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1數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須體現(xiàn)直觀性原則
1.1數(shù)學(xué)圖示類的直觀
講授《高等數(shù)學(xué)》定積分時,一個常用技巧就是化簡具有奇偶性的函數(shù)在對稱區(qū)間的積分。課本上一道例題給出了化簡法則的代數(shù)證明,但是純代數(shù)推導(dǎo)過程會讓學(xué)生感覺過于抽象,課程也會變得乏味。如果使用直觀的圖形,進行無字證明,就可以讓學(xué)生從圖示中直接看到奇函數(shù)積分左右抵消的結(jié)果。再進一步加強,對稱中心(對稱軸)不在原點(y軸)時,也可以通過平移使用這個性質(zhì),常見的情形如:任意正(余)弦函數(shù)在每個波峰波谷之間的半個周期上的定積分都是零,而不一定要關(guān)于原點對稱。為了讓學(xué)生更透徹更直觀地了解知識點,需要具體的例題支撐,接下來給出例1,計算定積分∫π20sin2xdx.解答:利用倍角公式,原題可化為12∫π20(1-cos2x)dx=(12∫π20dx-∫π20cos2xd)x,可以發(fā)現(xiàn)積[分區(qū)間0,π]2恰好是cos2x從波峰到波谷的半個周期,因此這一部分積分為0,原題最終結(jié)果等于12∫π20dx=π4。學(xué)生直觀的看到較復(fù)雜的函數(shù)計算也可以簡化,自然對這個性質(zhì)印象深刻,應(yīng)用起來也會得心應(yīng)手。
1.2實際操作類的直觀
《概率論》的貝葉斯公式一節(jié)有一個著名的問題———三門問題。例2在一個電視節(jié)目中,有3扇關(guān)閉了的門,其中有一扇門的后面獎品是汽車,另外兩扇門后面的獎品則是一只山羊,當(dāng)然我們都希望拿到汽車,而不愿意把山羊領(lǐng)回家。當(dāng)參賽者選定了一扇門,但未去開啟它的時候,知道內(nèi)情的節(jié)目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇,故意露出其中一只山羊。請問此時是否應(yīng)該換另一扇仍然關(guān)上的門?這個問題出自于名為Let'sMakeaDeal的美國電視節(jié)目,經(jīng)常出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)論壇上,每次都會引起激烈的爭論,因為雖然該問題的答案在邏輯上并不自相矛盾,但十分違反直覺。和網(wǎng)上的情形一樣,課堂上也出現(xiàn)了兩種完全不同的聲音。如果僅僅通過計算得到結(jié)果,似乎做不到讓學(xué)生“口服心服”。因此我們可以課堂上現(xiàn)場操作這樣一個具體案例,讓學(xué)生在操作過程中回歸概率的本質(zhì),直觀地看到這個結(jié)果,再進一步分析為什么會有這樣的結(jié)果,經(jīng)過這樣一個實際操作的模式,可以讓學(xué)生對全概公式以及貝葉斯公式的本質(zhì)更加清晰,達到了很好的學(xué)習(xí)效果。此外,此問題的答案與主持人是否知情有關(guān):原題中主持人知情,故意開了一個“羊門”,那么更換后獲獎概率從1/3上升至2/3;如果把條件稍加修改,改為主持人不知情,只是恰好打開一個“羊門”,那么換不換是一樣的,獲獎率都是1/2。這個細節(jié)上的差別恰恰就是引起爭論的根源。
1.3現(xiàn)實情境類的直觀
