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數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用

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數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用

[摘要]筆者先提出數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的重要性,然后分析目前教學(xué)中所存在的教學(xué)方式的問題。最后,筆者以“數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠”這節(jié)課為例,將數(shù)學(xué)史融入該教學(xué)案例的設(shè)計與解析。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)史;小學(xué)數(shù)學(xué);教學(xué)方式

1數(shù)學(xué)史的重要性

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化傳播的一種重要的體現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)史之于數(shù)學(xué)教學(xué)的價值早在19世紀(jì)就被一些西方數(shù)學(xué)家所認(rèn)識。1972年,在英國??巳兀‥xeter)召開的第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上,成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組(InternationalStudyGroupontheRelationsbetweenHistoryandPedagogyofMathematics,簡稱HPM)。1976年,HPM開始隸屬于國際數(shù)學(xué)教育委員會(ICMI)。其中就有一個工作小組負(fù)責(zé)如何納數(shù)學(xué)史為一種數(shù)學(xué)工具,也就是:在數(shù)學(xué)課程中,試著為數(shù)學(xué)史尋求一個定位。這樣的研究群組目的是結(jié)合數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué),以便提升數(shù)學(xué)教育的成效。數(shù)學(xué)史對激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生的品格和思想,熏陶學(xué)生不畏艱難的性格等都有重要的作用?,F(xiàn)在世界上越來越多的國家開設(shè)數(shù)學(xué)史課程,而且大都從培養(yǎng)愛國主義的狹隘天地轉(zhuǎn)向為培養(yǎng)能力和思想。從數(shù)學(xué)史可清楚看出,無論是數(shù)學(xué)的概念還是數(shù)學(xué)的運算、規(guī)則等都是由于現(xiàn)實世界的實際需要而形成的。數(shù)學(xué)是現(xiàn)實世界的抽象反映和人類經(jīng)驗的總結(jié),數(shù)學(xué)教育如果脫離了那些豐富多彩而又錯雜的背景材料,就將成為“無源之水,無本之木”。數(shù)學(xué)教育是現(xiàn)實數(shù)學(xué)的教育。

2存在的問題

但通過一些公開課的觀察發(fā)現(xiàn):數(shù)學(xué)史融入小學(xué)課堂依舊簡單機(jī)械,過于生硬。很多教師都是在數(shù)學(xué)課堂開始或者結(jié)束前增加一個介紹數(shù)學(xué)史料的環(huán)節(jié),如數(shù)學(xué)家的生平故事、概念的發(fā)展歷程、有趣的歷史名題等,以此試圖激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,為課堂增添一抹亮色。增加的數(shù)學(xué)史料形式上圖文并茂,配上動聽的音樂,確實讓學(xué)生在枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感覺到了一絲新鮮。但是,如此處理數(shù)學(xué)史料,不過是停留在知識拓展的低水平狀態(tài),對歷史進(jìn)行簡單的拼湊,使得數(shù)學(xué)史料與小數(shù)學(xué)課堂產(chǎn)生裂痕。所以說將數(shù)學(xué)史料融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂絕不應(yīng)僅僅是簡單的嫁接或移植。我們要選取行之有效的數(shù)學(xué)史方面的教學(xué)素材,采用與一般模式不同的教學(xué)方式,將數(shù)學(xué)史很自然地融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂,讓學(xué)生站在古人的肩膀上體會數(shù)學(xué)思想,感受數(shù)學(xué)的魅力,欣賞數(shù)學(xué),愛慕數(shù)學(xué),享受數(shù)學(xué)。

