三角形中線定理精選(九篇)

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第1篇：三角形中線定理范文

關(guān)鍵詞：三角形；重心；內(nèi)心；垂心；外心；旁心；界心

引言：三角形的心是三角形的重要幾何點(diǎn)。目前對(duì)三角形心的研究大致有四個(gè)方向：三線共點(diǎn)問(wèn)題[1]、三角形各心性質(zhì)[2]、三角形各心坐標(biāo)及心距公式[4]、歐拉定理―三心共線。

1三角形各心的概念

定理1：三角形的三條中線、三條高線、三條內(nèi)角平分線、三邊垂直平分線、一條內(nèi)角平分線和其它兩個(gè)角的外角平分線、三邊周界中線[5]都交于一點(diǎn)。

定義：三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心、界心分別是此三角形三條中線、三條高線、三條內(nèi)角平分線、三邊垂直平分線、一條內(nèi)角平分線和其它兩個(gè)角的外角平分線、三邊周界中線所交成的點(diǎn)。

2各心在三角形中的位置分布

定理2：重心、內(nèi)心與界心一定在三角形內(nèi)部。

事實(shí)上據(jù)公理“平面內(nèi)兩直線被第三條直線所截，若同旁?xún)?nèi)角之和不等于二直角，則兩直線必相交；且交點(diǎn)在內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)?！倍ɡ沓闪⑹秋@然的。

定理3：旁心一定在三角形外部。

事實(shí)上：兩外角平分線一定交于三角形的外部。

定理4：外心可以在三角形內(nèi)部、外部或邊上；垂心可以在三角形內(nèi)部、外部或頂點(diǎn)。

事實(shí)上：銳角三角形的外心與垂心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心與垂心在三角形外部；直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)處，垂心與直角頂點(diǎn)重合。

推論：三角形某心在其周邊上，則此三角形一定是直角三角形；且這樣的心只能是在直角三角形斜邊中點(diǎn)的外心，或者與三角形直角頂點(diǎn)重合的垂心。

3定理5：有兩心重合的三角形是等邊三角形。

引理：對(duì)同一個(gè)三角形，旁心與其它幾心均不可能重合。

由定理3：三角形的旁心只可能與外心與垂心重合。事實(shí)上是不可能做到的。以外心為例，如圖1，設(shè)P為ΔABC的其一旁心，不妨設(shè)點(diǎn)P為∠B與∠C的外角平分線的交點(diǎn)。則過(guò)P作垂直于AB、AC的直線。交點(diǎn)均在線段AB、AC的延長(zhǎng)線上。即P點(diǎn)不可能是此三角形的外心。

因此證明有兩心重合的三角形是等邊三角形，只需要證：外心、內(nèi)心、垂心、重心、界心的兩兩重合定理均成立即可。事實(shí)上：

（1）外心與內(nèi)心重合

如圖2，若ΔABC的外心與內(nèi)心重合，

則其內(nèi)切圓和外接圓是同心圓。

據(jù)垂徑定理，以及全等三角形性質(zhì)即知：

ΔABC是等邊三角形；

（2）內(nèi)心與垂心重合

如圖3，設(shè)ΔABC三條高線交于一點(diǎn)H，又H是內(nèi)心

∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD

ΔABCΔACD從而AB=AC；

同理：AB=BCΔABC是等邊三角形；

（3）垂心與界心重合

如圖3，設(shè)ΔABC三條周界中線交于點(diǎn)K，由界心性質(zhì)：

AB+BD=AB+AE=12s，BD=AE又K是ΔABC的垂心，∠AEB=∠ADB=90°

又∠AKE=∠BKD，ΔAKEΔBKDBE=AD，∠CAD=∠CBE.

ΔADCΔBEC從而AC=BC.同理可得：AB=AC.

