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摘要:提出一種比較實際的人群交往網(wǎng)絡(luò)模型,在此網(wǎng)絡(luò)模型中,節(jié)點的偏好連接與隨機連接共存。通過數(shù)值模擬疾病傳播過程發(fā)現(xiàn),概率p減小,隨機連邊增加,會導(dǎo)致SI型疾病傳播時間縮短、SIS型疾病中節(jié)點染病密度增加、傳播閾值減小等相關(guān)不利影響,但在SIR型疾病中會有相反的變化:感染概率一定,較小的康復(fù)概率中,I態(tài)節(jié)點密度減小;較大的康復(fù)概率中,I態(tài)節(jié)點消亡時間縮短,依此理論來指導(dǎo)實際的疾病預(yù)防工作,具有一定的參考價值。
關(guān)鍵詞:混合網(wǎng)絡(luò);偏好;隨機;疾病傳播
復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究一直以來都是人們關(guān)注的重要課題[1-2],如復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的疾病傳播[3-4]與控制、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步[5]等。設(shè)計與實際網(wǎng)絡(luò)更為接近的網(wǎng)絡(luò)模型是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)。目前,規(guī)則網(wǎng)絡(luò)、ER隨機網(wǎng)絡(luò)、NW小世界網(wǎng)絡(luò)、Scale-free無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)、衰減網(wǎng)絡(luò)[6]、等級網(wǎng)絡(luò)[7]等都是比較實際的網(wǎng)絡(luò)模型。從這些網(wǎng)絡(luò)特點可以看出,其具有與實際相符的內(nèi)在演化機制,如規(guī)則、隨機、偏好、衰減、等級等,因此提出與實際人群關(guān)系網(wǎng)絡(luò)更為接近的網(wǎng)絡(luò)模型,更能準(zhǔn)確反映實際網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮匦院拖嚓P(guān)動力學(xué)?,F(xiàn)實生活中,人群交往在一個小的人群范圍內(nèi),人與人彼此都認(rèn)識,他們之間的交往可能按照偏好機制,當(dāng)人群范圍擴大,人與人之間就不可能都認(rèn)識,那么他們的交往就可能部分是隨機的、偶然的,也可以理解為現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)不僅有節(jié)點的偏好連接,當(dāng)節(jié)點增加到一定范圍后,也有內(nèi)部節(jié)點的隨機連接。
1網(wǎng)絡(luò)模型
開始時網(wǎng)絡(luò)中有m個節(jié)點,彼此任意連接(不重連,m=3)。每一個單位時間加入一個新節(jié)點,它與m個舊節(jié)點相連。新節(jié)點j與舊節(jié)點i相連的幾率∏j→i與節(jié)點i的度值成正比:當(dāng)節(jié)點數(shù)量大于N0=1000,以p的概率節(jié)點增加的偏好連接,以1-p概率節(jié)點內(nèi)部隨機連邊(不重連),連邊數(shù)量與偏好連接數(shù)量相等。網(wǎng)絡(luò)按步驟循環(huán),直到達到規(guī)定節(jié)點數(shù)量N。為了與實際網(wǎng)絡(luò)吻合,內(nèi)部連邊概率不宜過大(p≤0.5),否則網(wǎng)絡(luò)會趨近隨機網(wǎng)絡(luò)(也就是p=0)。
2數(shù)值模擬結(jié)果與討論
2.1度分布與平均度
