動(dòng)圖象不是運(yùn)動(dòng)軌跡)。由振動(dòng)圖象還可以確定振子某時(shí)刻的振動(dòng)方向.
7.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量:不計(jì)摩擦和空氣阻力的振動(dòng)是理想化的振動(dòng),此時(shí)系統(tǒng)只有重力或彈力做功,機(jī)械能守恒。振動(dòng)的能量和振幅有關(guān),振幅越大,振動(dòng)的能量越大。
高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(四)
隨機(jī)事件的概率
平面直角坐標(biāo)系
證明不等式的方法
絕對(duì)值不等式
均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
隨機(jī)事件的概率
概率的基本性質(zhì)
古典概型
不等式與不等關(guān)系
基本不等式
等差數(shù)列
簡(jiǎn)單的邏輯連接詞
全稱量詞與存在量詞
基本不等式的證明
正弦定理
充要條件
三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
函數(shù)y=Asin(wx+φ)的圖像
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象
等比數(shù)列
四種命題
三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用
任意角的三角函數(shù)
《隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生》
不等式
等差數(shù)列的前N項(xiàng)和
任意角的三角函數(shù)
函數(shù)y=Asin(ωx+ψ)的圖象
任意角和弧度制
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象
高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(五)
練習(xí):
已知方程 表示焦點(diǎn)在x軸
上的橢圓,則m的取值范圍是 .
(0,4)
(1,2)
練習(xí):求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(2)焦點(diǎn)為F1(0,-3),F2(0,3),且a=5.
(3)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(-2,0)、F2(2,0),且過P(2,3)點(diǎn);
(4)經(jīng)過點(diǎn)P(-2,0)和Q(0,-3).
小結(jié):求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟:
①定位:確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸;
②定量:求a, b的值.
例1 :將圓 = 4上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,
縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄笏那€的方程,
并說明它是什么曲線?
解:
將圓按照某個(gè)方向均勻地壓縮(拉長(zhǎng)),可以得到橢圓。
2)利用中間變量求點(diǎn)的軌跡方程
的方法是解析幾何中常用的方法;
練習(xí)
1 橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5,
則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為( )
A.5 B.6 C.4 D.10
A
2.橢圓
的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.(±5,0)?
B.(0,±5) ?
C.(0,±12)?
D.(±12,0)
C
3.已知橢圓的方程為 ,焦點(diǎn)在X軸上,
則其焦距為( )
A 2 B 2
C 2 D 2
A
,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
l 是 __________.
例2已知圓A:(x+3)2+y2=100,圓A內(nèi)一
定點(diǎn)B(3,0),圓P過B點(diǎn)且與圓A內(nèi)切,求圓心
P的軌跡方程.
解:設(shè)|PB|=r.
圓P與圓A內(nèi)切,圓A的半徑為10.
∴兩圓的圓心距|PA|=10-r,
即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).
∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓.
∴2a=10,
2c=|AB|=6,
∴a=5,c=3.
∴b2=a2-c2=25-9=16.
即點(diǎn)P的軌跡方程為 =1.
例3在ABC中,BC=24,AC、AB邊上的中線之
和為39,求ABC的重心的軌跡方程.
#FormatImgID_0#
練習(xí)
導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
第八講
導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
2019年
1.(2019全國(guó)Ⅲ文20)已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)0
2.(2019北京文20)已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線的斜率為1的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:;
(Ⅲ)設(shè),記在區(qū)間上的最大值為M(a),當(dāng)M(a)最小時(shí),求a的值.
3.(2019江蘇19)設(shè)函數(shù)、為f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;
(2)若a≠b,b=c,且f(x)和的零點(diǎn)均在集合中,求f(x)的極小值;
(3)若,且f(x)的極大值為M,求證:M≤.
4.(2019全國(guó)Ⅰ文20)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f
′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).
(1)證明:f
′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);
(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.
5.(2019全國(guó)Ⅰ文20)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f
′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).
(1)證明:f
′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);
(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.
6.(2019全國(guó)Ⅱ文21)已知函數(shù).證明:
(1)存在唯一的極值點(diǎn);
(2)有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).
7.(2019天津文20)設(shè)函數(shù),其中.
(Ⅰ)若,討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若,
(i)證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)
(ii)設(shè)為的極值點(diǎn),為的零點(diǎn),且,證明.
8.(2019浙江22)已知實(shí)數(shù),設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對(duì)任意均有
求的取值范圍.
注:e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
2010-2018年
一、選擇題
1.(2017新課標(biāo)Ⅰ)已知函數(shù),則
A.在單調(diào)遞增
B.在單調(diào)遞減
C.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
D.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
2.(2017浙江)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,則函數(shù)的圖像可能是
A.
B.
C.
D.
3.(2016年全國(guó)I卷)若函數(shù)在單調(diào)遞增,則的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
4.(2016年四川)已知為函數(shù)的極小值點(diǎn),則
A.4
B.2
C.4
D.2
5.(2014新課標(biāo)2)若函數(shù)在區(qū)間(1,+)單調(diào)遞增,則的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
6.(2014新課標(biāo)2)設(shè)函數(shù).若存在的極值點(diǎn)滿足
,則的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
7.(2014遼寧)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
8.(2014湖南)若,則
A.
B.
C.
D.
9.(2014江西)在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)與
的圖像不可能的是
10.(2013新課標(biāo)2)已知函數(shù),下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是
A.
B.函數(shù)的圖像是中心對(duì)稱圖形
C.若是的極小值點(diǎn),則在區(qū)間單調(diào)遞減
D.若是的極值點(diǎn),則
11.(2013四川)設(shè)函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若存在使成立,則的取值范圍是(
)
A.
B.
C.
D.
12.(2013福建)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,是的極大值點(diǎn),以下結(jié)論一定正確的是
A.
B.是的極小值點(diǎn)
C.是的極小值點(diǎn)
D.是的極小值點(diǎn)
13.(2012遼寧)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
A.(-1,1]
B.(0,1]
C.
[1,+)
D.(0,+)
14.(2012陜西)設(shè)函數(shù),則
A.為的極大值點(diǎn)
B.為的極小值點(diǎn)
C.為的極大值點(diǎn)
D.為的極小值點(diǎn)
15.(2011福建)若,,且函數(shù)在處有極值,則的最大值等于
A.2
B.3
C.6
D.9
16.(2011浙江)設(shè)函數(shù),若為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),則下列圖象不可能為的圖象是
A
B
C
D
17.(2011湖南)設(shè)直線
與函數(shù),
的圖像分別交于點(diǎn),則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)的值為
A.1
B.
C.
D.
二、填空題
18.(2016年天津)已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù),則的值為____.
19.(2015四川)已知函數(shù),(其中).對(duì)于不相等的實(shí)數(shù),設(shè)=,=.現(xiàn)有如下命題:
①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù),都有;
②對(duì)于任意的及任意不相等的實(shí)數(shù),都有;
③對(duì)于任意的,存在不相等的實(shí)數(shù),使得;
④對(duì)于任意的,存在不相等的實(shí)數(shù),使得.
其中真命題有___________(寫出所有真命題的序號(hào)).
20.(2011廣東)函數(shù)在=______處取得極小值.
三、解答題
21.(2018全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù).
(1)設(shè)是的極值點(diǎn).求,并求的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)時(shí),.
22.(2018浙江)已知函數(shù).
(1)若在,()處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;
(2)若,證明:對(duì)于任意,直線與曲線有唯一公共點(diǎn).
23.(2018全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:只有一個(gè)零點(diǎn).
24.(2018北京)設(shè)函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0,求;
(2)若在處取得極小值,求的取值范圍.
25.(2018全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)證明:當(dāng)時(shí),.
26.(2018江蘇)記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若存在,滿足且,則稱為函數(shù)與的一個(gè)“點(diǎn)”.
(1)證明:函數(shù)與不存在“點(diǎn)”;
(2)若函數(shù)與存在“點(diǎn)”,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)已知函數(shù),.對(duì)任意,判斷是否存在,使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點(diǎn)”,并說明理由.
27.(2018天津)設(shè)函數(shù),其中,且是公差為的等差數(shù)列.
(1)若
求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若,求的極值;
(3)若曲線與直線有三個(gè)互異的公共點(diǎn),求d的取值范圍.
28.(2017新課標(biāo)Ⅰ)已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若,求的取值范圍.
29.(2017新課標(biāo)Ⅱ)設(shè)函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.
30.(2017新課標(biāo)Ⅲ)已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),證明.
31.(2017天津)設(shè),.已知函數(shù),
.
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)已知函數(shù)和的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線,
(i)求證:在處的導(dǎo)數(shù)等于0;
(ii)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍.
32.(2017浙江)已知函數(shù).
(Ⅰ)求的導(dǎo)函數(shù);
(Ⅱ)求在區(qū)間上的取值范圍.
33.(2017江蘇)已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)
的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(2)證明:;
34.(2016年全國(guó)I卷)已知函數(shù).
(I)討論的單調(diào)性;
(II)若有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
35.(2016年全國(guó)II卷)已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)若當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.
36.(2016年全國(guó)III卷)設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明當(dāng)時(shí),;
(III)設(shè),證明當(dāng)時(shí),.
37.(2015新課標(biāo)2)已知函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)有最大值,且最大值大于時(shí),求的取值范圍.
38.(2015新課標(biāo)1)設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)證明:當(dāng)時(shí).
39.(2014新課標(biāo)2)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)證明:當(dāng)時(shí),曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn).
40.(2014山東)設(shè)函數(shù)(為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍.
41.(2014新課標(biāo)1)設(shè)函數(shù),
曲線處的切線斜率為0
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若存在使得,求的取值范圍.