ΔABC是等邊三角形；

（4）界心與重心重合

如圖3，設(shè)ΔABC三條中線交于一點(diǎn)G，D、E、F是各邊的中點(diǎn)，又G是界心，

AB+BD=AC+DC，AB+AE=BC+ECAB=AC，AB=BC＼

ΔABC是等邊三角形；

（5）重心與外心重合

如圖3，設(shè)ΔABC三條中線交于一點(diǎn)G，D、E、F是各邊的中點(diǎn)，

又G是外心，AG=BG∠BAD=∠ABE，又AF=BFΔAFGΔBFG

∠AFC=∠BFC=90°CF垂直平分線段ABAC=BC

同理可證：BE垂直平分線段AC，從而AB=BC.ΔABC是等邊三角形。

綜上，有兩心重合的三角形是等邊三角形。

參考文獻(xiàn)

[1]樊群濤三角形“三心”的完美統(tǒng)一[J]中學(xué)生數(shù)學(xué)，2005，22

[2]李明、嚴(yán)忠三角形各心的性質(zhì)[J]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，1993，1：11-14

[3]饒克勇數(shù)形結(jié)合的魅力―三角形五心坐標(biāo)及其應(yīng)用[J]昭通師專(zhuān)學(xué)報(bào)，1993，15（4）：20-38

第2篇：三角形中線定理范文

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；逆向思維；培養(yǎng)途徑

1 引言

數(shù)學(xué)是一門(mén)十分重要的學(xué)科，它在我們的現(xiàn)實(shí)生活中也有著很大的用途，所以說(shuō)學(xué)好數(shù)學(xué)是非常有利于學(xué)生將來(lái)學(xué)業(yè)的發(fā)展的。在我們的課堂里，數(shù)學(xué)教學(xué)中，逆向思維能起到的效果會(huì)讓你意想不到，它不僅能夠開(kāi)拓學(xué)生的想象空間與理解基礎(chǔ)的知識(shí)，更能發(fā)現(xiàn)解題的技巧跟克服遲滯性的思維。

2 基本定義公式和定理教學(xué)的逆向思維應(yīng)用

概念具有兩個(gè)要素：內(nèi)涵與外延，兩者存在反比關(guān)系，內(nèi)涵豐富外延就小，內(nèi)涵少則外延就廣，數(shù)學(xué)概念也是如此。在教授概念時(shí)，在對(duì)概念內(nèi)涵與外延進(jìn)行深入剖析的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過(guò)逆向思維體會(huì)概念存在的充分條件和必要條件。

3 充分利用習(xí)題訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

習(xí)題訓(xùn)練也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要途徑之一。教師有意識(shí)地選編一些習(xí)題，進(jìn)行逆向思維的專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，對(duì)提高學(xué)生的逆向思維能力能夠起到很大的促進(jìn)作用。數(shù)學(xué)中的許多公式、法則都可用等式表示。等號(hào)所具有的雙向性學(xué)生容易理解，但很多學(xué)生習(xí)慣于從左到右運(yùn)用公式、法則，而對(duì)于逆向運(yùn)用卻不習(xí)慣，因此，在數(shù)學(xué)公式、法則的教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)公式法則的逆用指導(dǎo)，使學(xué)生明白，只有靈活地運(yùn)用，才能使解題得心應(yīng)手。

分析：只注意到結(jié)果中的x（x-1）2是積的形式，卻忽略了小尾巴“-2”使積成了和，應(yīng)該這樣做原式=（x3-2x2）+（x-2）=（ x-2）（ x2+1）

4 要注意引導(dǎo)學(xué)生探索定理的逆命題是否成立

初中的數(shù)學(xué)命題中，很多性質(zhì)定理和判定定理互為逆定理。對(duì)于數(shù)學(xué)定理，探索其逆命題是否成立，既可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造性思維。

例如，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可分為三種情況：頂角平分線和底邊上的中線互相重合；頂角平分線和底邊上的高互相重合；底邊上的中線和高相互重合。這三種情況都易于證明，其逆命題是否成立？三種情況是否都成立？學(xué)生探索后發(fā)現(xiàn)：一邊上的中線和高互相重合的三角形是等腰三角形，一角平分線和對(duì)邊上的高相互重合的三角形是等腰三角形，而一角平分線和對(duì)邊中線相互重合的三角形是等腰三角形卻沒(méi)法證明。三種情況的不同，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

又如，對(duì)頂角相等是正確的，而其逆命題：相等的角是對(duì)頂角卻不正確。數(shù)學(xué)命題的正確與否，說(shuō)明方法有兩種：證明和反例。證明即肯定一個(gè)命題，必須在題設(shè)的條件下，對(duì)所有可能情形都證明其結(jié)論正確，而否定一個(gè)命題時(shí)只要舉一個(gè)符合題設(shè)而結(jié)論不成立的例子，即反例即可。反例是突破固有定向思維而從問(wèn)題的逆向思考的。因而，反例教學(xué)也是培養(yǎng)逆向思維的一條重要途徑。在教學(xué)中，反例教學(xué)要引起足夠的重視。三、要注意引導(dǎo)學(xué)生探索定理的逆命題是否成立。