3數(shù)學(xué)史融入教學(xué)案例設(shè)計與解析

筆者選取人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊第九章“數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠”這一教學(xué)片段來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計并進(jìn)行此課堂教學(xué)案例效果分析。數(shù)學(xué)名題之所以流傳不衰,其中蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法。雞兔同籠問題實質(zhì)上是用“二元一次方程組”解決問題的一個經(jīng)典數(shù)學(xué)名題。公元400年,中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》成書,王卷當(dāng)中卷下第31問記錄了著名的“稚兔同籠”問題:今有稚兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足。問稚、兔各幾何?答曰:稚二十三,兔一十二。解答方法之一便是:上置三十五頭。下置九十四足。半其足,得四十七。以少減多,再命之。上三除下四,上五除下七。下有一除上三,下有二除上五,即得。解答方法之二是:上置頭,下置足。以頭除足,以足除頭,即得[2]。其中滲透了化繁為簡、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型這些數(shù)學(xué)思想。在小學(xué)階段,人教版四年級下冊《數(shù)學(xué)廣角》從《孫子算經(jīng)》的經(jīng)典數(shù)學(xué)名題引入,主要要求學(xué)生用列表法、假設(shè)法來解決問題,在閱讀資料中也介紹了抬腳法。雞兔同籠問題實質(zhì)上是雞兔同籠類的問題。如在清代李汝珍的著作《鏡花緣》中第93回眾才女在小整山賞燈時,出現(xiàn)了兩個與“稚兔同籠”問題的數(shù)量關(guān)系相互類似的問題。燈謎一:大廳有兩種燈,一種掛1個大球,下掛2小球;另一種掛1個大球,下掛4個小球。大球共掛360個,小燈球共掛1200個。兩種燈各有多少盞?燈謎二:樓上有兩種燈,一種燈上掛3個大球,下掛6個小球,大小球總共9個是一盞燈;另一種燈上掛3個大球,下掛18個小球,大小球總共21個是一盞燈。大燈球共396個,小燈球共1440個。兩種燈各有多少盞?文中,才女蘭芬對燈謎一給出的解答為:“將小燈球1200減半為600,用大球360減之,剩下240,是240盞四小球燈;用360減去240,剩下120,是120盞二小球燈。”這一中解題的思考方法跟《孫子算經(jīng)》中“稚兔同籠”的“半足法”的思考方法相同,先把1200個小燈球減去一半變?yōu)?00個,然后用600減去大燈球的個數(shù)360,剩下240,就是四小球燈的數(shù)量。再用大燈球個數(shù)360減去240,剩下120,就是二小球燈的數(shù)量。寫成算式就簡潔明了:1200÷2=600(個)600-360=240(盞)蘭芬對燈謎二的解法是:“先把一千四百四十減半成為卡百二十,用大球三百九十六減之,剩余三百二十四,用六歸之,得五十四,是掛十八小球燈五十四盞;用三乘五十四,得到一百六十二,減去大球三百九十六,剩余二百三十四,用三歸之,得到七十八,就是掛六小球燈的數(shù)目[3]”。簡而言之,就是先把小燈球數(shù)減半,再用720減去大燈球數(shù)量396得到324,用324除以6得到54,用54乘3得到162,用大燈球數(shù)396減去162得到234,最后234除以3等于78,就是掛6個小球的燈的個數(shù)。這一算法顯然是借鑒了《孫子算經(jīng)》中的“半足法”。古籍中類似這樣的題可以介紹給學(xué)生一觀。在國外,由于引用的典型例子不同,有不同的名稱。如日本是用龜鶴代替了雞兔,所以把這類題稱為龜鶴同游問題。人們還以獵人與狗為素材創(chuàng)編了兒歌。因此這類問題又可以稱為“人狗同行”問題。