42.(2014山東)設(shè)函數(shù)
,其中為常數(shù).
(Ⅰ)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性.
43.(2014廣東)
已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),試討論是否存在,使得.
44.(2014江蘇)已知函數(shù),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)證明:是R上的偶函數(shù);
(Ⅱ)若關(guān)于的不等式≤在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)已知正數(shù)滿足:存在,使得成立.試比較與的大小,并證明你的結(jié)論.
45.(2013新課標(biāo)1)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處切線方程為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)討論的單調(diào)性,并求的極大值.
46.(2013新課標(biāo)2)已知函數(shù).
(Ⅰ)求的極小值和極大值;
(Ⅱ)當(dāng)曲線的切線的斜率為負(fù)數(shù)時(shí),求在軸上截距的取值范圍.
47.(2013福建)已知函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的極值;
(Ⅲ)當(dāng)?shù)闹禃r(shí),若直線與曲線沒有公共點(diǎn),求的最大值.
48.(2013天津)已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)
證明:對(duì)任意的,存在唯一的,使.
(Ⅲ)設(shè)(Ⅱ)中所確定的關(guān)于的函數(shù)為,
證明:當(dāng)時(shí),有.
49.(2013江蘇)設(shè)函數(shù),,其中為實(shí)數(shù).
(Ⅰ)若在上是單調(diào)減函數(shù),且在上有最小值,求的取值范圍;
(Ⅱ)若在上是單調(diào)增函數(shù),試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.
50.(2012新課標(biāo))設(shè)函數(shù)f(x)=-ax-2
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間
(Ⅱ)若,為整數(shù),且當(dāng)時(shí),,求的最大值
51.(2012安徽)設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)求在內(nèi)的最小值;
(Ⅱ)設(shè)曲線在點(diǎn)的切線方程為;求的值。
52.(2012山東)已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè),其中是的導(dǎo)數(shù).
證明:對(duì)任意的,.
53.(2011新課標(biāo))已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)證明:當(dāng),且時(shí),.
54.(2011浙江)設(shè)函數(shù),
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求所有實(shí)數(shù),使對(duì)恒成立.
注:為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
55.(2011福建)已知,為常數(shù),且,函數(shù),(e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)和(),使得對(duì)每一個(gè)∈,直線與曲線(∈[,e])都有公共點(diǎn)?若存在,求出最小的實(shí)數(shù)和最大的實(shí)數(shù);若不存在,說明理由.
56.(2010新課標(biāo))設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)若=,求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若當(dāng)≥0時(shí)≥0,求的取值范圍.
專題三
導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
第八講
導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
答案部分
2019年
1.解析(1).
令,得x=0或.
若a>0,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
若a=0,在單調(diào)遞增;
若a
(2)當(dāng)時(shí),由(1)知,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以在[0,1]的最小值為,最大值為或.于是
,
所以
當(dāng)時(shí),可知單調(diào)遞減,所以的取值范圍是.
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,所以的取值范圍是.
綜上,的取值范圍是.
2.解析(Ⅰ)由得.
令,即,得或.
又,,
所以曲線的斜率為1的切線方程是與,
即與.
(Ⅱ)要證,即證,令.
由得.
令得或.
在區(qū)間上的情況如下:
所以的最小值為,最大值為.
故,即.
(Ⅲ),由(Ⅱ)知,,
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
綜上,當(dāng)最小時(shí),.
3.解析(1)因?yàn)椋裕?/p>
因?yàn)?,所以,解得?/p>
(2)因?yàn)椋?/p>
所以,
從而.令,得或.
因?yàn)槎荚诩现?,且?/p>
所以.
此時(shí),.
令,得或.列表如下:
1
+
–
+
極大值
極小值
所以的極小值為.
(3)因?yàn)?,所以?/p>
.
因?yàn)椋裕?/p>
則有2個(gè)不同的零點(diǎn),設(shè)為.
由,得.
列表如下:
+
–
+
極大值
極小值
所以的極大值.
解法一:
.因此.
解法二:因?yàn)?,所以?/p>
當(dāng)時(shí),.
令,則.
令,得.列表如下:
+
–
極大值
所以當(dāng)時(shí),取得極大值,且是最大值,故.
所以當(dāng)時(shí),,因此.
4.解析
(1)設(shè),則.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
又,故在存在唯一零點(diǎn).
所以在存在唯一零點(diǎn).
(2)由題設(shè)知,可得a≤0.
由(1)知,在只有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
又,所以,當(dāng)時(shí),.
又當(dāng)時(shí),ax≤0,故.
因此,a的取值范圍是.
5.解析
(1)設(shè),則.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
又,故在存在唯一零點(diǎn).
所以在存在唯一零點(diǎn).
(2)由題設(shè)知,可得a≤0.
由(1)知,在只有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
又,所以,當(dāng)時(shí),.
又當(dāng)時(shí),ax≤0,故.
因此,a的取值范圍是.
6.解析(1)的定義域?yàn)椋?,+).
.
因?yàn)閱握{(diào)遞增,單調(diào)遞減,所以單調(diào)遞增,又,
,故存在唯一,使得.
又當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
因此,存在唯一的極值點(diǎn).
(2)由(1)知,又,所以在內(nèi)存在唯一根.
由得.
又,故是在的唯一根.
綜上,有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).
7.解析(Ⅰ)由已知,的定義域?yàn)?,?/p>
,
因此當(dāng)時(shí),
,從而,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知.令,由,
可知在內(nèi)單調(diào)遞減,又,且
.
故在內(nèi)有唯一解,從而在內(nèi)有唯一解,不妨設(shè)為,則.
當(dāng)時(shí),,所以在內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,所以在內(nèi)單調(diào)遞減,因此是的唯一極值點(diǎn).
令,則當(dāng)時(shí),,故在內(nèi)單調(diào)遞減,從而當(dāng)時(shí),
,所以.
從而,
又因?yàn)?,所以在?nèi)有唯一零點(diǎn).又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1,從而,在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).
(ii)由題意,即,從而,即.因?yàn)楫?dāng)時(shí),
,又,故,兩邊取對(duì)數(shù),得,于是
,
整理得.
8.解析(Ⅰ)當(dāng)時(shí),.
,
所以,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+).
(Ⅱ)由,得.
當(dāng)時(shí),等價(jià)于.
令,則.
設(shè)
,則
.
(i)當(dāng)
時(shí),,則
.
記,則
.
故
1
+
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以,
.
因此,.
(ii)當(dāng)時(shí),.
令
,則,
故在上單調(diào)遞增,所以.
由(i)得.
所以,.
因此.
由(i)(ii)得對(duì)任意,,
即對(duì)任意,均有.
綜上所述,所求a的取值范圍是.
2010-2018年
1.C【解析】由,知,在上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減,排除A、B;又,
所以的圖象關(guān)于對(duì)稱,C正確.
2.D【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,的單調(diào)性是減增減增,排除
A、C;由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,的極值點(diǎn)一負(fù)兩正,所以D符合,選D.
3.C【解析】函數(shù)在單調(diào)遞增,
等價(jià)于
在恒成立.
設(shè),則在恒成立,
所以,解得.故選C.
4.D【解析】因?yàn)椋?,,?dāng)
時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.所以.故選D.
5.D【解析】,,在(1,+)單調(diào)遞增,
所以當(dāng)
時(shí),恒成立,即在(1,+)上恒成立,
,,所以,故選D.
6.C【解析】由正弦型函數(shù)的圖象可知:的極值點(diǎn)滿足,
則,從而得.所以不等式
,即為,變形得,其中.由題意,存在整數(shù)使得不等式成立.當(dāng)且時(shí),必有,此時(shí)不等式顯然不能成立,故或,此時(shí),不等式即為,解得或.
7.C【解析】當(dāng)時(shí),得,令,則,
,令,,
則,顯然在上,,單調(diào)遞減,所以,因此;同理,當(dāng)時(shí),得.由以上兩種情況得.顯然當(dāng)時(shí)也成立,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
8.C【解析】設(shè),則,故在上有一個(gè)極值點(diǎn),即在上不是單調(diào)函數(shù),無法判斷與的大小,故A、B錯(cuò);構(gòu)造函數(shù),,故在上單調(diào)遞減,所以,選C.
9.B【解析】當(dāng),可得圖象D;記,
,
取,,令,得,易知的極小值為,又,所以,所以圖象A有可能;同理取,可得圖象C有可能;利用排除法可知選B.
10.C【解析】若則有,所以A正確。由得
,因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱中心為(0,0),
所以的對(duì)稱中心為,所以B正確。由三次函數(shù)的圖象可知,若是的極小值點(diǎn),則極大值點(diǎn)在的左側(cè),所以函數(shù)在區(qū)間(∞,
)單調(diào)遞減是錯(cuò)誤的,D正確。選C.
11.A【解析】若在上恒成立,則,
則在上無解;
同理若在上恒成立,則。
所以在上有解等價(jià)于在上有解,
即,
令,所以,
所以.
12.D【解析】A.,錯(cuò)誤.是的極大值點(diǎn),并不是最大值點(diǎn);B.是的極小值點(diǎn).錯(cuò)誤.相當(dāng)于關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像,故應(yīng)是的極大值點(diǎn);C.是的極小值點(diǎn).錯(cuò)誤.相當(dāng)于關(guān)于軸的對(duì)稱圖像,故應(yīng)是的極小值點(diǎn).跟沒有關(guān)系;D.是的極小值點(diǎn).正確.相當(dāng)于先關(guān)于y軸的對(duì)稱,再關(guān)于軸的對(duì)稱圖像.故D正確.