初中的數(shù)學(xué)命題中，很多性質(zhì)定理和判定定理互為逆定理。對(duì)于數(shù)學(xué)定理，探索其逆命題是否成立，既可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造性思維。

例如，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可分為三種情況：頂角平分線和底邊上的中線互相重合；頂角平分線和底邊上的高互相重合；底邊上的中線和高相互重合。這三種情況都易于證明，其逆命題是否成立？三種情況是否都成立？學(xué)生探索后發(fā)現(xiàn)：一邊上的中線和高互相重合的三角形是等腰三角形，一角平分線和對(duì)邊上的高相互重合的三角形是等腰三角形，而一角平分線和對(duì)邊中線相互重合的三角形是等腰三角形卻沒(méi)法證明。三種情況的不同，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

第3篇：三角形中線定理范文

教學(xué)建議

知識(shí)結(jié)構(gòu)

重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用是本節(jié)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)．

它是本章的主要內(nèi)容之一，是在學(xué)完相似三角形判斷的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究相似三角形的性質(zhì)，以完成對(duì)相似三角形的定義、判定和性質(zhì)的全面研究．相似三角形的性質(zhì)還是研究相似多邊形性質(zhì)的基礎(chǔ)，是今后研究圓中線段關(guān)系的工具．

它的難度較大，是因?yàn)榍懊嫠鶎W(xué)的知識(shí)主要用來(lái)證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等，兩條直線平行、垂直等．借助于圖形的直觀可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究線段之間的比例關(guān)系，借助于圖形進(jìn)行觀察比較困難，主要是借助于邏輯的體系進(jìn)行分析、探求，難度較大．

教法建議

1.教師在知識(shí)的引入中可考慮從生活實(shí)例引入，例如照片的放大、模型的設(shè)計(jì)等等

2.教師在知識(shí)的引入中還可以考慮問(wèn)題式引入，設(shè)計(jì)一個(gè)具體問(wèn)題由學(xué)生參與解答

3.在知識(shí)的鞏固中要注意與全等三角形的對(duì)比

（第1課時(shí)）

一、教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生進(jìn)一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性質(zhì)定理1．

2．學(xué)生掌握綜合運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理1來(lái)解決問(wèn)題．

3．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比的教學(xué)思想．

4．通過(guò)相似性質(zhì)的學(xué)習(xí)，感受圖形和語(yǔ)言的和諧美

二、教法引導(dǎo)

先學(xué)后教，達(dá)標(biāo)導(dǎo)學(xué)

三、重點(diǎn)及難點(diǎn)

1．教學(xué)重點(diǎn)：是性質(zhì)定理1的應(yīng)用．

2．教學(xué)難點(diǎn)：是相似三角形的判定1與性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用．

四、課時(shí)安排

1課時(shí)

五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀、膠片、常用畫(huà)圖工具．

六、教學(xué)步驟

［復(fù)習(xí)提問(wèn)］

1．三角形中三種主要線段是什么？

2．到目前為止，我們學(xué)習(xí)了相似三角形的哪些性質(zhì)？

3．什么叫相似比？

［講解新課］

根據(jù)相似三角形的定義，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．

下面我們研究相似三角形的其他性質(zhì)（見(jiàn)圖）．

建議讓學(xué)生類(lèi)比“全等三角形的對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線相等”來(lái)得出性質(zhì)定理1．

性質(zhì)定理1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分的比都等于相似比

∽，

，

教師啟發(fā)學(xué)生自己寫(xiě)出“已知、求證”，然后教師分析證題思路，這里需要指出的是在尋找判定兩三角形相似所欠缺的條件時(shí)，是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到的，這種綜合運(yùn)用相似三角形判定與性質(zhì)的思維方法要向?qū)W生講清楚，而證明過(guò)程可由學(xué)生自己完成．

分析示意圖：結(jié)論∽（欠缺條件）∽（已知）

∽，

BM=MC，

∽，

以上兩種情況的證明可由學(xué)生完成．

［小結(jié)］

本節(jié)主要學(xué)習(xí)了性質(zhì)定理1的證明，重點(diǎn)掌握綜合運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)的思維方法．