《線性代數(shù)》是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課中抽象程度最高的課程,代數(shù)也被H.Weyl喻為“惡魔”。該課程概念繁多且環(huán)環(huán)相扣,尤其在目前數(shù)學(xué)課時并不富余的大環(huán)境下,借助數(shù)學(xué)直觀讓學(xué)生把這些抽象概念具體化,順利的制服這個“惡魔”,是一個值得探討的話題。矩陣的秩是線性代數(shù)中出現(xiàn)的第一個難于理解的概念,初學(xué)者在看完定義后的困惑就是“這個概念究竟要干什么?有什么用?”。此時可以給出一個不太嚴格,但是很直觀的解釋———秩就是矩陣包含的信息量!再給出秩為0、1、2的矩陣配合定義加以說明,學(xué)生腦中秩的直觀印象就建立起來了。再由此可以深入淺出地介紹其他一些和秩相關(guān)的理論。如齊次線性方程組解空間的維數(shù),也可以從直觀的角度加以說明。如果方程組中一個方程都沒有,那么n維空間中隨意一點都滿足方程組,有n個自由度,每添加一個新的方程就相當(dāng)于限制了一個自由度。但是重要的不是方程的總數(shù),也許100個方程的信息量都是重復(fù)的,因此重要的是“新的”方程的總數(shù),也就是矩陣的秩。還有一些常用不等式也能以直觀性原則說明。例如r(AB)≤r(B),矩陣B所攜帶的信息量就是r(B),無論對它加以什么樣的線性變換A,也無法增加其信息量,至多只能保持不變,或者減少。同樣r(A+B)≤r(A)+r(B),矩陣疊加后信息量不會超過原來兩個矩陣的總和,還有可能因信息重復(fù)而減少,因而不等式成立。當(dāng)然直觀解釋并不是萬能的,從上述例子可以看出,為了把概念解釋的更直觀,通常需要喪失一些嚴密性。PhilipJ.Davis和ReubenHersh給出了數(shù)學(xué)直觀的一些負面性質(zhì):直觀是嚴密的對立面;直觀意味著不全面;直觀意味著不考慮問題的細節(jié)、不對問題進行分析,意味著全體或統(tǒng)合。筆者認為對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說,這種嚴密性的缺失是可以接受的。
2數(shù)學(xué)理論應(yīng)該貼近實際應(yīng)用
德國數(shù)學(xué)家高斯曽把數(shù)學(xué)喻為“科學(xué)的女王”,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理論在其他各學(xué)科中的指導(dǎo)作用。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚也曾說過,“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,生物之謎,無處不用數(shù)學(xué)?!边@是對數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界關(guān)系的精彩描述,在上世紀60年代他本人也親力親為,致力于把數(shù)學(xué)應(yīng)用到實際生產(chǎn)生活當(dāng)中,在當(dāng)時極差的學(xué)術(shù)科研環(huán)境中促進了科學(xué)技術(shù)在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用。公安學(xué)和公安技術(shù)學(xué)作為新成立的一級學(xué)科,自然也離不開數(shù)學(xué)這個重要的科研工具。但是很多學(xué)生對數(shù)學(xué)的應(yīng)用性不甚了解,總認為數(shù)學(xué)知識學(xué)了沒用,產(chǎn)生這種觀念的原因在于數(shù)學(xué)應(yīng)用并不是浮現(xiàn)于表面上,而經(jīng)常滲透在公安技術(shù)的幕后,因此,不能直接看到數(shù)學(xué)的具體應(yīng)用。因此教師在授課過程中也有責(zé)任給學(xué)生揭示數(shù)學(xué)應(yīng)用性的重要意義,讓學(xué)生了解并能主動運用數(shù)學(xué)工具進行專業(yè)研究。