13.B【解析】,,由,解得,又,
故選B.
14.D【解析】,,恒成立,令,則
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)增,
則為的極小值點(diǎn),故選D.
15.D【解析】,由,即,得.
由,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).選D.
16.D【解析】若為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),則易知,選項(xiàng)A,B的函數(shù)為,,為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)滿足條件;選項(xiàng)C中,對(duì)稱軸,且開口向下,
,,也滿足條件;選項(xiàng)D中,對(duì)稱軸
,且開口向上,,,與題圖矛盾,故選D.
17.D【解析】由題不妨令,則,
令解得,因時(shí),,當(dāng)時(shí),
,所以當(dāng)時(shí),達(dá)到最?。矗?/p>
18.3【解析】.
19.①④【解析】因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增的,所以對(duì)于不相等的實(shí)數(shù),恒成立,①正確;因?yàn)椋?/p>
=,正負(fù)不定,②錯(cuò)誤;由,整理得.
令函數(shù),則,
令,則,又,
,從而存在,使得,
于是有極小值,所以存
在,使得,此時(shí)在上單調(diào)遞增,故不存在不相等的實(shí)數(shù),使得,不滿足題意,③錯(cuò)誤;由得,即,設(shè),
則,所以在上單調(diào)遞增的,且當(dāng)時(shí),
,當(dāng)時(shí),,所以對(duì)于任意的,與的圖象一定有交點(diǎn),④正確.
20.2【解析】由題意,令得或.
因或時(shí),,時(shí),.
時(shí)取得極小值.
21.【解析】(1)的定義域?yàn)?,?/p>
由題設(shè)知,,所以.
從而,.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)時(shí),.
設(shè),則
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以是的最小值點(diǎn).
故當(dāng)時(shí),.
因此,當(dāng)時(shí),.
22.【解析】(1)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),
由得,
因?yàn)?,所以?/p>
由基本不等式得.
因?yàn)?,所以?/p>
由題意得.
設(shè),
則,
所以
16
+
所以在上單調(diào)遞增,
故,
即.
(2)令,,則
,
所以,存在使,
所以,對(duì)于任意的及,直線與曲線有公共點(diǎn).
由得.
設(shè),
則,
其中.
由(1)可知,又,
故,
所以,即函數(shù)在上單調(diào)遞減,因此方程至多1個(gè)實(shí)根.
綜上,當(dāng)時(shí),對(duì)于任意,直線與曲線有唯一公共點(diǎn).
23.【解析】(1)當(dāng)時(shí),,.
令解得或.
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
故在,單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
(2)由于,所以等價(jià)于.
設(shè),則,
僅當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞增.
故至多有一個(gè)零點(diǎn),從而至多有一個(gè)零點(diǎn).
又,,
故有一個(gè)零點(diǎn).
綜上,只有一個(gè)零點(diǎn).
24.【解析】(1)因?yàn)椋?/p>
所以.
,
由題設(shè)知,即,解得.
(2)方法一:由(1)得.
若,則當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
所以在處取得極小值.
若,則當(dāng)時(shí),,
所以.
所以1不是的極小值點(diǎn).
綜上可知,的取值范圍是.
方法二:.
(ⅰ)當(dāng)時(shí),令得.
隨的變化情況如下表:
1
+
?
↗
極大值
在處取得極大值,不合題意.
(ⅱ)當(dāng)時(shí),令得.
①當(dāng),即時(shí),,
在上單調(diào)遞增,
無極值,不合題意.
②當(dāng),即時(shí),隨的變化情況如下表:
1
+
?
+
↗
極大值
極小值
↗
在處取得極大值,不合題意.
③當(dāng),即時(shí),隨的變化情況如下表:
+
?
+
↗
極大值
極小值
↗
在處取得極小值,即滿足題意.
(ⅲ)當(dāng)時(shí),令得.
隨的變化情況如下表:
?
+
?
極小值
↗
極大值
在處取得極大值,不合題意.
綜上所述,的取值范圍為.
25.【解析】(1),.
因此曲線在點(diǎn)處的切線方程是.
(2)當(dāng)時(shí),.
令,則.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
所以.因此.
26.【解析】(1)函數(shù),,則,.
由且,得,此方程組無解,
因此,與不存在“點(diǎn)”.
(2)函數(shù),,
則.
設(shè)為與的“點(diǎn)”,由且,得
,即,(*)
得,即,則.
當(dāng)時(shí),滿足方程組(*),即為與的“點(diǎn)”.
因此,的值為.
(3)對(duì)任意,設(shè).
因?yàn)?,且的圖象是不間斷的,
所以存在,使得.令,則.
函數(shù),
則.
由且,得
,即,(**)
此時(shí),滿足方程組(**),即是函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)“點(diǎn)”.
因此,對(duì)任意,存在,使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點(diǎn)”.
27.【解析】(1)由已知,可得,故,
因此,=?1,
又因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為,
故所求切線方程為.
(2)由已知可得
.
故.令=0,解得,或.
當(dāng)變化時(shí),,的變化如下表:
(?∞,
)
(,
)
(,
+∞)
+
?
+
↗
極大值
極小值
↗
所以函數(shù)的極大值為;函數(shù)小值為.
(3)曲線與直線有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于的方程有三個(gè)互異的實(shí)數(shù)解,
令,可得.
設(shè)函數(shù),則曲線與直線有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).
.
當(dāng)時(shí),,這時(shí)在R上單調(diào)遞增,不合題意.
當(dāng)時(shí),=0,解得,.
易得,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
的極大值=>0.
的極小值=?.
若,由的單調(diào)性可知函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn),不合題意.
若即,
也就是,此時(shí),
且,從而由的單調(diào)性,可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),符合題意.
所以的取值范圍是
28.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>
,
①若,則,在單調(diào)遞增.
②若,則由得.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
③若,則由得.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(2)①若,則,所以.
②若,則由(1)得,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為
.從而當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),.
③若,則由(1)得,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為
.
從而當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí).
綜上,的取值范圍為.
29.【解析】(1)
令得
,.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以在,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(2).
當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),,因此在單調(diào)遞減,而,故,所以
.
當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),,所以在單調(diào)遞增,而,故.
當(dāng)時(shí),,,
取,則,,
故.
當(dāng)時(shí),取,則,.
綜上,的取值范圍是.
30.【解析】(1)的定義域?yàn)椋?/p>
若,則當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)遞增.
若,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),在取得最大值,最大值為
.
所以等價(jià)于,
即.
設(shè),則.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí),取得最大值,最大值為.所以當(dāng)時(shí),.從而當(dāng)時(shí),,即.
31.【解析】(I)由,可得
,
令,解得,或.由,得.
當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表:
所以,的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(II)(i)因?yàn)?,由題意知,
所以,解得.
所以,在處的導(dǎo)數(shù)等于0.
(ii)因?yàn)?,,由,可得?/p>
又因?yàn)?,,故為的極大值點(diǎn),由(I)知.
另一方面,由于,故,
由(I)知在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,
故當(dāng)時(shí),在上恒成立,
從而在上恒成立.
由,得,.
令,,所以,
令,解得(舍去),或.
因?yàn)?,,,故的值域?yàn)椋?/p>
所以,的取值范圍是.
32.【解析】(Ⅰ)因?yàn)椋?/p>
所以
(Ⅱ)由
解得或.
因?yàn)?/p>
x
(,1)
1
(1,)
(,)
-
+
-
↗
又,
所以在區(qū)間上的取值范圍是.
33.【解析】(1)由,得.
當(dāng)時(shí),有極小值.
因?yàn)榈臉O值點(diǎn)是的零點(diǎn).
所以,又,故.
因?yàn)橛袠O值,故有實(shí)根,從而,即.
時(shí),,故在R上是增函數(shù),沒有極值;
時(shí),有兩個(gè)相異的實(shí)根,.
列表如下
+
–
+
極大值
極小值
故的極值點(diǎn)是.
從而,
因此,定義域?yàn)?
(2)由(1)知,.
設(shè),則.
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?,所以,故,即?/p>
因此.
(3)由(1)知,的極值點(diǎn)是,且,.
從而
記,所有極值之和為,
因?yàn)榈臉O值為,所以,.
因?yàn)?,于是在上單調(diào)遞減.
因?yàn)椋谑?,?
因此的取值范圍為.
34.【解析】
(Ⅰ)
(i)設(shè),則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(ii)設(shè),由得或.
①若,則,所以在單調(diào)遞增.
②若,則,故當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
③若,則,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
(Ⅱ)(i)設(shè),則由(I)知,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
又,取b滿足b
則,所以有兩個(gè)零點(diǎn).
(ii)設(shè)a=0,則,所以有一個(gè)零點(diǎn).
(iii)設(shè)a
又當(dāng)時(shí),
綜上,的取值范圍為.
35.【解析】(Ⅰ)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí),
,
曲線在處的切線方程為
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),等價(jià)于
令,則
,
(i)當(dāng),時(shí),,
故在上單調(diào)遞增,因此;
(ii)當(dāng)時(shí),令得
,
由和得,故當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減,因此.
綜上,的取值范圍是
36.【解析】(Ⅰ)由題設(shè),的定義域?yàn)?,,令,解得.?dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在處取得最大值,最大值為.
所以當(dāng)時(shí),.
故當(dāng)時(shí),,,即.
(Ⅲ)由題設(shè),設(shè),則,
令,解得.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.
由(Ⅱ)知,,故,又,
故當(dāng)時(shí),.
所以當(dāng)時(shí),.
37【解析】(Ⅰ)的定義域?yàn)椋?/p>
若,則,所以在單調(diào)遞增.