第4篇：三角形中線定理范文

我們?cè)谇懊嫜芯繄D形的過(guò)程中，一直有一根“線”——“對(duì)稱(chēng)”在引導(dǎo)著我們?nèi)フJ(rèn)識(shí)圖形. 由“軸對(duì)稱(chēng)”得到等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、角平分線、中垂線性質(zhì)，由“中心對(duì)稱(chēng)”得到平行四邊形、矩形、菱形、正方形及中位線的性質(zhì). 在這一章中上述結(jié)論的再學(xué)習(xí)并不是游離于以往的探索經(jīng)驗(yàn)，而是依然建立在我們對(duì)“對(duì)稱(chēng)”的理解和認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，繼續(xù)發(fā)揮這根“線”的作用，借助曾經(jīng)的實(shí)驗(yàn)操作方法，就能幫助我們確定證明的方法.

知識(shí)點(diǎn)1 等腰三角形的兩個(gè)底角相等

【透析】 應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)定理證明兩個(gè)角相等時(shí)，必須是這兩個(gè)角在同一個(gè)三角形中，否則結(jié)論不一定成立.

知識(shí)點(diǎn)2 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合

【透析】 這個(gè)定理簡(jiǎn)稱(chēng)為“三線合一”，應(yīng)用的前提條件是三角形必須為等腰三角形. 在解決有關(guān)等腰三角形的問(wèn)題中，經(jīng)常需要添加輔助線，雖然等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，但是如何添加輔助線要由具體情況來(lái)決定，作輔助線時(shí)只需作出一條，再根據(jù)性質(zhì)得出另外兩條.

知識(shí)點(diǎn)3 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

【透析】 此定理是直角三角形全等的判定定理，只能用在直角三角形中，對(duì)于一般三角形是不成立的. 證明中，主要涉及兩種方法：圖形的“拆”（把一個(gè)等腰三角形拆成兩個(gè)全等的直角三角形）和“拼”（把兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)等腰三角形），體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，即把待證的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可證的問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)4 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

【透析】 這里的“距離”是指“點(diǎn)到直線的距離”，因此在應(yīng)用時(shí)必須含有“垂直”這個(gè)條件，否則不能得到線段相等.

知識(shí)點(diǎn)5 菱形的性質(zhì)

【透析】 菱形也是特殊的平行四邊形，它也具有平行四邊形的所有性質(zhì)，它的獨(dú)特性質(zhì)主要體現(xiàn)在：（1） 4條邊都相等，對(duì)角線互相垂直；（2） 菱形的對(duì)角線把菱形分成4個(gè)全等的直角三角形；（3） 計(jì)算菱形的面積除利用平行四邊形的面積的計(jì)算公式外，當(dāng)a，b分別表示兩條對(duì)角線的長(zhǎng)時(shí)，菱形的面積為s=ab.

知識(shí)點(diǎn)6 矩形的判定

【透析】 矩形的每種判定方法都必須有兩個(gè)條件. （1） 定義判定：① 平行四邊形；② 有一個(gè)角是直角. （2） 判定定理1：① 平行四邊形；② 對(duì)角線相等. （3） 判定定理2：① 四邊形；② 有3個(gè)角是直角.

知識(shí)點(diǎn)7 菱形的判定

【透析】 若已知的四邊形是平行四邊形，要證它是菱形，需要證它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；當(dāng)四邊形是一般的四邊形，要證它是菱形，可以證它的四條邊相等或先證它是一個(gè)平行四邊形，再證它是菱形.

知識(shí)點(diǎn)8 正方形的判定

【透析】 判定一個(gè)四邊形是正方形的主要途徑有兩條：（1） 先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；（2） 先證它是菱形，再證有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等.

知識(shí)點(diǎn)9 等腰梯形的判定

【透析】 等腰梯形判定的一般步驟：先判定一個(gè)四邊形是梯形，再用“兩腰相等”或“在同一底上的兩個(gè)角相等或?qū)蔷€相等”來(lái)判定它是等腰梯形.