數(shù)學(xué)課主要集中在前3個學(xué)期,學(xué)生的知識儲備還不夠豐富,所以很多高深技術(shù)的數(shù)學(xué)應(yīng)用他們并不理解,為解決這個矛盾,更需要把數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)直觀結(jié)合起來,深入淺出地揭示出隱藏在公安技術(shù)背后的數(shù)學(xué)理念,讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)在實際問題尤其是公安問題中的發(fā)揮強大作用,讓學(xué)生學(xué)得有目標有方向有動力。如函數(shù)連續(xù)性是較為抽象的一節(jié)內(nèi)容,這一節(jié)沒什么具體計算,通篇是理論的證明,學(xué)生學(xué)到這種知識點時經(jīng)常會有飄渺的感覺,為解決這種問題可引入下面的數(shù)學(xué)模型問題。例3把椅子放在不平的地面上,通常只有3條腿著地,放不穩(wěn),然后只需稍微挪動,一般都可以使4條腿同時著地,這是必然還是偶然?問題的解法這里不再贅述。通過這樣一些實際生活中的例子,讓學(xué)生看到連續(xù)性理論的作用,讓飄渺在半空的知識落下來腳踏實地,對知識的理解以及運用也會更為熟練。這個例子似乎離公安專業(yè)還是較遠,還不足以讓學(xué)生深刻了解數(shù)學(xué)在公安工作中的具體應(yīng)用。下面結(jié)合公安大學(xué)的公安專業(yè)特色,舉出一些體現(xiàn)公安工作中數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)案例。
3公安工作中數(shù)學(xué)應(yīng)用性的案例教學(xué)
案例1層析成像。線性代數(shù)源自于線性方程組求解問題,學(xué)生在初學(xué)時會覺得問題本身過于初等,初中就開始解方程組了為什么現(xiàn)在還要學(xué)這個?在線性代數(shù)緒論中,筆者引入如下引例,層析成像的基本理論。層析成像的完整理論相當(dāng)復(fù)雜,但其基本思路是通過射線減弱的比例關(guān)系,轉(zhuǎn)化為出線性方程組求解的問題,由此案例可以體現(xiàn)出線性方程組深刻的應(yīng)用內(nèi)涵。當(dāng)然其中還涉及模型的具體構(gòu)建,以及矛盾方程組修正的問題,這與課程主題關(guān)系較遠,可不做說明。案例2PageRank原理。在數(shù)學(xué)課中,線性代數(shù)是比較抽象的,因此格外需要以應(yīng)用性輔助教學(xué),讓學(xué)生明白抽象的理論如何運用到具體案例中。比如《矩陣的特征值特征向量》一章中,我們可以將例題用數(shù)據(jù)庫搜索的模式給出。PageRank是Google創(chuàng)始人拉里•佩奇和謝爾蓋•布林于1997年開發(fā)出的一套用于網(wǎng)頁評級的系統(tǒng)。它區(qū)別于早期的網(wǎng)頁評價系統(tǒng)的基本思想在于不僅考慮網(wǎng)頁的入鏈個數(shù),還要考慮相關(guān)網(wǎng)頁的質(zhì)量因素。設(shè)共有n個網(wǎng)頁,它們之間有一些互相鏈接,開始我們認為它們具有相同的權(quán)重,基于下面兩條基本假設(shè),讓這些網(wǎng)頁之間重新分配權(quán)重,數(shù)量假設(shè):某網(wǎng)頁被其他網(wǎng)頁指向的入鏈個數(shù)越多,則這個網(wǎng)頁越重要。質(zhì)量假設(shè):重要的網(wǎng)頁所指向的網(wǎng)頁也會變得重要,也就是重要網(wǎng)頁通過鏈接傳遞給目標網(wǎng)頁更大的權(quán)重。開始我們可以假設(shè)所有的網(wǎng)頁權(quán)重都是1,即權(quán)重向量為x=(1,1,…,1)T,設(shè)Google矩陣為A,以矩陣乘法重新分配網(wǎng)頁權(quán)重,經(jīng)過多次迭代最終達到穩(wěn)定值,可用y=limn→∞Anx表示。求穩(wěn)定向量y就相當(dāng)于求Ay=y的解,這樣的y就是矩陣A的特征向量。