若,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí),在上無最大值;當(dāng)時(shí),在取得最大值,最大值為.
因此等價(jià)于.
令,則在單調(diào)遞增,.
于是,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
因此的取值范圍是.
38.【解析】(Ⅰ)的定義域?yàn)?,?/p>
當(dāng)時(shí),,沒有零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),因?yàn)閱握{(diào)遞增,單調(diào)遞增,所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)滿足且時(shí),,故當(dāng)時(shí),存在唯一零點(diǎn).
(Ⅱ)由(Ⅰ),可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為,當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為.
由于,所以.
故當(dāng)時(shí),.
39.【解析】(Ⅰ)=,.
曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為.
由題設(shè)得,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
設(shè),由題設(shè)知.
當(dāng)≤0時(shí),,單調(diào)遞增,,所以=0在有唯一實(shí)根.
當(dāng)時(shí),令,則.
,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
所以,所以在沒有實(shí)根.
綜上,=0在R有唯一實(shí)根,即曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn).
40.【解析】(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
由可得
所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,
所以
的單調(diào)遞減區(qū)間為,的單調(diào)遞增區(qū)間為
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞減,
故在內(nèi)不存在極值點(diǎn);
當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),,因此.
當(dāng)時(shí),時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增
故在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn);
當(dāng)時(shí),
函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)
當(dāng)且僅當(dāng),解得
綜上函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),的取值范圍為.
41.【解析】(Ⅰ),
由題設(shè)知,解得.
(Ⅱ)的定義域?yàn)?,由(Ⅰ)知,?/p>
(?。┤?,則,故當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增,所以,存在,使得的充要條件為,
即,解得.
(ii)若,則,故當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.所以,存在,使得的充要條件為,
而,所以不合題意.
(iii)若,則.
綜上,的取值范圍是.
42.【解析】(Ⅰ)由題意知時(shí),,
此時(shí),可得,又,
所以曲線在處的切線方程為.
(Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>
,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),令,
由于,
①當(dāng)時(shí),,
,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
②當(dāng)時(shí),,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
③當(dāng)時(shí),,
設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),
則,,
由
,
所以時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,
時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,
時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,
綜上可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
43.【解析】(Ⅰ)
(Ⅱ)
44.【解析】(Ⅰ),,是上的偶函數(shù)
(Ⅱ)由題意,,即
,,即對(duì)恒成立
令,則對(duì)任意恒成立
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
(Ⅲ),當(dāng)時(shí),在上單調(diào)增
令,
,,即在上單調(diào)減
存在,使得,,即
設(shè),則
當(dāng)時(shí),,單調(diào)增;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)減
因此至多有兩個(gè)零點(diǎn),而
當(dāng)時(shí),,;
當(dāng)時(shí),,;
當(dāng)時(shí),,.
45.【解析】.由已知得,,
故,,從而;
(Ⅱ)
由(I)知,
令得,或.
從而當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
故在,單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,極大值為.
46.【解析】(Ⅰ)的定義域?yàn)椋?/p>
①
當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí),
所以在,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
故當(dāng)時(shí),取得極小值,極小值為;當(dāng)時(shí),取得極大值,極大值為.
(Ⅱ)設(shè)切點(diǎn)為,則的方程為
所以在軸上的截距為
由已知和①得.
令,則當(dāng)時(shí),的取值范圍為;當(dāng)時(shí),的取值范圍是.
所以當(dāng)時(shí),的取值范圍是.
綜上,在軸上截距的取值范圍.
47.【解析】(Ⅰ)由,得.
又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,
得,即,解得.
(Ⅱ),
①當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無極值.
②當(dāng)時(shí),令,得,.
,;,.
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故在處取得極小值,且極小值為,無極大值.
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)無極小值;
當(dāng),在處取得極小值,無極大值.
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),
令,
則直線:與曲線沒有公共點(diǎn),
等價(jià)于方程在上沒有實(shí)數(shù)解.
假設(shè),此時(shí),,
又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點(diǎn)存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾,故.
又時(shí),,知方程在上沒有實(shí)數(shù)解.
所以的最大值為.
解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),.
直線:與曲線沒有公共點(diǎn),
等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解,即關(guān)于的方程:
(*)
在上沒有實(shí)數(shù)解.
①當(dāng)時(shí),方程(*)可化為,在上沒有實(shí)數(shù)解.
②當(dāng)時(shí),方程(*)化為.
令,則有.
令,得,
當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:
當(dāng)時(shí),,同時(shí)當(dāng)趨于時(shí),趨于,
從而的取值范圍為.
所以當(dāng)時(shí),方程(*)無實(shí)數(shù)解,解得的取值范圍是.
綜上,得的最大值為.
48.【解析】(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).
f′(x)=2xln
x+x=x(2ln
x+1),令f′(x)=0,得.
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
f′(x)
-
+
f(x)
極小值
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.
(Ⅱ)證明:當(dāng)0<x≤1時(shí),f(x)≤0.
設(shè)t>0,令h(x)=f(x)-t,x∈[1,+∞).
由(1)知,h(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
h(1)=-t<0,h(et)=e2tln
et-t=t(e2t-1)>0.
故存在唯一的s∈(1,+∞),使得t=f(s)成立.
(Ⅲ)證明:因?yàn)閟=g(t),由(2)知,t=f(s),且s>1,從而
,
其中u=ln
s.
要使成立,只需.
當(dāng)t>e2時(shí),若s=g(t)≤e,則由f(s)的單調(diào)性,有t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾.
所以s>e,即u>1,從而ln
u>0成立.
另一方面,令F(u)=,u>1.F′(u)=,令F′(u)=0,得u=2.
當(dāng)1<u<2時(shí),F(xiàn)′(u)>0;當(dāng)u>2時(shí),F(xiàn)′(u)<0.
故對(duì)u>1,F(xiàn)(u)≤F(2)<0.
因此成立.
綜上,當(dāng)t>e2時(shí),有.
49.【解析】:(Ⅰ)由題在上恒成立,在上恒成立,;
若,則在上恒成立,在上遞增,
在上沒有最小值,,
當(dāng)時(shí),,由于在遞增,時(shí),遞增,時(shí),遞減,從而為的可疑極小點(diǎn),由題,,
綜上的取值范圍為.
(Ⅱ)由題在上恒成立,
在上恒成立,,
由得
,
令,則,
當(dāng)時(shí),,遞增,
當(dāng)時(shí),,遞減,
時(shí),最大值為,
又時(shí),,
時(shí),,
據(jù)此作出的大致圖象,由圖知:
當(dāng)或時(shí),的零點(diǎn)有1個(gè),
當(dāng)時(shí),的零點(diǎn)有2個(gè),
50.【解析】(Ⅰ)的定義域?yàn)?,?/p>
若,則,所以在單調(diào)遞增.
若,則當(dāng)時(shí),當(dāng),,所以
在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(Ⅱ)
由于,所以(x-k)
f′(x)+x+1=.
故當(dāng)時(shí),(x-k)
f′(x)+x+1>0等價(jià)于
()
①
令,則
由(Ⅰ)知,函數(shù)在單調(diào)遞增.而,所以在存在唯一的零點(diǎn),故在存在唯一的零點(diǎn),設(shè)此零點(diǎn)為,則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在的最小值為,又由,可得,所以
故①等價(jià)于,故整數(shù)的最大值為2.
51.【解析】(Ⅰ)設(shè);則
①當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)
得:當(dāng)時(shí),的最小值為
②當(dāng)時(shí),
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的最小值為
(Ⅱ)
由題意得:
52.【解析】(Ⅰ)由
=
可得,而,
即,解得;
(Ⅱ),令可得,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);在內(nèi)為減函數(shù).
(Ⅲ)
=
因此對(duì)任意的,等價(jià)于
設(shè)
所以,
因此時(shí),,時(shí),
所以,故.
設(shè),則,
,,,,即
,對(duì)任意的,.
53.【解析】(Ⅰ)
由于直線的斜率為,且過點(diǎn),故
即,解得,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以
考慮函數(shù),則
所以當(dāng)時(shí),故
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
從而當(dāng)
54.【解析】(Ⅰ)因?yàn)?/p>
所以
由于,所以的增區(qū)間為,減區(qū)間為
(Ⅱ)【證明】:由題意得,
由(Ⅰ)知內(nèi)單調(diào)遞增,
要使恒成立,
只要,解得
55.【解析】(Ⅰ)由
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得從而
,故:
(1)當(dāng);
(2)當(dāng)
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1);
當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為。
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),
由(Ⅱ)可得,當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時(shí),的變化情況如下表:
-
+
單調(diào)遞減
極小值1
單調(diào)遞增
2
又的值域?yàn)閇1,2].
由題意可得,若,則對(duì)每一個(gè),直線與曲線
都有公共點(diǎn).并且對(duì)每一個(gè),
直線與曲線都沒有公共點(diǎn).
綜上,當(dāng)時(shí),存在最小的實(shí)數(shù)=1,最大的實(shí)數(shù)=2,使得對(duì)每一個(gè),直線與曲線都有公共點(diǎn).
56.【解析】(Ⅰ)時(shí),,
。當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。故在,單調(diào)增加,在(1,0)單調(diào)減少.
(Ⅱ)。令,則。若,則當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),而,從而當(dāng)x≥0時(shí)≥0,即≥0.