第5篇：三角形中線定理范文

例1 如圖，將兩根鋼條AA′，BB′的中點(diǎn)O連在一起，使AA′，BB′可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測(cè)量工件，則AB的長(zhǎng)等于內(nèi)槽寬A′B′，那么判定AOB≌A′OB′的理由是（ ）

A.邊角邊 B.角邊角 C.邊邊邊 D.角角邊

思路分析：

（1）題意分析：本題考查全等三角形的判定。

（2）解題思路：新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)加強(qiáng)了數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)踐與綜合應(yīng)用，從各地的中考應(yīng)用題可以看出，它已不再局限于傳統(tǒng)而古老的列方程（組）解應(yīng)用題這類(lèi)題目，而是呈現(xiàn)了建模方式多元化的新特點(diǎn)，幾何應(yīng)用題就是其中之一。本題利用全等三角形來(lái)解決實(shí)際中工件測(cè)量的問(wèn)題，其理論依據(jù)是“邊角邊”，故答案為A。

解答過(guò)程：A

解題后的思考：判定三角形全等的方法。

（1）邊角邊定理、角邊角定理、邊邊邊定理、斜邊直角邊定理。

（2）推論：角角邊定理。

例2 如圖，A、B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩側(cè)，池塘西邊有一座假山D，在DB的中點(diǎn)C處有一個(gè)雕塑，張倩從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線AC一直向前經(jīng)過(guò)點(diǎn)C走到點(diǎn)E，并使CE=CA，然后她測(cè)量點(diǎn)E到假山D的距離，則DE的長(zhǎng)度就是A、B兩點(diǎn)之間的距離。

（1）你能說(shuō)明張倩這樣做的根據(jù)嗎？

（2）如果張倩恰好未帶測(cè)量工具，但是知道點(diǎn)A和假山、雕塑分別相距200米、120米，你能幫助她確定AB的長(zhǎng)度范圍嗎？

（3）在第二問(wèn)的啟發(fā)下，你能“已知三角形的一邊和另一邊上的中線，求第三邊的范圍嗎？”請(qǐng)你解決下列問(wèn)題：在ABC中，AD是BC邊的中線，AD=3cm，AB=5cm，求AC的取值范圍。

思路分析：

（1）題意分析：本題考三角形全等三角形的應(yīng)用。

（2）解題思路：欲求AB的距離，但不宜測(cè)量，實(shí)際生活中這種情況較多，我們可以用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決，比如說(shuō)全等，用等量來(lái)代換，即找到與AB相等的線段DE，這樣問(wèn)題就解決了。第二問(wèn)是根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊來(lái)解決。第三問(wèn)是在第二問(wèn)基礎(chǔ)上的綜合提高，有一定的區(qū)分度，采用的是“倍長(zhǎng)中線法”。

解答過(guò)程：（1）ABC≌EDC；（2）40米

解題后的思考：

（1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等。

（2）不能證明兩個(gè)三角形全等的是①三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即AAA；②有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，即SSA。

全等三角形是研究?jī)蓚€(gè)封閉圖形之間關(guān)系的基本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具。在平面幾何知識(shí)的應(yīng)用中，若要證明線段相等或角相等，或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置，常要借助全等三角形的知識(shí)。

小結(jié)：通過(guò)對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過(guò)下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的。

1.翻折

如圖（1），DBOC≌DEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直線AO翻折180°得到的；

2.旋轉(zhuǎn)

如圖（2），DCOD≌DBOA，DCOD可以看成是由DBOA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到的；

3.平移

第6篇：三角形中線定理范文

1.1三角形的邊答案

基礎(chǔ)知識(shí)

1~4：D；C；B；B；

5、3；8、6、4和11、8、9和11、8、4

6、5；6；7

7、11或10

能力提升

8~11：B；B；C；C

12、（1）4為腰長(zhǎng)，令一腰4，底=8，不合適則4為底，

（16-4）÷2=12÷2=6

另外兩邊為6和6

（2）6為腰長(zhǎng)，令一腰6，底=4，或6為底，

（16-6）÷2=10÷2=5

（3）三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，底為偶數(shù)，且底＜2×腰長(zhǎng)，

底＜8底=2，4，6，腰=7，6，4

所以邊長(zhǎng)分別為：2、7、7；4、6、6；6、4、4

13、如圖，連接AC、BD，其交點(diǎn)即H的位置。根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最小。

理由：如果任選H′點(diǎn)（如圖），由三角形三邊關(guān)系定理可知，

HA+HB+HC+HD=AC+BD＜H′A+H′B+H′C+H′D

1.2三角形的高、中線與角平分線答案

基礎(chǔ)知識(shí)

