數(shù)學(xué)解題思維數(shù)學(xué)論文

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一、分解法解題思維

分解法解題是指將一個(gè)復(fù)雜問題分解為幾個(gè)小問題，或者將其解題過程分成幾個(gè)步驟，之后逐步解決。例如，求證：正n面體(n=4、6、8、12、20)內(nèi)任一點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和是一定值。這道題抽象程度較高，將其由難化簡(jiǎn)，分解成幾個(gè)小問題。問題1，正n邊形內(nèi)任何一點(diǎn)到各邊的距離之和是一定值。我們進(jìn)一步具體化，將正n邊形確定為正三角形；問題2，正三角形內(nèi)部任何一點(diǎn)到三邊的距離之和是一個(gè)定值。這樣一個(gè)較難的問題就可以通過較簡(jiǎn)單的方式加以解決。證明如下：設(shè)P為正三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，P到三邊的距離為PD、PE、PF，正三角形ABC的面積為S，邊長(zhǎng)為a，∵S△PAB+S△PBC+S△PCA=S,∴12（PDa+PEa+PFa）=S,∴PD+PE+PF=2Sa為定值。參照問題2的證明，則可證明問題1。

二、特殊值代入解題思維

特殊值代入法是數(shù)學(xué)中常用的一種方法，能夠在所有值中逐一考慮，選擇最簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)進(jìn)行代入，避開常規(guī)解法，跳出傳統(tǒng)思維，更加簡(jiǎn)潔的進(jìn)行解題。初中數(shù)學(xué)的難度雖然不大，但是作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，初中數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的解題思維。初中數(shù)學(xué)的問題設(shè)置中體現(xiàn)了一定的難度，以求引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行探索，改變單一的解題思維，對(duì)于部分?jǐn)?shù)學(xué)問題可以進(jìn)行創(chuàng)新型、便捷性思考。例如分解因式題：x2+2xy-8y2+2x+14y-3。在這道題中，教師可以先運(yùn)用常規(guī)的解法進(jìn)行解題，然后引導(dǎo)學(xué)生從巧取特殊值的思路出發(fā)，將其中的一個(gè)未知數(shù)設(shè)為0，暫時(shí)隱去這個(gè)未知數(shù)，對(duì)另一個(gè)未知數(shù)的式子進(jìn)行分解，實(shí)現(xiàn)化二元為一元的目的。令y=0，得x2+2x-3=(x+3)(x-1)；令x=0，得-8y2+14y-3=(-2y+3)(4y-1)。兩次分解的一次項(xiàng)系數(shù)為1、1；-2、4，運(yùn)用十字相乘進(jìn)行試驗(yàn)，即1×4+(-2)×1，正好為原式中的xy項(xiàng)系數(shù)。因此，可得，x2+2xy-8y2+2x+14y-3=(x-2y+3)(x+4y-1)。從上面的解析中可以看出，特殊值代入法（本題中使用的是取零法）能夠在因式分解中發(fā)揮奇妙的作用。從上題中可以進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，因式分解中特殊值代入法的解題思路為：①把多項(xiàng)式中的一個(gè)未知數(shù)設(shè)為0化簡(jiǎn)后進(jìn)行因式分解；②把多項(xiàng)式中的另一個(gè)未知數(shù)設(shè)為0化簡(jiǎn)后也進(jìn)行因式分解；③把兩步分解形成的結(jié)果進(jìn)行綜合驗(yàn)證，如果兩次分解的一次因式中的常數(shù)項(xiàng)相等，即可得出題中多項(xiàng)式的分解結(jié)果。

三、歸納猜想解題思維

在數(shù)學(xué)試題中常見的一種就是找規(guī)律題，這種題目中條件都十分隱蔽，學(xué)生常常會(huì)感到無從下手。這種題目需要利用數(shù)學(xué)的歸納猜想思維，對(duì)題目進(jìn)行觀察，找到題目隱含的規(guī)律。例如：觀察下列各式：1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42，……，①?gòu)纳厦娴氖阶又锌梢缘贸觯?+3+5+7+9+11=()2；②從上面的式子中可以猜想：1+3+5+……+（）=n2；③根據(jù)②猜想得出的結(jié)論進(jìn)行填空：1+3+5+……+()=522.解法分析：對(duì)于第①問，一種是直接相加，可以得出1+3+5+7+9+11=36=62，可以得出括號(hào)中應(yīng)該填6；第二種經(jīng)過觀察可以先填出缺項(xiàng)即1+3+5+7+9=52，可以推出下面的一個(gè)等式右邊應(yīng)該為62，經(jīng)過驗(yàn)證，正確。對(duì)于第②問，需要研究左邊最后一項(xiàng)與右邊冪底數(shù)之間的關(guān)系，在題目中是3與2，5與3，7與4，9與5，11與6，可以發(fā)現(xiàn)，左邊最后一項(xiàng)的數(shù)字是右邊冪底數(shù)數(shù)字的2倍減1，所以當(dāng)右邊冪底數(shù)數(shù)字為n時(shí)，左邊最后一個(gè)數(shù)字應(yīng)該為2n-1。可以得出第②問的答案是1+3+5+……+（2n-1）=n2；有了第②問的規(guī)律，可以很容易得出第③問的答案，即當(dāng)n=52時(shí)，左邊最后一項(xiàng)的數(shù)字為2n-1=2×52-1=103。在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題思維的引導(dǎo)中，教師應(yīng)當(dāng)改變傳統(tǒng)的教學(xué)理念，精心設(shè)置作業(yè)，對(duì)一種題型可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多種方法解題，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自身的能動(dòng)性和創(chuàng)造性，多角度的分析問題。

作者：宗乾 單位：江蘇省泰州市田河初級(jí)中學(xué)