若,則當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),而,
1.“變式教學(xué)”的含義
高三學(xué)生已進(jìn)入到高考倒計(jì)時(shí)的關(guān)鍵時(shí)期,在這個(gè)階段的學(xué)習(xí)要以追求高效為主。采用“變式教學(xué)”的策略進(jìn)行高中數(shù)學(xué)總知識(shí)的復(fù)習(xí)與整合,不但將學(xué)生從題海訓(xùn)練中解脫出來,有效減輕壓力,而且還有利于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的觀察與總結(jié)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維,提高數(shù)學(xué)能力,實(shí)現(xiàn)效率與成績(jī)的大幅度提高。變式教學(xué)顧名思義是指通過采用多種變化性質(zhì)的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué),如概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性變式、知識(shí)理論的發(fā)展與解答變式等,幫助學(xué)生從多個(gè)角度重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí),探究規(guī)律,培養(yǎng)知識(shí)創(chuàng)新與應(yīng)用能力。
2.高三數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上有效變式教學(xué)的策略
2.1加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解
數(shù)學(xué)概念大多較于抽象,一旦學(xué)生在初次學(xué)習(xí)時(shí)沒有掌握全面,那么在后續(xù)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)中勢(shì)必產(chǎn)生較大影響,以至于為復(fù)習(xí)工作增添了難度。為了加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解,教師可以采用過程性變式的方式為學(xué)生建立逐層遞進(jìn)的問題情境,如一題多問、多題一解等,確保問題具有層次感,逐漸將學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路打開,充分了解理論內(nèi)涵的同時(shí),實(shí)現(xiàn)深度掌握知識(shí)和靈活運(yùn)用知識(shí)的目的。
2.2明確變式教學(xué)的最終目的
教師對(duì)變式教學(xué)的應(yīng)用,首先要確定自身教學(xué)目標(biāo)的清晰定位。作為教學(xué)課堂上的組織者與引導(dǎo)者,教師需要在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的互動(dòng)交流能力和獨(dú)立思考能力,鼓勵(lì)學(xué)生調(diào)動(dòng)思維,跟上教師變式教學(xué)的腳步,從而充分享有學(xué)習(xí)主導(dǎo)地位。
2.3合理設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)變式教學(xué)內(nèi)容
高三是高中階段最重要的時(shí)期,教師在為學(xué)生做好復(fù)習(xí)工作的規(guī)劃時(shí),要把握好教學(xué)的進(jìn)度與尺度,根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況,針對(duì)重點(diǎn)與難點(diǎn)進(jìn)行變式教學(xué)。數(shù)學(xué)知識(shí)來源于教材,也貼近生活,教師要通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的合理變式與設(shè)計(jì),提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,寓教于樂。
3.高三數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上變式教學(xué)的實(shí)施
3.1過程性變式教學(xué)
在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段,采用過程性變式教學(xué)方式必須遵循循序漸進(jìn)的原則,復(fù)習(xí)過程中的問題呈現(xiàn)“階梯式”,使得學(xué)生在復(fù)習(xí)的同時(shí)全面掌握知識(shí)的發(fā)展過程,一題多變、一題多解、層層遞進(jìn)。比如,我們知道一個(gè)圓的方程為x2+y2=r2,那么假設(shè)圓上的一點(diǎn)M坐標(biāo)為(x0,y0),經(jīng)過這點(diǎn)的切線方程是多少?針對(duì)這個(gè)問題,我們可以展開層層遞進(jìn)的三個(gè)變式,首先假設(shè)M(x0,y0)在圓的內(nèi)部卻不位于圓心上,那么直線xx0+yy0=r2具有什么幾何意義?第二個(gè)變式,假設(shè)M(x0,y0)在圓的外部,那么直線xx0+yy0=r2具有什么幾何意義?最后的變式是:假設(shè)M(x0,y0)在圓的內(nèi)部卻不位于圓心,那么直線與圓的交點(diǎn)為多少個(gè)?這種一題多問、一題多變的方法逐漸拓展了學(xué)生對(duì)于圓性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)的思路,成功將學(xué)生在圓形性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)上的數(shù)學(xué)知識(shí)外延了內(nèi)涵。
3.2概念性變式教學(xué)
課堂上復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)概念或定義時(shí),教師通過各種變化的方式為學(xué)生揭示知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵,提高學(xué)生的準(zhǔn)確辨析能力,使其在相關(guān)試題的測(cè)驗(yàn)中靈活運(yùn)用。例如,關(guān)于橢圓定義的復(fù)習(xí)課堂,教師可以列出一些方程式,讓學(xué)生指出這四個(gè)方程式表示的是什么曲線。學(xué)生通過觀察四個(gè)方程式的異同,復(fù)習(xí)橢圓的性質(zhì)與概念,經(jīng)過分析與總結(jié),就能從中找出規(guī)律,準(zhǔn)確掌握橢圓的定義和解題的正確思路。
3.3試題式變式教學(xué)
在以復(fù)習(xí)和講評(píng)為主的高三數(shù)學(xué)課堂上,對(duì)于試題的練習(xí)和總結(jié)是復(fù)習(xí)工作的重要環(huán)節(jié)。如果一個(gè)類型的試題在多變上出現(xiàn)了更多的思考,那么學(xué)生就很容易找準(zhǔn)復(fù)習(xí)的規(guī)律和一手抓的思維,在一試題訓(xùn)練上更換條件或結(jié)論,亦或是更換內(nèi)容與形式,都可以輕而易舉地保存題目中的重點(diǎn)信息和主要知識(shí)點(diǎn),保留本質(zhì)的因素,節(jié)省大量時(shí)間,達(dá)到有效復(fù)習(xí)的目角度和方式的求解,同時(shí)復(fù)習(xí)到不同的基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)性質(zhì),幾何運(yùn)算、向量分解與合成、代數(shù)運(yùn)算,融會(huì)貫通后,學(xué)生很容易根據(jù)隨時(shí)變化的題型迅速想出解題辦法。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念;課優(yōu)化策略;實(shí)踐研究
一、高三數(shù)學(xué)概念復(fù)習(xí)課的必要性
在整個(gè)高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中,數(shù)學(xué)概念占據(jù)著非常重要的地位.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓和靈魂,是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞,掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是提高解題思維能力的關(guān)鍵.故必須要掌握到位、理解透徹.但由于高一、高二講授新課時(shí),受內(nèi)容多、課時(shí)少的影響,很多教師會(huì)忽視對(duì)概念的教學(xué).而在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂中,數(shù)學(xué)概念的復(fù)習(xí)本來也應(yīng)是非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié),然絕大多數(shù)高三數(shù)學(xué)教師往往會(huì)忽視概念的復(fù)習(xí),企圖通過“題海戰(zhàn)術(shù)”促成學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的掌握,結(jié)果是效果低微、事倍功半.因此,重視高三數(shù)學(xué)概念復(fù)習(xí)教學(xué)是必要的.
二、高三數(shù)學(xué)概念復(fù)習(xí)課的目的
高三復(fù)習(xí)主要是要求學(xué)生能完善知識(shí)結(jié)構(gòu),強(qiáng)化知識(shí)體系.復(fù)習(xí)課的首要任務(wù)就是要讓學(xué)生搞清基本的定義、概念、基本原理、基本方法,明白知識(shí)體系的形成過程,同時(shí),通過復(fù)習(xí)疏通相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系,由點(diǎn)成線,由線成面,完成知識(shí)的重組,完善知識(shí)的結(jié)構(gòu).例如,函數(shù)概念的復(fù)習(xí),抓住自變量,它是正確理解函數(shù)概念的前提.通過復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)概念揭示概念的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程,去完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),開發(fā)學(xué)生的思維能力,并夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ).
三、高三數(shù)學(xué)概念復(fù)習(xí)課有效教學(xué)的途徑
(一)字斟句酌,正確理解
數(shù)學(xué)概念歷經(jīng)數(shù)代的數(shù)學(xué)家們不斷地概括、總結(jié)并完善,核心概念已經(jīng)十分的精煉.因此,在高三總復(fù)習(xí)時(shí),對(duì)數(shù)學(xué)概念再進(jìn)行字斟句酌的復(fù)習(xí),特別是對(duì)其中的關(guān)鍵詞語,深入仔細(xì)推敲,深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)概念的深意,只有這樣才能正確理解概念,避免產(chǎn)生概念的誤解.例如,復(fù)習(xí)異面直線的定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線.這里要引導(dǎo)學(xué)生理解“不同在任何一個(gè)平面”其特點(diǎn)是:既不平行,也不相交.剖析其判定方法:①定義法:由定義判定兩直線永遠(yuǎn)不可能在同一平面內(nèi).②定理:經(jīng)過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線,是異面直線.再如,函數(shù)的概念:設(shè)A、B為兩個(gè)非空數(shù)集,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:AB為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).這里要重點(diǎn)講清楚“任意”與“唯一”包含的意義.
(二)對(duì)比辨析,深刻理解
一方面,高中數(shù)學(xué)中的許多概念具有高度的抽象性和相似性,使得很多學(xué)生到了高三了還對(duì)這些數(shù)學(xué)概念的理解產(chǎn)生混淆.例如,子集與真子集、映射與函數(shù)、對(duì)數(shù)與指數(shù)、頻率與概率、互斥事件與相互獨(dú)立事件等.另一方面,許多概念學(xué)生從正面理解比較困難,容易產(chǎn)生一些錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí),而反例是對(duì)概念錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的有效手段,時(shí)常能起到意想不到的效果.例如,對(duì)于函數(shù)概念復(fù)習(xí)仍需要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn):① 函數(shù)定義域,② 函數(shù)解析式,所以,判定兩個(gè)函數(shù)是否相同的標(biāo)準(zhǔn)也是這兩個(gè).