1~4：A；A；A；B

5、（1）AB

（2）CD

（3）FE

（4）3；3

6、∠BAE=∠EAC；BF=FC

7、②③

8、5

9、（1）因?yàn)锳D是ABC的中線，也就是說(shuō)D是AC的中點(diǎn)，所以BD=CD

ABD的周長(zhǎng)=AB+AD+BD，ACD的周長(zhǎng)=AC+AD+CD

所兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差就是AB-AC=5-3=2cm

（2）三角形的面積=底×高÷2，因?yàn)閮蓚€(gè)三角形共高，高長(zhǎng)都是AE的長(zhǎng)度。

又因?yàn)閮傻子兄鳥(niǎo)C=2CD的關(guān)系，所以SABC=2SACD

能力提升

10、設(shè)AB=x，BD=y

AB=AC；AD為中線

BD=CD=y（三線合一定理）

由題意可知：x+x+y+y=34

x+y+AD=30

AD=13cm

11、因?yàn)镈E為中點(diǎn)

所以AD為ABC的中線，BE為SABD的中線

所以SABD=1/2SABC，sABE=1/2SABD

所以SABE=1/4SABC=1cm2

12、（1）∠ACB=90°，BC=12cm，AC=5cm，

SABC=1/2*AC*BC=30cm²

（2）CD是AB邊上的高，

SABC=1/2*AB*CD

AB=13cm，SABC=30cm2

CD=60/13cm

探索研究

13、如下圖，

在圖（1）中，BD＝DE＝EF＝FC

在圖（2）中，BD＝DC，AE＝BE，AF＝FD；

在圖（3）中，BD＝DC，AE＝ED，AF＝FC

在圖（4）中，AD＝DC，AE＝ED，BE＝EC；

在圖（5）中，BD＝DC，AE＝DE。

1.3三角形的穩(wěn)定性答案

基礎(chǔ)知識(shí)

1 2 3 4 5

D C D B A

6、（1）√；

（2）√；

（3）×

能力提升

7、B

8、三角形具有穩(wěn)定性

探索研究

9、四邊形木架，至少要再釘上1根木條，使四邊形變成兩個(gè)三角形；

五邊形木架，至少要再釘上2根木條，使四邊形變成3個(gè)三角形；

第7篇：三角形中線定理范文

定理有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形.(已知求證略)

引理1 同一三角形中,大邊對(duì)大角.逆之亦是.(證明略)

引理2 兩個(gè)三角形若有兩邊對(duì)應(yīng)相等,則夾角大者第三邊也較大．

其實(shí),這是“等邊對(duì)等角”的直接推論.略證如下．

如圖1,ABC和ABD中,AC=AD,∠BAC＞∠BAD,連接CD,有∠ACD=∠ADC,而∠BCD＜∠ACD, ∠BDC＞∠ADC,所以,BC＞BD獲證．

現(xiàn)在用反證法證明定理：

如圖2,假設(shè)AB＞AC,則∠ACB＞∠ABC(引理1),進(jìn)而有∠1＞∠2,又已知BE=CD,所以BD＞CE(引理2)；平移BE至DF,連接EF、CF可得∠3=∠2,DF=BE=CD,EF=BD＞CE,所以∠5＞∠4,于是有∠DCF＞∠DFC,故DF＞DC,這與DF=DC矛盾.可見(jiàn)假設(shè)AB＞AC錯(cuò)誤；同理,AB＜AC也不成立.即AB=AC獲證.斯坦納-雷米歐斯定理證畢．

它的簡(jiǎn)明快捷源于其對(duì)稱(chēng)的反身性,可逆性.“對(duì)稱(chēng)地處理對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題”這一思想方法可能比證明本身更重要!

第8篇：三角形中線定理范文

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形．兩個(gè)三角形全等時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角．夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊．夾角就是三角形中有公共端點(diǎn)的兩邊所成的角．

例1如圖1，BD，AC交于O，OA＝OD，用“SAS”證AOB≌DOC，還需（）.

A. AB = DCB.OB = OC

C.∠A = ∠D D.∠AOB = ∠DOC

解析：此題的考查要點(diǎn)是“SAS”定理.用“SAS”證全等要有三個(gè)獨(dú)立條件，已知OA = OD，顯然還差兩個(gè)，而AC與BD的相交可得∠ AOB與∠ DOC是一對(duì)對(duì)頂角，第三個(gè)條件應(yīng)該圍繞夾∠AOB、∠DOC的兩邊來(lái)找，顯然OB與OC應(yīng)是另一組夾邊.選B.