在引導(dǎo)學(xué)生解決了“雞兔同籠”問題后,教師可以進(jìn)一步列舉“龜鶴同游問題”和“人狗同行”問題。如筆者在講完雞兔同籠題后,繼續(xù)深入。教師:不僅中國人研究這類問題,日本人也研究,他們稱雞兔同籠為龜鶴問題(龜鶴同籠,共有40個頭,112只腳,問龜、鶴各有幾只?)。提問:日本人說的龜鶴跟我們說的雞兔有關(guān)聯(lián)嗎?學(xué)生:鶴跟雞一樣,都有兩只腳,龜和兔一樣的,都有四只腳。教師;那么這道龜鶴同籠問題你能解決嗎?預(yù)設(shè):龜(112-40×2)÷2=16(只),鶴40-16=24(只)。小結(jié):龜鶴同籠和雞兔同籠是具有相同思考方法的同一類型的數(shù)學(xué)問題。教師:教師在搜索這類數(shù)學(xué)問題時,還發(fā)現(xiàn)一首有趣的兒歌。兒歌:一隊獵人一隊狗,兩列并成一隊走。數(shù)頭共有五十五,數(shù)腳共有一百九。教師:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了雞兔同籠,龜鶴同籠。那么這首兒歌大家也取個名字。學(xué)生:人狗共走。教師:把人狗共走的兒歌跟雞兔同籠比較,你有什么想法嗎?學(xué)生:我覺得它跟雞兔同籠問題是一樣的,獵人相當(dāng)于雞,有兩只腳。狗相當(dāng)于兔,四只腳。所以解決問題的思考方式相同。教師:同學(xué)們同意他的理解方式嗎?學(xué)生:同意。教師:看來同學(xué)們已經(jīng)能夠把握住了這類題目的關(guān)鍵,找到了它們的數(shù)量關(guān)系。板書:兩只腳:獵人-雞-鶴,四只腳:狗-兔-龜。教師:我們回顧這堂課,從雞兔同籠演變到龜鶴同游,再演變到人狗同行,你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?雞兔同籠這一歷史名題吸引古今這么多人去解有什么獨特的魅力?學(xué)生1:雞兔同籠的思考方法很有趣。學(xué)生2:甚或中好多種和雞兔同籠類似的情況?!半u兔同籠”問題的教學(xué)就是通過實際生活情境,讓學(xué)生領(lǐng)悟“發(fā)現(xiàn)、抽象、簡化、解決、處理”問題的整個思維過程。通過“雞兔”的具體講解,引導(dǎo)學(xué)生初步對問題本質(zhì)提煉之后,然后通過“龜鶴”“人狗”兩個不同情境突出數(shù)量差異的變化,進(jìn)而提煉出簡單的問題模型。最后,如果要完成模型的建構(gòu)與應(yīng)用,則應(yīng)該將模型演繹到學(xué)生的各種生活情境和問題情境中,促進(jìn)學(xué)生對模型的進(jìn)一步內(nèi)化。從數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)角度來說,學(xué)生先對雞兔同籠問題做了初步的提煉,教師通過搜集國外的數(shù)學(xué)史料,提出問題變式,讓學(xué)生進(jìn)一步去埋解識別模型。在情境和數(shù)字的“變化”中體會到問題“結(jié)構(gòu)”和分析思路上的“不變”,進(jìn)而形成此“類”問題的思維模型。通過這一融入國內(nèi)外數(shù)學(xué)名題教學(xué),學(xué)生不僅經(jīng)歷了生活問題數(shù)學(xué)化的過程,而且感受到數(shù)學(xué)模型的為量和經(jīng)典歷史名題魅力長存的秘密。讓學(xué)生在數(shù)學(xué)史的背景下感受數(shù)學(xué)的魅力,教師通過這種形式滲透數(shù)學(xué)思想,這是數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)努力去嘗試和創(chuàng)新的一個方向,讓數(shù)學(xué)變得有趣真實奇妙。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

[2]陳鋼.《孫子算經(jīng)》及雞兔問題[J].湖南教育,1995(2):44.

[3]郜舒竹.“雞兔同籠”算法源流[J].教學(xué)月刊:小學(xué)版(數(shù)學(xué)),2012(7/8):26-29.

作者:王小平 單位:武漢城市職業(yè)學(xué)院