下面判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同:y=x2與y=x,通過學(xué)生分析,討論,抓住概念的兩個(gè)本質(zhì)要素進(jìn)行判斷.高三復(fù)習(xí)概念時(shí),適當(dāng)?shù)嘏e一些反例加以辨析,對(duì)于突出概念本質(zhì)屬性,澄清我們的模糊認(rèn)識(shí)是非常重要的.
(三)變式訓(xùn)練,彰顯本質(zhì)
在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教學(xué)過程中,注重變式訓(xùn)練,不僅有利于改變學(xué)生只注重做題,不注重思考、變通、總結(jié)的現(xiàn)象,還有利于培養(yǎng)學(xué)生多方位的數(shù)學(xué)思維,從而提高高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)的效率.其中概念性變式就利于揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性,其意圖就是通過對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多方位、多角度的變式,有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)屬性及其發(fā)展規(guī)律.使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念獲得多角度的理解,展示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、和形成過程,建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò),抓住問題的本質(zhì)屬性,加深對(duì)概念的理解,也一定程度上增強(qiáng)了學(xué)生的應(yīng)變能力和創(chuàng)新意識(shí),提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
(四)推陳出新,延伸拓展
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過程中,知識(shí)的寬度、深度拓展很重要.而數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的基石,“如果先不教明概念,便是教得不好的.”夸美紐斯在《大教學(xué)論》中的這句話說明了概念教學(xué)的重要性.應(yīng)試狀態(tài)下的高三數(shù)學(xué)概念復(fù)習(xí)教學(xué),常常在復(fù)習(xí)舊知授課即題海戰(zhàn)術(shù)習(xí)題化的思想下變成一個(gè)速成的過程.顯然,這是不利于學(xué)生有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)的理解及概念構(gòu)建.筆者認(rèn)為,高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中的概念復(fù)習(xí)教學(xué)非但不能壓縮,還應(yīng)當(dāng)在原有教學(xué)過程的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展延伸,推陳出新.
以上是筆者對(duì)高三數(shù)學(xué)概念復(fù)習(xí)課優(yōu)化策略的一些實(shí)踐研究,高三數(shù)學(xué)概念的復(fù)習(xí)教學(xué)是高考復(fù)習(xí)備考的重要環(huán)節(jié),是高考復(fù)習(xí)回歸基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心.廣大高三一線教師一定要走出輕視概念復(fù)習(xí)教學(xué)的誤區(qū),通過精心設(shè)計(jì),大膽嘗試,優(yōu)化教學(xué)策略,讓學(xué)生達(dá)到對(duì)概念本質(zhì)的理解.
【⒖嘉南住
2015年江蘇高考已經(jīng)結(jié)束,但是高考后我們高三數(shù)學(xué)老師的思考則不可能停止.雖然總體學(xué)生的高考成績(jī)還算令人滿意,但一年高三復(fù)習(xí)的有效性不得不令人思考.在高考中一部分學(xué)生對(duì)于遇到一些新題方寸大亂,遇到繁長(zhǎng)的應(yīng)用題審題如此吃力,遇到計(jì)算量大的解析幾何早早放棄,從而高考成績(jī)一落千丈.我們的老師在高三復(fù)習(xí)中給學(xué)生做了千道題,歸納了百種題型和方法,卻忘記了高考考的是學(xué)生的基礎(chǔ)和思維,讓學(xué)生成了題海的奴隸.所以高考中思考我們高三復(fù)習(xí)怎樣才是行之有效的,能讓學(xué)生的能力得到提升,我覺得至少要做到以下三點(diǎn).
首先,我們的高三課堂要重視學(xué)生的思維,不僅僅是教給學(xué)生數(shù)學(xué)解題的方法,還要讓學(xué)生掌握重要的數(shù)學(xué)思想.在復(fù)習(xí)課本公式定理的時(shí)候不應(yīng)該把結(jié)論一帶而過,讓學(xué)生死背結(jié)論去應(yīng)用,還是應(yīng)該帶著學(xué)生一起復(fù)習(xí)定理公式的推導(dǎo)過程,從而復(fù)習(xí)了重要的數(shù)學(xué)方法和思想.例如等差等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)就復(fù)習(xí)了倒序相加和錯(cuò)位相減法.在復(fù)習(xí)基本知識(shí)的時(shí)候可以讓學(xué)[JP2]生自己整理出一章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖和用到的思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.在高三的課堂上教師要給學(xué)生思維的空間,形式熱鬧的探究討論課不可能是主流課堂,數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于思維,一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題的提出,哪怕教室鴉雀無聲,[JP]學(xué)生的思維也是積極的,收獲也是很大的.若學(xué)生仍無法解答,老師再在他們思考的基礎(chǔ)上予以啟發(fā)提問,學(xué)生的思維能力自然得到提高.求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和最值,要讓學(xué)生聯(lián)想函數(shù)問題,數(shù)列的定義域是什么,它和二次函數(shù)的最值一樣嗎?給出一個(gè)不等式:f(x)=xcosx ,x∈(-[SX(]π[]2[SX)],[SX(]π[]2[SX)]),則f(3x-2)
高三復(fù)習(xí)離不開解題,學(xué)生解題能力的提高自然是重中之重.可是,如果我們老師課堂上只是教給學(xué)生如何讀題、析題、解大量的題,就能讓學(xué)生的解題能力大大提高嗎?在題海中,學(xué)生沒有真正消化,缺少反思總結(jié),學(xué)生會(huì)越來越茫然.當(dāng)老師覺得題目這么簡(jiǎn)單而學(xué)生卻覺得很困難時(shí),那肯定是教學(xué)中沒有重視學(xué)生解題后的反思.
實(shí)際上,我們和學(xué)生一起解完題之后應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三,和學(xué)生一起進(jìn)行變式探究,生成新的問題去研究解決.還要讓學(xué)生反思這道題有沒有更好的解法,這種解法能解決哪一類問題,掌握這類問題的通解通法,由多題一解和一解多題的反思中提高學(xué)生的解題能力.在解題的過程中學(xué)生經(jīng)常會(huì)犯各種各樣的錯(cuò)誤,要幫學(xué)生反思分析他們各自犯錯(cuò)的原因,整理好一本精致的錯(cuò)題本,錯(cuò)題要有錯(cuò)解原因和正解,以及變式拓展,要鼓勵(lì)學(xué)生不要害怕犯錯(cuò),在錯(cuò)誤中反思,在錯(cuò)誤中成長(zhǎng).并且在滾動(dòng)練習(xí)中把大家都容易犯的易錯(cuò)題出在里面,在課堂上分析錯(cuò)因,把問題的本質(zhì)研究透徹,這樣才能讓我們的學(xué)生不僅能夠解決問題,還能提高自己的數(shù)學(xué)思維能力.解題的反思是讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)歸納,學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題,學(xué)習(xí)揚(yáng)長(zhǎng)補(bǔ)短,從而逐步提高自己的解題能力.
最后在高三的復(fù)習(xí)中要讓學(xué)生明白規(guī)范解題書寫和提高計(jì)算能力的重要性.高考不僅僅考查基本知識(shí)和數(shù)學(xué)思想,還要考查基本的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力,這幾年的江蘇高考對(duì)學(xué)生的運(yùn)算提出了很高的要求,尤其是應(yīng)用題和解幾題.首先,應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生解題的表達(dá)和規(guī)范書寫.經(jīng)常有老師感嘆這個(gè)學(xué)生很聰明,回答問題反應(yīng)特別快,想到的方法總是很簡(jiǎn)便,但是考試卻總是考不好,不知道為什么?其實(shí)這些學(xué)生的解題很不規(guī)范,書寫很亂,表達(dá)不清楚,他的解題過程找不到得分點(diǎn),經(jīng)常跳步計(jì)算,結(jié)果經(jīng)常算錯(cuò),方法再好也沒有用,所以得不到理想的分?jǐn)?shù).今年高考中理科附加省平均不高,主要的原因是學(xué)生不注意解題過程的書寫,只顧結(jié)果,忽視過程,而批卷卻對(duì)規(guī)范答題要求嚴(yán)格,所以學(xué)生的成績(jī)比預(yù)想低.因此我們高三復(fù)習(xí)中對(duì)學(xué)生解題的規(guī)范一定要重視,表達(dá)要清楚,有條理,嚴(yán)密,不能隨意跳步驟,一開始就養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣,這樣在考試中才能取得滿意的成績(jī).另外,基本的運(yùn)算能力,也是數(shù)學(xué)考查的基礎(chǔ)之一.平時(shí)我們要讓學(xué)生在作業(yè)中采取限時(shí)訓(xùn)練獨(dú)立計(jì)算,課堂上示范計(jì)算過程,當(dāng)面幫他分析計(jì)算錯(cuò)誤,計(jì)算方法的不合理,鍛煉學(xué)生的計(jì)算勇氣和計(jì)算品質(zhì),通過課堂訓(xùn)練和課堂反思來提高學(xué)生的計(jì)算能力,培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)持到底,鍥而不舍的意志品質(zhì).許多學(xué)生思維方法都沒有問題,最后都倒在了計(jì)算上,問題在于首先遇到計(jì)算量大的問題總是望而生畏,怕繁怕難,早早放棄,缺乏計(jì)算的勇氣和決心.而有的人計(jì)算的方法總是選擇不當(dāng),不會(huì)用巧妙的計(jì)算方法,導(dǎo)致簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化,而有的人則總是計(jì)算跳步,算完也不回頭看看,導(dǎo)致計(jì)算總是出錯(cuò).因此,我們?cè)趶?fù)習(xí)中要培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)韌不拔的計(jì)算品質(zhì),幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的計(jì)算習(xí)慣,不斷總結(jié)好的計(jì)算方法,分析反思自己的計(jì)算錯(cuò)誤并予改正,這樣才能讓學(xué)生在高考中打出漂亮的一仗.