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是找出對(duì)頂角，然后利用“邊角邊”定理找到另一組對(duì)應(yīng)邊.

考點(diǎn)2全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

例2如圖2，ABD≌CDB，且AB、CD是對(duì)應(yīng)邊. 下面四個(gè)結(jié)論中不正確的是（）.

A.ABD和CDB的面積相等

B.ABD和CDB的周長(zhǎng)相等

C.∠A + ∠ABD = ∠C+∠CBD

D. AD∥BC，且AD = BC

解析：由于兩個(gè)三角形完全重合，故面積、周長(zhǎng)相等.因?yàn)锳B和CD是對(duì)應(yīng)邊，則AD與BC是對(duì)應(yīng)邊，∠ADB = ∠CBD，因此AD∥BC且AD = BC.故C符合題意.

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是要知道兩個(gè)全等三角形中，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣就不會(huì)找錯(cuò)對(duì)應(yīng)角.

考點(diǎn)3全等三角形的判定

選擇哪種判定方法必須根據(jù)已知條件而定，詳細(xì)內(nèi)容見(jiàn)下表：

例3在ABC中，AD為BC邊上的中線，求證：AD＜ （AB + AC）.

解析：通過(guò)構(gòu)造輔助線，利用全等三角形將線段AD，AB，AC轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，由三角形“兩邊之和大于第三邊”即可證，證明過(guò)程如下：

延長(zhǎng)AD至G，使DG = AD，連結(jié)BG.

在ADC和GDB中，

點(diǎn)評(píng)：將中線加倍是常用的作輔助線方法.

考點(diǎn)4 變換

只改變圖形的位置，而不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換．全等變換包括以下三種：

①平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換. 如圖4，把ABC沿直線BC移動(dòng)到A1B1C1和A2B2C2位置，就是平移變換.

②對(duì)稱(chēng)變換：將圖形沿某直線翻折180O，這種變換叫做對(duì)稱(chēng)變換.如圖5，將ABC翻折180O到ABD的位置，就是對(duì)稱(chēng)變換．

③旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換. 如圖6，將ABC繞過(guò)A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180O到AED的位置，就是旋轉(zhuǎn)變換.

我們知道，無(wú)論是平移變換、對(duì)稱(chēng)變換還是旋轉(zhuǎn)變換，變換前后的兩個(gè)圖形全等，具有全等的所有性質(zhì)．

例4如圖7，已知ABC是等腰直角三角形，∠C = 90O.

（1）操作并觀察，如圖7，將三角板的45O角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，使這個(gè)角落在∠ACB的內(nèi)部，兩邊分別與斜邊AB交于E、F兩點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，觀察在點(diǎn)E、F的位置發(fā)生變化時(shí)，AE、EF、FB中最長(zhǎng)的線段是否始終是EF？

寫(xiě)出觀察結(jié)果.

（2）探索：AE、EF、FB這三條線段能否組成以EF為斜邊的直角三角形（即能否有EF2= AE2 + BF2）？如果能，試加以證明.

解析：（1）只須旋轉(zhuǎn)∠ECF再用刻度尺量一量或觀察，即可得到.

（2）要判斷EF2= AE2 + BF2，思路是把AE、EF、FB搬到同一個(gè)三角形中，通常有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法，解答此題用翻折的方法，得到與AE、BF相等的線段，并且它們和EF在同一個(gè)三角形中.

解答過(guò)程如下：

（1）觀察結(jié)果是：當(dāng)45O角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，并將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，AE、EF、FB中最長(zhǎng)的線段始終是EF.

（2）AE、EF、FB三條線段能構(gòu)成以EF為斜邊的直角三角形，證明如下：

如圖在∠ECF的內(nèi)部作∠ECG = ∠ACE，

使CG = AC，連結(jié)EG，F(xiàn)G，

ACE≌GCE，

∠A = ∠CGE，同理∠B = ∠CGF，

∠A + ∠B = 90O，

∠CGE + ∠CGF = 90O，

∠EGF = 90O，EF為斜邊.