在有限尺度的均勻網(wǎng)絡(luò)(隨機網(wǎng)絡(luò))和非均勻網(wǎng)絡(luò)(無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò))中,平均度<k>與度分布P(k)是網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的重要參數(shù),也是對流行病傳播動力學(xué)影響比較大的因素[8-9]。從圖1來看,當(dāng)概率p=1時,網(wǎng)絡(luò)是BA網(wǎng)絡(luò),度分布呈冪率分布γ=-3,當(dāng)概率p=0.7和p=0.5時,偏好連接減小,隨機內(nèi)部連邊增加時,度分布P(k)冪率分布的情況不再保持,曲線尾部開始轉(zhuǎn)向隨機網(wǎng)絡(luò)的度分布—泊松分布,也是網(wǎng)絡(luò)由非均勻網(wǎng)絡(luò)向均勻網(wǎng)絡(luò)過渡,其中p=0.7時,網(wǎng)絡(luò)度分布呈現(xiàn)與實證合作網(wǎng)相同的度分布,由此可以推斷實際網(wǎng)絡(luò)應(yīng)該是這兩種機制共存的混合網(wǎng)絡(luò)。圖2中,當(dāng)概率p=1時,平均度<k>=6,隨著概率p減小,隨機內(nèi)部連邊增加,平均度<k>也逐漸增加,且呈非線性變化。
2.2傳播動力學(xué)
復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上流行病傳播動力學(xué)基于流行病模型,常見的流行病模型有:SI、SIS、SIR(S代表易感人群,I代表感染人群,R為免疫人群),選取了這三種經(jīng)典流行病模型進行模擬研究。2.2.1SI模型在SI模型中,總?cè)藬?shù)N(也就是網(wǎng)絡(luò)的尺度)被認(rèn)為是常數(shù),S(t)和I(t)是易感染個體和染病個體的數(shù)量,相應(yīng)的N=S(t)+I(t)。在SI模型中,傳播概率被定義為λ,易感染個體通過其染病近鄰個體而被感染,同時,模型中的染病個體始終保持染病狀態(tài),不能康復(fù)。在SI流行病模型的模擬中,選取了N=10000,隨機選擇初始染病節(jié)點50個,傳播概率λ=0.01進行模擬,ρI代表染病節(jié)點數(shù)占總數(shù)的比例(染病節(jié)點的密度)。從圖3來看,隨著概率p的減小,隨機連邊增加,節(jié)點染病密度ρI隨時間演化曲線保持一致,但流行病蔓延整個網(wǎng)絡(luò)的時間縮短,p=1,t≈150;p=0.5,t≈100。從三者曲線比較來看,在每一個時間步,p=0.5的概率所占據(jù)的染病節(jié)點密度最大。因此,此類流行病爆發(fā)后,盡量減少與陌生人接觸(節(jié)點的隨機加邊),是控制此類疾病傳播范圍的有效措施。2.2.2SIS模型在SIS傳播模型中,個體在網(wǎng)絡(luò)中的狀態(tài)是一個循環(huán)的過程:易感染態(tài)—感染態(tài)—易感染態(tài)。在每一個時間步,每一個易感染節(jié)點被其一個或多個染病近鄰以概率ν感染,同時染病的個體以δ(一般情況下,取δ=1)的概率被治愈或再次變成易感染的狀態(tài)。SIS模型中,有效的傳播概率定義為:λ=ν/δ,染病個體的密度(染病個體數(shù)目占總?cè)藬?shù)的比例)ρI。在SIS流行病模型的模擬中,選取N=10000,隨機選擇初始染病節(jié)點為50個,感染概率ν,康復(fù)概率δ=1進行模擬,有效的傳播概率為:λ=ν/δ=ν/1=ν,ρI代表感染節(jié)點數(shù)占總數(shù)的比例(染病節(jié)點的密度)。從圖4整體上可以看出,流行病傳播到一定時間會形成穩(wěn)態(tài),疾病以一定的密度ρI維持在人群網(wǎng)絡(luò)中,不會消失。概率p的變化不影響染病節(jié)點密度ρI隨時間變化的曲線形態(tài)。