很多數(shù)學(xué)模型題目也都大量運用線性代數(shù)的基本理論,例如2013年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目B———碎紙片的拼接復(fù)原(原題略)就是線性代數(shù)以及線性規(guī)劃的理論的典型應(yīng)用。雖然課上不能展開細講,但是作為案例給學(xué)生簡單進行介紹,可以讓學(xué)生初步了解到數(shù)學(xué)并不是虛無飄渺的純理論科學(xué),它可以和實際問題緊密結(jié)合,以數(shù)學(xué)模型為工具,用理論方法也可以解決現(xiàn)實問題,通過這樣的教學(xué)模式,也讓學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情以及學(xué)習(xí)動力大大提升。還有很多實際的刑偵案例也和數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)模型有千絲萬縷的聯(lián)系。案例3Howland遺囑案。這是19世紀美國最著名的偽造案之一,是由Peirce父子兩位數(shù)學(xué)家的關(guān)鍵證詞而被定案的。案情主要情況如下,SylviaAnnHowland去世后,她的侄女HettyHowlandRob-inson出示了一份遺囑,聲明由她繼承全部遺產(chǎn),而且這份遺囑的第二頁特別聲明,在其之后的所立的任何遺囑均無效,兩頁都有死者的簽名。而遺產(chǎn)執(zhí)行人拒絕其要求,認為第二頁系偽造,因而應(yīng)按照時間稍后的另一份遺囑執(zhí)行。一般認定偽造簽名時,是基于偽造樣本與可靠樣本之間的不同點,但此案恰好相反,Peirce父子利用42個可靠樣本的統(tǒng)計分析,認定第二頁簽名與第一頁過于相似,30處筆鋒向下的部分完全一致,而42個可靠樣本之間的筆鋒一致率僅有20%,Peirce認定“這里出現(xiàn)的一致性必定來自于一種制造它的企圖?!币詫I(yè)的數(shù)學(xué)語言來講,這其實就是分析獨立性假設(shè)的合理性,通過假設(shè)檢驗,用一種“非參數(shù)”方法來分析這樣的數(shù)據(jù),最終證實“這個簽名是真的”這種假設(shè)是錯誤的。
案例4死亡天使案。KristenGilbert,1967年11月13日生于美國馬薩諸塞州,自1989年在VAMC擔(dān)任護士,她經(jīng)常能夠在第一時間發(fā)現(xiàn)病人的危急情況,并且會在急救小組到來之前給病人注射一劑腎上腺素,有些時候能因此拯救病人的生命,因此被稱為“死亡天使”。1996年,同事的3名護士反映她在班期間病人的死亡率會比平時偏高,并根據(jù)一些其他情況,認為她給病人注射過量藥物導(dǎo)致病情發(fā)作,以此來扮演搶救病人的英雄角色,據(jù)此對她提出指控,認為她犯有多重謀殺罪。受醫(yī)院所托,馬薩諸塞大學(xué)的StephenGehl-bach對病房數(shù)據(jù)進行分析,并于1998年向大陪審團提交了經(jīng)由統(tǒng)計分析所得到的結(jié)果。Gehlbach的證詞基于假設(shè)檢驗,下表給出了18個月的病房統(tǒng)計數(shù)據(jù)。單用簡單的除法進行計算,已經(jīng)可以看出死亡天使在班期間死亡率確實高于平時,但就嚴謹?shù)姆沙绦蚨裕@甚至還不足以提出指控,而統(tǒng)計學(xué)的作用正是要抓住數(shù)據(jù)背后的真相,判定這究竟是蓄意還是巧合。Gehlbach的計算結(jié)果如下,如果死亡天使沒有故意殺人的舉措,那么她遇到74例死亡當(dāng)中的40例的概率要小于一億分之一,幾乎是不可能的。本案最終沒有把計算結(jié)果作為直接定罪的證據(jù),但是Gehlbach的分析證實了醫(yī)院死亡率的增加不是偶然因素造成,這樣的計算結(jié)果說明指控Gil-bert蓄意謀殺確有合理的基礎(chǔ)。結(jié)案后,Gehlbech與辯護方數(shù)學(xué)專家合作發(fā)表文章,對此案中的數(shù)學(xué)問題進行了進一步的分析和總結(jié)。