點(diǎn)評(píng)：探索、猜測(cè)是整個(gè)題目的重點(diǎn)、難點(diǎn)，從操作中獲取信息是探索問(wèn)題過(guò)程中最重要的.

反思

1.考綱要求

理解全等形的有關(guān)概念和性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用性質(zhì)定理進(jìn)行計(jì)算；掌握全等三角形的判定方法，會(huì)運(yùn)用定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理或計(jì)算；能夠運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定定理解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)幾何計(jì)算和邏輯推理能力，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí).

2.構(gòu)造全等三角形的方法

第9篇：三角形中線定理范文

1．等腰三角形底邊上的中線，既是頂角的平分線，又是底邊上的高線；

2．等腰三角形頂角的平分線，既是底邊上的高線，又是底邊上的中線；

3．等腰三角形底邊上的高線，既是底邊上的中線，又是頂角的平分線．

顯見(jiàn)，以上三方面的內(nèi)容，給我們提供了證明線段相等、角相等、直線垂直的新思想和新方法．在解答一些證明問(wèn)題時(shí)，要注意靈活應(yīng)用它們．

例1 如圖，在ABC中，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F，求證：DE=DF．

分析：依題意，DE和DF分別為點(diǎn)D到∠BAC兩邊的距離，要證明它們相等，可先證明點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，即證明AD是∠BAC的平分線．

證明：連接AD．

因?yàn)锳B=AC，BD=CD，

所以AD是等腰ABC底邊BC上的中線．

所以AD平分∠BAC．

因?yàn)镈EAB于E，DFAC于F，

所以DE=DF．

說(shuō)明：本題的解答過(guò)程中，應(yīng)用了等腰ABC底邊BC上的中線AD是頂角∠BAC的平分線的性質(zhì)．

例2 如圖，在ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，P是AD上的一點(diǎn)，求證：AB-AC＞PB-PC．

分析：證明四條線段之間的不等關(guān)系，應(yīng)把這四條線段轉(zhuǎn)化為同一個(gè)三角形中的三邊．為了得到AB-AC的結(jié)果，可在AB上截取AE=AC，則有BE=AB-AC．為此，只要證明BE＞PB-PC即可．

證明：在AB上截取AE=AC，連接PE、CE，CE交AD于F．

因?yàn)锳E=AC，AD平分∠BAC，

所以AF是等腰ACE的頂角∠CAE的平分線．

所以AFCE，CF＝EF．

即，AF是CE的垂直平分線．

因?yàn)镻在AF上，

所以PE＝PC．

因?yàn)锽E＞PB-PE，BE=AB-AE，

所以AB-AC＞PB-PC．

說(shuō)明：本題的解答過(guò)程中，應(yīng)用了等腰ACE頂角∠CAE的平分線AF，是底邊CE上的高線，同時(shí)又是底邊CE上的中線的性質(zhì)．

例3 如圖，在ABC中，AB=AC，D在BA的延長(zhǎng)線上，E在AC上，且AD=AE，求證：DEBC．

分析：注意到ABC是以BC為底邊的等腰三角形，那么底邊上的高與頂角平分線重合．要證明DEBC，應(yīng)先證明DE與這條高平行．

證明：過(guò)A作AFBC于F．

因?yàn)锳B=AC

所以AF平分∠BAC．

所以∠BAC=2∠BAF．

因?yàn)锳D=AE，

所以∠D=∠AED．

所以∠BAC＝∠D+∠AED=2∠D．

所以∠BAF=∠D，DE∥AF．

所以DEBC．

說(shuō)明：本題的解答過(guò)程中，應(yīng)用了等腰ABC底邊BC上的高AF是頂角∠BAC的平分線的性質(zhì)．

例4 如圖，ABC中，AB=AC，BDAC于點(diǎn)D，求證：∠CBD=1/2∠BAC．

分析：為了得到1/2∠BAC，可考慮作∠BAC的平分線．這樣，把證明兩角成倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明兩角是相等關(guān)系．

證明：作∠BAC的平分線AE交BC于點(diǎn)E，那么∠1=∠2=1/2∠BAC．

因?yàn)锳B=AC，AE平分∠BAC，

所以AE是等腰ABC頂角∠BAC的平分線．

所以AEBC于點(diǎn)E．

所以∠AEC=90°，∠1+∠C=90°，

因?yàn)锽DAC于點(diǎn)D，

所以∠BDC=90°，∠CBD+∠C=90°．