在有效傳播概率λ一定,隨著概率p的減小,染病節(jié)點形成穩(wěn)態(tài)的密度會逐步增加,從p=1,ρ(I)≈0.08增加到p=0.5,ρ(I)≈0.28。在圖5中發(fā)現(xiàn),當(dāng)概率p減小,隨機加邊增加,不同疾病傳播概率(λ=0.5)情況下,穩(wěn)態(tài)密度隨概率p存在近似的線性變化。在SIS傳播模型中,傳播臨界值λC也是重要的一個參數(shù),當(dāng)傳播概率λλC,疾病會傳播開來,并維持在一定范圍。λ<λC,疾病不會傳播開來,逐漸消失。從圖6可以看出,整體的傳播臨界值都很小,當(dāng)概率p=1時,網(wǎng)絡(luò)為BA網(wǎng)絡(luò),此時傳播臨界值λC≈0.068,隨著概率p減小,隨機連邊增加,傳播臨界值λC逐漸減小,當(dāng)p=0.5時,傳播臨界值下降到λC≈0.046。理論上認(rèn)為,在均勻網(wǎng)絡(luò)中,λC≈1<k>[10-11],因此從平均度<k>逐步增加的變化曲線可以驗證,在數(shù)值模擬中傳播閾值逐步減小。2.2.3SIR模型在SIR傳播模型中,R為免疫態(tài),即治愈后并獲得免疫能力的個體,這類節(jié)點不具有傳染能力。實際生圖6傳播臨界值λC隨概率p變化曲線Fig.6CurveofspreadcriticalvalueλCwithp活中,水痘這類治愈后獲得免疫的傳染病,往往可以用SIR模型來描述。在每一個時間步,每一個易感染節(jié)點被其一個或多個染病近鄰以概率ν感染,同時染病的個體以δ的概率被治愈并不再被傳染。三種狀態(tài)個體的密度S(t),R(t),I(t)隨時間變化的曲線如圖7、8所示。選取N=10000,隨機選擇初始染病節(jié)點為50個,(1)感染概率ν=0.1,康復(fù)概率較小δ=0.02進行模擬,見圖7。(2)感染概率ν=0.1,康復(fù)概率較小δ=0.3進行模擬,見圖8。兩者圖像整體比較,康復(fù)概率較小和康復(fù)概率較大,R態(tài)呈現(xiàn)出不同的變化曲線。從圖7來看,S態(tài)節(jié)點最終在網(wǎng)絡(luò)中不存在,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點只存在I態(tài)和R態(tài),當(dāng)康復(fù)概率較小時,概率p減小,隨機連邊增加,三種狀態(tài)整體曲線形態(tài)沒有改變,S態(tài)節(jié)點密度在相對消亡時間上有所延長(p=1,t=9;p=0.5,t=25),I態(tài)節(jié)點密度減小,R態(tài)節(jié)點密度近似線性增加。從圖8來看,有小部分S態(tài)節(jié)點存在網(wǎng)絡(luò)中,當(dāng)概率p減小,隨機連邊增加,I態(tài)節(jié)點消亡時間上縮短,S態(tài)節(jié)點密度會減小(p=1,ρ(S)≈0.39;p=0.5,ρ(S)≈0.19),R態(tài)節(jié)點密度增加,I態(tài)節(jié)點最終在網(wǎng)絡(luò)中消亡,網(wǎng)絡(luò)中只存在S態(tài)和R態(tài)的節(jié)點。可以說,大的康復(fù)概率對疾病的消亡更有利,當(dāng)然這取決于更有效的免疫藥物、更好的醫(yī)療水平能讓病人在短時間內(nèi)康復(fù)。
3總結(jié)
提出隨機和偏好機制共存的網(wǎng)絡(luò)-混合網(wǎng)絡(luò),并在此網(wǎng)絡(luò)上數(shù)值模擬流行病傳播的相關(guān)過程,發(fā)現(xiàn)概率p減小,隨機連邊增加,會帶來SI型疾病傳播時間縮短、SIS型疾病中節(jié)點染病密度增加、傳播閾值λC減小等相關(guān)不利影響,但在SIR型疾病中會有相反的變化:感染概率一定,較小的恢復(fù)概率中,I態(tài)密度減小;較大的恢復(fù)概率中,I態(tài)消亡時間縮短,依此理論來指導(dǎo)實際的疾病預(yù)防工作,具有一定的參考價值。
作者:吳曉 單位:海南醫(yī)學(xué)院物理教研室