關(guān)鍵詞:高三復(fù)習(xí);有效性;基礎(chǔ)
教師是教學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和合作者,學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正主人,而數(shù)學(xué)課堂則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和交流的重要場(chǎng)所。通過有效的高三復(fù)習(xí)課教學(xué)幫助學(xué)生真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法,作為教師首先要樹立正確的思想觀念和教學(xué)理念,才能引領(lǐng)有效的教學(xué)行為。
第一,以學(xué)生為主體,面向全體學(xué)生。新課程理念之一是課堂教學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變,在新課程理念下教師要確立“以全體學(xué)生為中心,以學(xué)生的學(xué)用為中心,以全體學(xué)生的主動(dòng)參與為中心”的教學(xué)理念。教師要轉(zhuǎn)變角色,由知識(shí)傳授者成為學(xué)生學(xué)習(xí)的參與者、引導(dǎo)者和合作者;由支配者、控制者成為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、促進(jìn)者和指導(dǎo)者;由靜態(tài)知識(shí)占有者成為動(dòng)態(tài)的研究者。而學(xué)生地位也發(fā)生了轉(zhuǎn)變,由單純聽課、被動(dòng)接收地位轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)參與、合作學(xué)習(xí)、探究發(fā)現(xiàn)的主體地位。所以教師必須樹立以學(xué)生為主體的教學(xué)觀,擺正講與練的關(guān)系,課堂教學(xué)中努力關(guān)注學(xué)生的復(fù)習(xí)效率。升上理想的大學(xué)是每一個(gè)高三學(xué)生的最大愿望,教師應(yīng)該充分正視學(xué)生知識(shí)水平的差異性和認(rèn)知能力的差異性,因材施教,使每個(gè)學(xué)生都掌握高考必備的數(shù)學(xué)知識(shí),提高數(shù)學(xué)能力。
第二,以數(shù)學(xué)試題解決為核心。數(shù)學(xué)試題解決是貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的一條主線,學(xué)生通過高三年級(jí)大量的數(shù)學(xué)試題解決,達(dá)到鞏固基礎(chǔ)知識(shí),掌握基本的解題技能,提高數(shù)學(xué)思維能力。高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)應(yīng)注意:
(1)不要徘徊在一招一式的歸類上,要更注重觀點(diǎn)上的提高或?qū)嵸|(zhì)性的突破.有時(shí)候,出現(xiàn)教學(xué)只是解題方法的簡(jiǎn)單堆積或解題技巧的神秘出現(xiàn),在解題具體操作與解題策略或數(shù)學(xué)思想方法之間缺少溝通的橋梁。
(2)對(duì)試題不要多是研究“怎樣解”,較少問“為什么這樣解”,更少問“怎樣學(xué)會(huì)解”,出現(xiàn)重結(jié)果,輕過程的現(xiàn)象。
(3)不要只關(guān)注現(xiàn)成的、形式化問題的求解,而對(duì)問題“提出”和“應(yīng)用”研究不足。
第三,以學(xué)定教的教學(xué)思想方法。高三數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)及生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,結(jié)合《課標(biāo)》《學(xué)科指導(dǎo)建議》《考綱》等有關(guān)要求,合理設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng),為學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì),幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法,獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。
在此思想觀念和教學(xué)理念下談?wù)劯呷龜?shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的策略。
一、加強(qiáng)高考研究,把握高考方向
隨著數(shù)學(xué)教育改革和素質(zhì)教育的深入,高考命題也在逐年探索、改革,命題的方向愈加突出考查能力,所以研究好高考,尤其是把握好高考的新動(dòng)向,搞好高考復(fù)習(xí),不僅能為學(xué)生打好扎實(shí)的基礎(chǔ),提高學(xué)生的整體素質(zhì)、應(yīng)試能力和高考成績(jī),而且也必將提高自己的教學(xué)水平,促進(jìn)素質(zhì)教育的全面實(shí)施。譬如高考試題的來源:(1)來源于課本題的移植和改編;
(2)來源于以往的高考題的改編;
(3)來源于競(jìng)賽試題、自主招生試題。
常見的命題技術(shù)有:(1)直接改編;(2)組合嫁接;(3)運(yùn)用方法、思想;(4)改變圖形;
(5)逆向提出問題;(6)表示形式復(fù)雜化;(7)從靜到動(dòng);(8)同一模型的不同外顯形式;
(9)特殊問題一般化、一般問題特殊化;(10)基于閱讀理解命制。
所以教師研究高考要研究考綱與“考試說明”,要研究高考中新舊考題的變化,要進(jìn)行考綱、考題與教材的對(duì)比研究,同時(shí)教師要研究學(xué)生。通過對(duì)高考的研究,把握復(fù)習(xí)的尺度,避免挖的過深,拔的過高、范圍過大,造成浪費(fèi);避免復(fù)習(xí)落點(diǎn)過低、復(fù)習(xí)范圍窄小,形成缺漏。
在教學(xué)同時(shí),教師要不斷的關(guān)注高考的最新動(dòng)態(tài)。如浙江省教育考試院提出要適度打破考試的模式化,在2012年樣卷中考查了數(shù)列題,而高考卷中未考查,打破常規(guī)考查了概率題,2013年更是將往年必考的三角函數(shù)題拿掉了。因此教師只有加強(qiáng)高考研究,把握高考方向,上課做到精講、精評(píng),學(xué)生做到精練,高三的復(fù)習(xí)才能直指高考,提高復(fù)習(xí)的有效性,也才能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和高考成績(jī)。
二、明確教學(xué)定位,做好教學(xué)計(jì)劃
高三復(fù)習(xí)課是以講練為主,以學(xué)生為主體,在教師引導(dǎo)下,共同研討知識(shí)的過程。復(fù)習(xí)課不僅是要幫助學(xué)生解疑糾誤,掌握知識(shí),更重要的是指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律,探索方法,培養(yǎng)能力的過程。一般學(xué)校采取兩輪復(fù)習(xí)。第一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是高三復(fù)習(xí)的“形成期”,其效果直接決定高考復(fù)習(xí)的成?。槐仨毎凑照n程標(biāo)準(zhǔn)和考試說明要求,全面系統(tǒng)地復(fù)習(xí),扎扎實(shí)實(shí)落實(shí)雙基,滲透數(shù)學(xué)思想方法,決不留下認(rèn)知盲點(diǎn)。第一輪的教學(xué)定位是側(cè)重回歸基礎(chǔ)、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、查漏補(bǔ)缺、逐步形成數(shù)學(xué)思想方法。第一輪復(fù)習(xí)指導(dǎo)思想:全面、扎實(shí)、系統(tǒng)、靈活。全面,即全面覆蓋,不留空白;扎實(shí),即單元知識(shí)的理解、鞏固,把握三基務(wù)必牢固;系統(tǒng),即前掛后連,有機(jī)結(jié)合,注意知識(shí)的完整性系統(tǒng)性,初步建立明晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò);靈活,即增強(qiáng)小綜合訓(xùn)練,克服解題的單向性、定向性,培養(yǎng)綜合運(yùn)用、靈活處理問題的能力和探究能力。
第二輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是高三復(fù)習(xí)的“整合期”,這里的整合,既有各分支內(nèi)部的整合,又有各分支之間的整合。這一階段必須協(xié)調(diào)好專題訓(xùn)練與綜合訓(xùn)練的關(guān)系。其教學(xué)定位是以專題的形式,強(qiáng)化重點(diǎn),注重知識(shí)的縱橫聯(lián)系,熟練解題方法與技巧,提升分析、解決問題的能力。第二輪復(fù)習(xí)指導(dǎo)思想是:鞏固、完善、綜合、提高。鞏固,即鞏固第一輪復(fù)習(xí)成果,把鞏固“三基”放在首位;完善,即通過專題復(fù)習(xí),查漏補(bǔ)缺,進(jìn)一步完善知識(shí)體系;綜合,即在訓(xùn)練上,減少單一知識(shí)點(diǎn)的訓(xùn)練,增強(qiáng)知識(shí)的連結(jié)點(diǎn),增強(qiáng)知識(shí)交匯點(diǎn)的題目,增強(qiáng)題目的綜合性和靈活性;提高,即培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、概括能力,分析問題、解決問題的能力。
三、落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí),倡導(dǎo)通性通法
省教育考試院提出繼續(xù)深化高考命題改革,切實(shí)控制試題難度,重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本技能?!犊荚囌f明》中明確指出:容易題、中等題、
難題的比重為3:5:2,難題即基礎(chǔ)題占80%,難題占20%?;A(chǔ)所占的比例很大。
從近幾年的高考試題來看,也充分說明了基礎(chǔ)的重要性,我們復(fù)習(xí)的口號(hào)就是基礎(chǔ)、基礎(chǔ)還是基礎(chǔ).落實(shí)好基礎(chǔ)知識(shí)(基本的概念、定理、公式、結(jié)論和通性通法)是我們大面積提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)有效性的關(guān)鍵所在,即讓學(xué)生能得的分一定得滿分。高考的題目常考常新,但是萬變不離其蹤,雖然情景不同,命題的角度不同,但其依托的仍是基礎(chǔ)知識(shí)。有時(shí)一些創(chuàng)新試題無非是“新瓶裝舊酒”。可以說高考對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查既全面又突出重點(diǎn),特別利用在知識(shí)交匯點(diǎn)的命題,以考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)靈活運(yùn)用的程度.因此對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)一定要在深刻理解和靈活應(yīng)用上下功夫,以達(dá)到在綜合題目中能迅速準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)、判斷和應(yīng)用的目的。