4數(shù)學(xué)模型相對于現(xiàn)實的局限性
數(shù)學(xué)科學(xué)源于現(xiàn)實,又反過來可以應(yīng)用于現(xiàn)實,但是數(shù)學(xué)也不是萬能的,它是公安工作強有力的輔助工具,但是絕對不能完全的代替公安工作,歷史上也曾有過因此出現(xiàn)紕漏的情況。案例5Rossmo的失誤。地理空間分析技術(shù)是指由系列犯罪地點的地理關(guān)系來推斷犯罪嫌疑人可能落腳點及行動規(guī)律的偵查方法,現(xiàn)在已經(jīng)是非常成熟的刑偵方法,KimRossmo正是專門從事此方面研究的專家。真正使他名聲大震的正是他失誤的那一次,路易斯安那州的城南強奸案。Rossmo于1991年給出一個著名的數(shù)學(xué)模型用以確定犯罪嫌疑人所處的熱區(qū),Pij=k∑cn=(1Φ(|xi-xn|+|yi-yn|)f+(1-Φ)(Bg-f)(2B-|xi-xn|-|yi-yn|))g,并以其作為理論基礎(chǔ)編寫了名為Rigel的軟件用來尋找罪犯位置,獲得了一些成果。但是在1998年的城南強奸案中,Rossmo卻出師不利,他使用Rigel將搜索范圍縮小到大約1.25km2的范圍,區(qū)域內(nèi)共有十余名嫌疑犯被逐一排查,但是DNA檢測都與現(xiàn)場證據(jù)不符,案件失去了方向。這時出現(xiàn)了另一條線索,有人匿名檢舉臨近機構(gòu)的司法長官,經(jīng)過偵查取證最后證實此人就是真正的罪犯,但是他的工作居住地點離計算出的熱區(qū)非常遠。事后經(jīng)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)罪犯剛剛搬家,以前居住地就在熱區(qū)當(dāng)中,這恰恰說明模型沒有錯誤,而僅僅是偵查上的失誤,Rossmo也因此案名聲大震,成為偵查界的知名人士。由這個案例可以看出,現(xiàn)實世界具有無窮的復(fù)雜性,而數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)模型是單純的,我們只能用數(shù)學(xué)模型來高度概括模擬現(xiàn)實,卻不能用它來代替現(xiàn)實。如果遇到無法解決的問題,并不是說數(shù)學(xué)錯了,而是我們的已知條件還不夠多,模擬還不夠精確,我們所要做的應(yīng)該是修正模型,尋找新的條件,這也正是數(shù)學(xué)的魅力所在。
5結(jié)語
直觀性和應(yīng)用性的內(nèi)涵相當(dāng)豐富,限于水平和篇幅,筆者只能從相當(dāng)粗淺的角度將其滲透到課堂當(dāng)中,對教學(xué)方法做出一些皮毛上的革新。但筆者也認為在科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的時代,在教學(xué)改革創(chuàng)新日新月異的今天,以直觀性和應(yīng)用性原則輔助數(shù)學(xué)教學(xué)還有極為廣闊的發(fā)展空間。筆者此文權(quán)當(dāng)拋磚引玉,希望相關(guān)學(xué)者與教育專家以及各位同事能夠?qū)?shù)學(xué)直觀和數(shù)學(xué)應(yīng)用再多一些關(guān)注和研究,以數(shù)學(xué)直觀揭示數(shù)學(xué)本質(zhì),以數(shù)學(xué)應(yīng)用推動學(xué)科結(jié)合,給課堂教學(xué)注入新的理念和活力,在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域開辟一片新的天空。
作者:管濤 左萍 單位:中國人民公安大學(xué)網(wǎng)絡(luò)安全保衛(wèi)學(xué)院