抓基礎(chǔ)就是要重視對(duì)教材的復(fù)習(xí),尤其是要重視概念、公式、法則、定理的形成過程,運(yùn)用時(shí)注意條件和結(jié)論的限制范圍,理解教材中例題的典型作用,對(duì)教材中的練習(xí)題,不但要會(huì)做,還要深刻理解在解決問題時(shí)題目所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維方法。即重視提升學(xué)生的策略水平,準(zhǔn)確把握學(xué)生的思維習(xí)慣和認(rèn)知水平,科學(xué)分析學(xué)生技能成因,在核心知識(shí)和核心概念上下功夫,舍棄“題海戰(zhàn)術(shù)”,淡化解題技巧,倡導(dǎo)通性通法。
四、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)
英國(guó)哲學(xué)家羅素曾指出:“凡是你教的東西,要教的透徹”。為求透徹,作為教師必須鉆進(jìn)教材,理清知識(shí)發(fā)生的本原,把握教材中最主要、最本質(zhì)的東西,
引導(dǎo)學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程,學(xué)會(huì)和真正理解數(shù)學(xué)的思維和重要的思想方法,減少過多的程式化訓(xùn)練,在能力培養(yǎng)的過程中感悟數(shù)學(xué),突出數(shù)學(xué)本質(zhì)。
總之,在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,教師應(yīng)該不斷樹立先進(jìn)的教學(xué)理念,同時(shí)能將先進(jìn)的教學(xué)理念轉(zhuǎn)化為教學(xué)行為,使學(xué)生主動(dòng)去探究學(xué)習(xí),在試題解決過程中,理解數(shù)學(xué)概念,掌握基本數(shù)學(xué)思想方法,提高數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力,切實(shí)提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性。如何提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效性教學(xué)是一個(gè)長(zhǎng)期的工作,有待一線教師日后在不斷的教學(xué)實(shí)踐中加以完善總結(jié)。
參考文獻(xiàn):
[1]《對(duì)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的思考與總結(jié)》中國(guó)校外教育(理論)董培曉
一、 高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課教學(xué)的現(xiàn)狀
從高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課的教學(xué)現(xiàn)狀來看,不少課堂的講評(píng)方式單調(diào),效率低下。具體表現(xiàn)為:重試卷答案的了解,輕學(xué)生答卷情況的把握和分析,講評(píng)缺少針對(duì)性和有效性;重教師主導(dǎo),輕學(xué)生主體,缺少生生、師生互動(dòng)合作探究;就題論題,重結(jié)果,輕過程,缺少知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu);重解題模式和應(yīng)試技巧,輕數(shù)學(xué)思維培養(yǎng),缺少方法總結(jié)歸納、問題的變化和拓展;重批評(píng)責(zé)備,輕鼓勵(lì)激發(fā),缺少對(duì)學(xué)生在情感上的引導(dǎo)和學(xué)習(xí)動(dòng)力的激發(fā);重整體講解,輕個(gè)別指導(dǎo),缺少差異幫助;重課上講解,輕課后的針對(duì)性訓(xùn)練,缺少矯正、補(bǔ)償和鞏固的連續(xù)性等。產(chǎn)生以上情況的原因,是對(duì)試卷講評(píng)課的性質(zhì)和功能、教學(xué)的目的和基本要求等方面的認(rèn)識(shí)和研究不足。
二、高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課教學(xué)的基本要求
高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課是依據(jù)學(xué)生試卷反映出的主要信息設(shè)計(jì)教學(xué),有針對(duì)性地幫助學(xué)生分析和糾正錯(cuò)誤、鞏固知識(shí)和技能、提高數(shù)學(xué)能力以及應(yīng)試能力的一種課型。要想提高講評(píng)課教學(xué)的實(shí)效,就必須在堅(jiān)持講評(píng)課教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容、教學(xué)和評(píng)價(jià)等基本要求的前提下,探索出一條新的實(shí)施途徑。
從教學(xué)目標(biāo)看,通過高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課的教學(xué),填補(bǔ)學(xué)生的遺漏,糾正模糊的認(rèn)識(shí),完善學(xué)生的知識(shí)體系;示范矯正,跟蹤練習(xí),鞏固學(xué)生解決問題的技能;優(yōu)化、拓展解題思路,提高學(xué)生總結(jié)和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的思維能力;關(guān)注學(xué)習(xí)差異,發(fā)揮講評(píng)的激勵(lì)功能,激發(fā)和強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。因此,診斷和填補(bǔ)、矯正和鞏固、優(yōu)化和拓展、激勵(lì)和強(qiáng)化是對(duì)高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課在教學(xué)目標(biāo)上的要求。
從教學(xué)內(nèi)容看,有易混淆、模糊的知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)致的審題、運(yùn)算發(fā)生的錯(cuò)誤;有典型思路和通常的解法導(dǎo)致的失誤;有拓展思路、培養(yǎng)探究能力的一題多解、多問、多變的問題;有保障矯正、填補(bǔ)和鞏固效果的針對(duì)性訓(xùn)練題等。因此,知識(shí)、技能上的通病和典型錯(cuò)誤的糾正,解題的方法與典型思路,拓展探究的問題以及鞏固性訓(xùn)練題是對(duì)高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課所應(yīng)包含的教學(xué)內(nèi)容的要求。
高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課的教學(xué)應(yīng)該關(guān)注全體、效益和過程,發(fā)揮學(xué)生的主體性,對(duì)于極少數(shù)人發(fā)生的錯(cuò)誤由個(gè)人自主糾正;較少數(shù)人發(fā)生的錯(cuò)誤通過小組合作糾正;多數(shù)人發(fā)生的錯(cuò)誤或感到困難的問題由師生共同解決。
評(píng)價(jià)方式上,重視學(xué)生的情感引導(dǎo),幫助學(xué)生對(duì)自己的試卷進(jìn)行自主評(píng)價(jià)和反思;鼓勵(lì)學(xué)生多角度、多層面表達(dá)自己的見解,展示自己的思維過程,讓學(xué)習(xí)上有差異的學(xué)生都能增強(qiáng)信心;針對(duì)講評(píng)的重點(diǎn)、難點(diǎn)采取適時(shí)提問的方式,從審題、思路、過程、結(jié)果的表達(dá)等方面進(jìn)行及時(shí)反饋。因此,引導(dǎo)、激勵(lì)和及時(shí)反饋是對(duì)高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課的教學(xué)評(píng)價(jià)方式的基本要求。
三、探究高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課的教學(xué)
充分把握考試情況、分析錯(cuò)誤原因,基于以學(xué)定教、發(fā)揮學(xué)生主體和教師主導(dǎo)作用的原則進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。只有充分把握考試情況、分析錯(cuò)誤原因,堅(jiān)持關(guān)注全面、以學(xué)定教、發(fā)揮學(xué)生主體和教師主導(dǎo)作用的原則,才能保證講評(píng)課的教學(xué)目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)。
發(fā)放試卷后,學(xué)生由于懊悔引發(fā)的自我分析和矯正的欲望最強(qiáng)烈,他們通過自我反思,能夠發(fā)現(xiàn)和解決自己可以解決的問題。對(duì)于班級(jí)中只有極少數(shù)學(xué)生發(fā)生的基本知識(shí)和技能的客觀性問題的錯(cuò)誤,利用學(xué)生主動(dòng)矯正的積極心理,讓學(xué)生充分發(fā)揮主體作用,改變教師告知和講解的方式,引導(dǎo)他們通過自我查閱教材、資料,矯正模糊知識(shí)、填補(bǔ)遺漏知識(shí),進(jìn)一步理解知識(shí),改進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu),完善知識(shí)體系。在利用學(xué)生差異資源進(jìn)行小組合作的實(shí)踐中,可能會(huì)有少數(shù)成績(jī)較好的學(xué)生認(rèn)為幫助別人是在浪費(fèi)自己的時(shí)間,或者少數(shù)成績(jī)較差的學(xué)生羞于暴露自己的問題等現(xiàn)象,這些都需要教師在活動(dòng)之前進(jìn)行調(diào)查了解,幫助學(xué)生提高認(rèn)識(shí),活動(dòng)中及時(shí)指導(dǎo),使相應(yīng)的活動(dòng)真正成為他們的自覺行為。
發(fā)揮教師主導(dǎo)作用,挖掘試題內(nèi)涵。立足于常見錯(cuò)誤、典型錯(cuò)誤的分析和講解,引導(dǎo)學(xué)生辨析、尋找錯(cuò)因,提高學(xué)生糾錯(cuò)和防錯(cuò)的能力;立足于常規(guī)解法與典型思路的分析和講解,引導(dǎo)學(xué)生開拓解題思路、總結(jié)解題規(guī)律;立足于難題的分析和解決,挖掘、歸納其中的思想方法,加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí);立足于一題多問、多變、多解,師生共同探究,培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、融會(huì)貫通的數(shù)學(xué)能力。對(duì)于學(xué)生小組討論中出現(xiàn)的一些思維巧妙、技巧性較強(qiáng)的解題方法,給予鼓勵(lì)的同時(shí),更要將學(xué)生容易想到、容易掌握的通解通法指出來,只有建立在傳統(tǒng)基礎(chǔ)上的創(chuàng)新才會(huì)有持久的生命力。試卷講評(píng)過程中,教師對(duì)知識(shí)和題型進(jìn)行必要的歸類,有助于學(xué)生解題。注意范例教學(xué),使學(xué)生解題規(guī)范化,克服“會(huì)”和“對(duì)”常常不是一碼事的問題。
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